Линейные пространства

[ISBA]

Добрый вечер!

Решил подготовиться к пересдаче линала, читаю Кострикина, Манина. Медленно, но не важно.
Прочитал первый параграф, посвящённый линейным пространствам. Возник ряд вопросов.

1. В тексте вводится символ Кронекера:
$\delta_s(s) = 1$, $\delta_s(t) = 1$, если $t \ne s$
Далее утверждается:
$S$ - конечное множество;
$F(S)$ - множество отображений из $S$ в произвольное поле $\mathfrak K$;
Сложение и умножение функций определено поточечно.
Тогда всякую функцию из $F(S)$ можно представить в виде $f=\sum\limits_{s\in S} {f(s) \delta_s}$.
Правильно ли я понимаю, что, по-хорошему, имеется в виду:
$\forall s \in S f(s) = \sum\limits_{s'\in S} { f(s') \delta_{ss'} }$
?
Считать ли обозначения, введённые авторами, адекватными, или стоит их мысленно за такое пожурить?

2. Далее про "этот результат" (что можно функцию выражать через символ Кронекера) утверждается, что нельзя сформулировать данный результат при $S$ - бесконечном множестве в рамках введённых определений. Честно говоря, я не понял, почему. Я приблизительно понимаю, что может в принципе рушиться в теоретических построениях. Но я не понимаю, почему соотношение $f=\sum\limits_{s\in S} {f(s) \delta_s}$ должно стать неопределённым (авторы пишут, что мы не определили сумму бесконечного числа векторов. Но здесь же просто элементы поля!)

3. В тексте говорится о том, что функции из $F(S)$ можно "отождествить" с векторами из $\mathfrak K^n$. Во-первых, правильно ли я понимаю, что в конце пункта параграфа именно это "отождествление" используется для вывода формулы $(a_1, \ldots , a_n) = \sum\limits_{i=1}^n {a_i e_i}$? Во-вторых, правильно ли я понимаю, что речь идёт об изоморфизме?

4. В тексте предлагается доказать, что пересечение линейных подпространств - линейное подпространство. Имеет ли смысл следующее доказательство:
Пусть $A_1, \ldots, A_N$ - линейные условия, т.е. утверждения, по которым мы отбираем элементы пространства в подпространство. $(A_1 \land \ldots \land A_N)$ - тоже утверждение $\Rightarrow$ также и линейное условие. $\Box$
?
Доказывал ещё так (по-нормальному, так сказать; написал сжато): пусть это неверно, тогда существует вектор $a + b$, не лежащий хотя бы в одном из подпространств. Но постойте, $a$ лежит в этом подпространстве (т.к. лежит в пересечении всех рассматриваемых подпространств), $b$ тоже, значит, по определению линейного подпространства $a + b$ тоже должен лежать в нём. Противоречие. $\Box$

5. Первое упражнение после параграфа.
Образуют ли линейной пространство над $\mathbb Q$ следующие множества:
б) неотрицательные вещественные числа
в) целые числа
г) рациональные числа со знаменателем $\leqslant N$
?
Если к остальным пунктам я сумел привести операции и доказать их подчинённость аксиомам линейного пространства, то для этих трёх я всего лишь смог показать, что два набора придуманных мной операций не удовлетворяют оным аксиомам. Как мне говорил когда-то семинарист по матану: "Если долго не можешь придумать положительный пример - доказывай от противного". Но пока ничего дельного не придумалось. Так как доказать, что не существует операций, задающих при данных условиях структуру линейного пространства?

На этом пока всё.

P.S.: правильно ли я понимаю, что последующие вопросы по книге лучше задавать в новых темах?

[arseniiv]

У меня издание 2000 года, а у вас?

1.

ISBA в сообщении #1143721 писал(а):

В тексте вводится символ Кронекера:
$\delta_s(s) = 1$, $\delta_s(t) = 1$, если $t \ne s$

Тут опечатка.

ISBA в сообщении #1143721 писал(а):

Тогда всякую функцию из $F(S)$ можно представить в виде $f=\sum\limits_{s\in S} {f(s) \delta_s}$.
Правильно ли я понимаю, что, по-хорошему, имеется в виду:
$\forall s \in S f(s) = \sum\limits_{s'\in S} { f(s') \delta_{ss'} }$
?
Считать ли обозначения, введённые авторами, адекватными, или стоит их мысленно за такое пожурить?

Более чем адекватно. Сами же выше написали, что суммы функций поточечные. Для каждого $s\in S$, $\delta_s$ — это функция. $f(s)\delta_s$ потому (умножение на скаляр) тоже функция, и вся сумма таких функций по $s$ — функция.

Соответственно и дальше:
2.

ISBA в сообщении #1143721 писал(а):

авторы пишут, что мы не определили сумму бесконечного числа векторов. Но здесь же просто элементы поля!

нет, не элементы поля.

3.

ISBA в сообщении #1143721 писал(а):

В тексте говорится о том, что функции из $F(S)$ можно "отождествить" с векторами из $\mathfrak K^n$. Во-первых, правильно ли я понимаю, что в конце пункта параграфа именно это "отождествление" используется для вывода формулы $(a_1, \ldots , a_n) = \sum\limits_{i=1}^n {a_i e_i}$?

Да не, зачем туда-сюда бегать, когда можно прямо. Индукцией по $n$ это доказывается на раз.

ISBA в сообщении #1143721 писал(а):

Во-вторых, правильно ли я понимаю, что речь идёт об изоморфизме?

Да.

4.
Куда проще всё в лоб сделать: пускай $\mathbf u,\mathbf v\in V_1\cap V_2$. Значит, они лежат и в $V_1$, и в $V_2$. Значит, их линейная комбинация лежит и в $V_1$, и в $V_2$. Так что она лежит в $V_1\cap V_2$. И всё, никаких от противного и линейных условий. И ровно это написано в начале пункта о пересечении и сумме пространств.

5.
В моём издании задача не найдена (вместо неё в задачах к §1 множества проверяются на «линейнопространственность» над $\mathbb R$, а в задачах к §2, говорящем о базисе, пересечениях и т. п., вообще подобных задач нет), но можно предположить, что имеются в виду обычные умножение и сложение. Так получится?

[ISBA]

arseniiv в сообщении #1143727 писал(а):

У меня издание 2000 года, а у вас?

Что-то из 80ых, я полагаю - оцифровщики любовно вырезали все выходные сведения.

arseniiv в сообщении #1143727 писал(а):

1.

ISBA в сообщении #1143721 писал(а):

В тексте вводится символ Кронекера:
$\delta_s(s) = 1$, $\delta_s(t) = 1$, если $t \ne s$

Тут опечатка.

Это я опечатался. Эх...

arseniiv в сообщении #1143727 писал(а):

Более чем адекватно. Сами же выше написали, что суммы функций поточечные. Для каждого $s\in S$, $\delta_s$ — это функция. $f(s)\delta_s$ потому (умножение на скаляр) тоже функция, и вся сумма таких функций по $s$ — функция.

Мне неадекватность здесь видится в следующем: раз написано, что суммирование по элементам из $S$, значит, у каждого слагаемого в сумме $s$ свой, причём и у символа Кронекера, и у функции $f$ одинаковый. Т.е. в моём прочтении их формула преобразовывается просто $\sum\limits_{s\in S}f(s)$. Ну потому что сколько $s$ в $\delta_s$ ни подставляй, всё равно получишь $1$.

arseniiv в сообщении #1143727 писал(а):

нет, не элементы поля.

Но ведь... функция отображает в $\mathfrak K$... А символ Кронекера - тоже в $\mathfrak K$...

arseniiv в сообщении #1143727 писал(а):

Да не, зачем туда-сюда бегать, когда можно прямо. Индукцией по $n$ это доказывается на раз.

Куда проще всё в лоб сделать: пускай $\mathbf u,\mathbf v\in V_1\cap V_2$. Значит, они лежат и в $V_1$, и в $V_2$. Значит, их линейная комбинация лежит и в $V_1$, и в $V_2$. Так что она лежит в $V_1\cap V_2$. И всё, никаких от противного и линейных условий.

Ха, и вправду! Спасибо.
Но меня также интересует, правильны ли неоптимальные пути - всё-таки своё, родное

arseniiv в сообщении #1143727 писал(а):

но можно предположить, что имеются в виду обычные умножение и сложение. Так получится?

Ну так-то контрпример изи строится. И, всё-таки, действительно ли нет таких операций, которые бы всё-таки задавали структуру линейного пространства?

[mihaild]

ISBA в сообщении #1143734 писал(а):

Но ведь... функция отображает в $\mathfrak K$... А символ Кронекера - тоже в $\mathfrak K$...

Но под знаком суммирования стоят функции, а не элементы поля.

ISBA в сообщении #1143734 писал(а):

И, всё-таки, действительно ли нет таких операций, которые бы всё-таки задавали структуру линейного пространства?

Вопрос о том, "образует ли множество линейное пространство" очень странный - т.к. кроме собственно носителя, важны операции. Если операции можно задавать как угодно, то от множества важна только мощность - и тогда на все три вопроса ответ "да" - неотрицательные вещественные числа равномощны всему $\mathbb{R}$, а целые и рациональные с знаменателем $\leqslant N$ - $\mathbb{Q}$. А и $\mathbb{R}$, и $\mathbb{Q}$ - векторные пространства над $\mathbb{Q}$ с обычным сложением и умножением. Так что просто берем биекцию - и получаем векторную структуру.

[ewert]

ISBA в сообщении #1143721 писал(а):

Так как доказать, что не существует операций, задающих при данных условиях структуру линейного пространства?

Никак. В смысле не надо доказывать. Естественно, подразумевались слова "относительно стандартных операций" (эти слова в подобных задачках все подразумевают и никто не произносит).

ISBA в сообщении #1143734 писал(а):

пускай $\mathbf u,\mathbf v\in V_1\cap V_2$. Значит, они лежат и в $V_1$, и в $V_2$.

Только не "$V_1\cap V_2$" и "в $V_1$ и в $V_2$, а "$\bigcap\limits_{\alpha} V_{\alpha}$" и "в $V_{\alpha}\ (\forall\alpha)$"

[Someone]

ISBA в сообщении #1143721 писал(а):

Но я не понимаю, почему соотношение $f=\sum\limits_{s\in S} {f(s) \delta_s}$ должно стать неопределённым (авторы пишут, что мы не определили сумму бесконечного числа векторов. Но здесь же просто элементы поля!)

Пусть даже так. А разве сумма бесконечного множества элементов поля определена?

[ewert]

ISBA в сообщении #1143721 писал(а):

Считать ли обозначения, введённые авторами, адекватными, или стоит их мысленно за такое пожурить?

Да, стоит. Пожурить за извращение. Поскольку " отображение из $S$ в поле $\mathfrak K$" -- это тупо элемент $\mathfrak K^n$.

И символ Кронекера они записывают тоже извращенчески. У всех нормальных людей это -- или $\delta_{st}$, или $\delta_s^t$. Но вот зациклило их на "функциях".

[arseniiv]

ISBA в сообщении #1143734 писал(а):

Мне неадекватность здесь видится в следующем: раз написано, что суммирование по элементам из $S$, значит, у каждого слагаемого в сумме $s$ свой, причём и у символа Кронекера, и у функции $f$ одинаковый. Т.е. в моём прочтении их формула преобразовывается просто $\sum\limits_{s\in S}f(s)$. Ну потому что сколько $s$ в $\delta_s$ ни подставляй, всё равно получишь $1$.

Нельзя преобразовать так, как вы делаете. Чтобы $\delta_s$ пропала, ей не хватает ещё одного аргумента. Вот посмотрите, как выглядит эта сумма, когда $S=\{1,2,3\}$: $f(1)\delta_1 + f(2)\delta_2 + f(3)\delta_3$. Это всё ещё функция одного аргумента; вот если мы её захотим вычислить, скажем, в 2, получится $(f(1)\delta_1 + f(2)\delta_2 + f(3)\delta_3)(2) = f(1)\cdot0 + f(2)\cdot1 + f(3)\cdot0 = f(2)$.

ewert в сообщении #1143780 писал(а):

Только не "$V_1\cap V_2$" и "в $V_1$ и в $V_2$, а "$\bigcap\limits_{\alpha} V_{\alpha}$" и "в $V_{\alpha}\ (\forall\alpha)$"

Это я (цитата-то изначально моя ) сначала написал, а потом увидел, что в тексте произвольные пересечения. В любом случае, всё обобщается на раз.

ewert в сообщении #1143789 писал(а):

И символ Кронекера они записывают тоже извращенчески. У всех нормальных людей это -- или $\delta_{st}$, или $\delta_s^t$.

Так там и такие обозначения есть, и всякие. По крайней мере, в издании 2000-го. По-моему, всё уместно, человеку полезно уметь использовать частичное применение и работу с функциями как с векторами.

-- Сб авг 13, 2016 16:40:55 --

ewert в сообщении #1143789 писал(а):

Поскольку " отображение из $S$ в поле $\mathfrak K$" -- это тупо элемент $\mathfrak K^n$.

Можно было бы попытаться согласиться, если бы на $S$ был выбран порядок. А если его нет…

[ISBA]

arseniiv в сообщении #1143727 писал(а):

нет, не элементы поля.

mihaild в сообщении #1143737 писал(а):

Но под знаком суммирования стоят функции, а не элементы поля.

arseniiv в сообщении #1143855 писал(а):

Нельзя преобразовать так, как вы делаете. Чтобы $\delta_s$ пропала, ей не хватает ещё одного аргумента. Вот посмотрите, как выглядит эта сумма, когда $S=\{1,2,3\}$: $f(1)\delta_1 + f(2)\delta_2 + f(3)\delta_3$. Это всё ещё функция одного аргумента; вот если мы её захотим вычислить, скажем, в 2, получится $(f(1)\delta_1 + f(2)\delta_2 + f(3)\delta_3)(2) = f(1)\cdot0 + f(2)\cdot1 + f(3)\cdot0 = f(2)$.

С третьего раза всё-таки понял Спасибо!

mihaild в сообщении #1143737 писал(а):

Если операции можно задавать как угодно, то от множества важна только мощность

Не совсем понял. Подразумевается, что между двумя алгебраическими структурами одинаковой мощности всегда есть изоморфизм? Где об этом почитать?

ewert в сообщении #1143780 писал(а):

Естественно, подразумевались слова <...>

Бр-р-р-р...

Просто раз уж, чтобы сделать из положительных действительных чисел линейное пространство, приходилось вводить другие операции, то непонятно, почему запрещается пытаться это делать в других задачах.

Someone в сообщении #1143782 писал(а):

А разве сумма бесконечного множества элементов поля определена?

Я думал об этом так: сумма ведь не каких-то там элементов, а бесконечного количества нулей и одного ненулевого элемента. Ну а нули сколько ни складывай, всё равно ноль получишь, это же очевидно (с моего уровня знакомства с математикой)!11 По крайней мере, так можно определить сумму бесконечного числа нулей... Видимо, я это сделал неявно. И неявно же упорно вычислял значение этих функций, не совсем понятно, из каких принципов выбирая недостающий аргумент.

arseniiv в сообщении #1143855 писал(а):

Можно было бы попытаться согласиться, если бы на $S$ был выбран порядок. А если его нет…

А мы не можем спокойно утверждать, что у нас бесконечномерное пространство?

Наконец, ещё свеженький вопрос подкатил.
Явно об этом вроде не указано, а сам я до конца не понимаю: нейтральные элементы по сложению и умножению обязаны быть единственными?

Правильно ли я понимаю, что в данной задаче ответ "нет":
Является ли линейным подпространством множество функций $f\colon \mathbb R \rightarrow \mathbb R$, имеющих не более чем конечное число точек разрыва?
Потому что $f(x) = 0$ непрерывна. Да и $f(x) = 1$ тоже. Опять же, как бы подразумевается, что операции поточечные.
Была, видимо, слегка бредовая идея, что можно назначить все тождественно равные нулю функции, имеющие конечно число точек разрыва, нейтральными элементами. И при сложении/умножении подставлять в качестве второго аргумента "правильный ноль". Но, видимо, это махина сама по себе является каким-то посторонним объектом, мало чего общего имеющим с линейным пространством.

[arseniiv]

ISBA в сообщении #1144217 писал(а):

А мы не можем спокойно утверждать, что у нас бесконечномерное пространство?

А это зачем? Говорилось ведь сначала только о $\mathfrak K^S$ для конечных $S$ и $\mathfrak K^n$ для конечных $n$.

-- Пн авг 15, 2016 20:23:40 --

arseniiv в сообщении #1144221 писал(а):

$\mathfrak K^S$

Не помню, определяется ли такая запись к тому моменту в книге; это множество всех функций $f\colon S\to\mathfrak K$.

ISBA в сообщении #1144217 писал(а):

Наконец, ещё свеженький вопрос подкатил.
Явно об этом вроде не указано, а сам я до конца не понимаю: нейтральные элементы по сложению и умножению обязаны быть единственными?

Да, и это просто доказывается. Пусть $0$ — нейтральный элемент и $0'$ — тоже нейтральный элемент (иногда предполагают, что различные, но для доказательства это совершенно не обязательно). Тогда ничего не испортится, если мы к одному из них прибавим другой, и…

ISBA в сообщении #1144217 писал(а):

Была, видимо, слегка бредовая идея, что можно назначить все тождественно равные нулю функции, имеющие конечно число точек разрыва, нейтральными элементами.

В этой задаче, очевидно, тоже предполагаются обычные сложение и умножение на скаляры, которыми будут числа из $\mathbb R$.

[mihaild]

ISBA в сообщении #1144217 писал(а):

Подразумевается, что между двумя алгебраическими структурами одинаковой мощности всегда есть изоморфизм?

Нет, между двумя множествами одинаковой мощности есть биекция (это определение мощности). Поэтому вопрос "можно ли на множестве $X$ ввести операции так, что ..." эквивалентен вопросу "существует ли алгебраическая структура с носителем мощности $\left|X\right|$, такая, что ...".

ISBA в сообщении #1144217 писал(а):

Просто раз уж, чтобы сделать из положительных действительных чисел линейное пространство, приходилось вводить другие операции, то непонятно, почему запрещается пытаться это делать в других задачах.

А там это точно разрешалось? Гораздо логичнее было бы рассматривать их относительно стандартных операций - и сказать, что это не векторное пространство (хотя бы потому что это не группа по сложению).

ISBA в сообщении #1144217 писал(а):

сумма ведь не каких-то там элементов, а бесконечного количества нулей и одного ненулевого элемента

Вроде бы и правда можно определить сумму бесконечного числа функций для такого случая, и ничего не сломается. Но аналогии с конечным случаем всё равно не будет (например, размерность пространства будет отличаться от мощности $S$).

ISBA в сообщении #1144217 писал(а):

А мы не можем спокойно утверждать, что у нас бесконечномерное пространство?

Это тут не при чем. Вот у вас есть двухэлементное множество $S \{x, y\}$ и вектор $<0, 1> \in \mathbb{R}^2$ (это непосредственно элемент $\mathbb{R}^2$ по определению - оно состоит из упорядоченных пар вещественных чисел). Какой функции $S \to \mathbb{R}$ вы сопоставите этот вектор? (если бы был задан линейный порядок - то, т.к. конечные линейные порядки изоморфны начальным отрезкам $\mathbb{N}$, можно было бы сказать, что первая координата - это значение на 1м элементе, вторая на втором и т.д.; без порядка непонятно, какой элемент брать первым)

ISBA в сообщении #1144217 писал(а):

Является ли линейным подпространством множество функций $f\colon \mathbb R \rightarrow \mathbb R$, имеющих не более чем конечное число точек разрыва?

Само по себе множество функций $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ линейным пространством является. Чтобы проверить, является ли его подмножество подпространством, надо проверить, замкнуто ли это подмножество относительно сложения, взятия обратного элемента (по сложению), умножения на скаляр, и содержит ли оно нейтральный по сложению элемент. Проверьте каждое свойство.
Например, какая функция является нейтральным элементом по сложению? Что можно сказать о количестве ее точек разрыва?

[Someone]

ISBA в сообщении #1144217 писал(а):

Я думал об этом так: сумма ведь не каких-то там элементов, а бесконечного количества нулей и одного ненулевого элемента.

Даже для этого случая требуется специальное определение. Хотя оно и кажется очевидным.

[ISBA]

mihaild в сообщении #1144229 писал(а):

Нет, между двумя множествами одинаковой мощности есть биекция (это определение мощности). Поэтому вопрос "можно ли на множестве $X$ ввести операции так, что ..." эквивалентен вопросу "существует ли алгебраическая структура с носителем мощности $\left|X\right|$, такая, что ...".

Мне это утверждение всё равно не понятно. То есть я не понимаю, почему из того, что на каком-то множестве можно задать операции так, чтобы получилась требуемая алгебраическая структура, следует, что такую же структуру можно получить на любом другом множестве такой же мощности.

[Slav-27]

ISBA в сообщении #1145913 писал(а):

почему из того, что на каком-то множестве можно задать операции так, чтобы получилась требуемая алгебраическая структура, следует, что такую же структуру можно получить на любом другом множестве такой же мощности.

А чем отличаются равномощные множества? (Ничем.)

Установите биекцию с другим множествам и определите операции на образах так же, как на прообразах.

[arseniiv]

Тут можно подойти со стороны требований к ответу. Допустим, у нас уже есть две готовые изоморфные алг. структуры $(A,\Sigma)$ и $(A',\Sigma')$. Что это говорит о функции $f\colon A\to A'$, являющейся их изоморфизмом? Не достаточно ли требующихся от неё кроме биективности свойств, чтобы определить операции и отношения из $\Sigma'$, зная только $\Sigma$ и $f$?