Чудесное доказательство

[lasta]

venco в сообщении #1151609 писал(а):

Кубы то составные, но общего делителя у них может и не быть.

Это не так. Каждый новый составной куб равен произведению произвольных сомножителей. Но произведение этих сомножителей равно одному из сомножителей предыдущего составного куба. Исходный составной куб разрастается. С каждым шагом у него увеличивается число сомножителей.

[shwedka]

lasta в сообщении #1151607 писал(а):

Бесконечный спуск существует, так как на каждом шаге появляется новый составной куб, меньший предыдущего.

Вы уже от слова 'составной' отказались

[yk2ru]

lasta в сообщении #1151601 писал(а):

yk2ru в сообщении #1151597 писал(а):

Для вас уже изначально не существует решения УФ, к чему доказательство тогда?

Я всегда утверждал обратное, что в доказательстве рассматриваются оба случая

И так, ТФ либо верна, либо нет. Попросил вас привести рассуждение для случая ТФ неверна и был сокращён множитель, содержащий число из тройки решения, вы этого не сделали. Почему, что мешает привести рассуждение для этого случая?

[lasta]

lasta в сообщении #1151593 писал(а):

Для произвольного составного куба $N^3=N_1^3N_2^3$ составим тождество

$$N_1^3N_2^3 =N_1^3 t_2^3+ N_1^3( N_2^3-t_2^3), \qquad \e (1) $$

где $(N_1,N_2,\quad1<t_2<N_2)$ натуральные числa. Сократим общий делитель $N_1^3$. Получим тождество в взаимно простых числах

$$ N_2^3 = t_2^3+ ( N_2^3-t_2^3 ),\qquad \e (2) $$

которое, в связи с произвольностью $N_2^3$ и куба $t_2^3$ в указанном интервале, охватывает все возможные случаи для натуральных чисел $(N_2,t_2)$.
Если ВТФ не верна, то есть существует решение уравнения Ферма в натуральных числах, то для некоторых $ (N_2, t_2)$ правая часть (2) может быть представлена суммой двух кубов $(t_2^3; \quad (N_2^3-t_2^3))$. Оба куба рассматриваем как числа. Например:- для случая, когда она верна

$$5^3+(7^3-5^3)=5^3+217.$$

Но если правая часть (2),- сумма двух кубов, то разность кубов $(N_2^3-t_2^3) $ - куб (обозначим его как $N_3^3$) .
Тогда $N_2^3-t_2^3=N_3^3$, или $N_2^3=t_2^3+N_3^3$
и $N_2^3$ -составной куб , так как он равнялся бы сумме двух кубов. Запишем $N_2^3=N_4^3N^3_5$.
Значит, выполнено тождество

$$N_4^3N_5^3 =N_4^3 t_5^3+ N_4^3( N_5^3-t_5^3 ) \qquad \e (3),$$

где $(1<t_5^3<N_5^3)$.
Сократив $N_4^3$ , получим новое тождество в взаимно простых числах

$$ N_5^3 = t_5^3+ ( N_5^3-t_5^3 )\qquad \e (4) $$

Итак, на первом шаге спуска доказано появление меньшего составного куба
$N_4^3N_5^3< N_1^3N_2^3$ и пары новых тождеств.
Здесь естественно возникает вопрос. Пусть правая часть тождества (4) не представляет суммы двух кубов. Спуск остановлен.
Но доказательство, что существуют кубы $N_4^3, N_5^3$ сделано ранее на основании (2), то есть было показано, что существует $N_2^3=N_4^3N_5^3$. Этого достаточно, чтобы в этом случае (спуск остановлен) вернуться к исходному тождеству (1) с составным кубом $N_2^3$. Тем самым исходный куб будет состоять из трех сомножителей $N^3=N_1^3N_4^3N_5^3,$ и спуск существует,благодаря возможному сокращению двух сомножителей $N_1^3N_4^3$ уже в исходном тождестве (1). Тождество (1) примет

$$N_1^3N_4^3N_5^3 =N_1^3N_4^3 t_5^3+ N_1^3N_4^3( N_5^3-t_5^3)$$

А после сокращения сомножителей $N_1^3N_4^3$ получим

$$ N_5^3 = t_5^3+ ( N_5^3-t_5^3 ) $$

То есть тождество (4) становится тождеством первого шага и теперь мы можем утверждать, что правая часть (4) не может быть представлена двумя кубами. Так как тогда $( N_5^3-t_5^3 )$ должен быть кубом. и также как ранее доказывается существования третьего составного куба, меньшего предыдущего составного куба. Таким образом, спуск восстановлен и можем перейти к к следующему шагу на основании существования третьего составного куба
На каждом последующем шаге будет увеличиваться число сомножителей исходного составного куба.
Докажем в общем случае, что составной куб появлялся бы на всех шагах спуска.
Пусть на произвольном шаге спуска сформулировано тождество с взаимно простыми числами

$$N_j^3=t_j^3+(N_j^3-t_j^3)$$

Если выражение $(N_j^3-t_j^3)$ равнялось бы кубу, (обозначим его как $N_{j+1}^3$), то существовало бы равенство.

$$N_j^3=t_j^3+N_{j+1}^3.$$

Тогда куб $N_j^3$ был бы составным, так как он равнялся бы сумме кубов.
Запишем $N_j^3=N_{j+2}^3N_{j+3}^3$
Следовательно, на произвольном шаге всегда появлялся бы составной куб и выполнялись бы два тождества для следующего шага: первое, - со слагаемыми с общим делителем

$$N_{j+2}^3N_{j+3}^3=N_{j+2}^3t^3+N_{j+2}^3(N_{j+3}^3-t^3) \qquad \e (5) $$

и после сокращения $N_{j+2}^3$, -второе тождество, - с взаимно простыми числами

$$N_{j+3}^3=t^3+(N_{j+3}^3-t^3) \qquad \e (6) $$

Следовательно, делаем вывод, что если составной куб появлялся бы на первом и произвольном шагах, то он появлялся бы на всех шагах спуска. Сразу отметим, что доказательство о том, что на произвольном шаге появлялся бы составной куб выведено логическим путем.
Составной куб образован из произвольных сомножителей $ (N_{j+2}^3, \quad N_{j+3}^3)$. И на эти сомножители существует одно ограничение, что их произведение равно $ N_j^3$.
Этим мы охватываем все возможные варианты значений степеней на произвольном шаге
Произвольность кубов $(N_{j+2}^3, \quad N_{j+3}^3)$ в новых тождествах показывает, что существует только единственная связь с кубами предыдущих тождеств - это их соотношения по величине. Новые составные кубы меньше предыдущих составных кубов, потому что получение нового тождества всегда связано с сокращением общего делителя в (5).
Отсутствие алгебраических преобразований между слагаемыми соседних по спуску тождеств - это одно из условий бесконечного спуска. Иначе, спуск был бы конечным.
На произвольном шаге также бы существовало утверждение, что правая часть тождества (6) не может быть суммой кубов, так как тогда можно было бы сформулировать следующее тождество со всеми свойствами предыдущего.
Таким образом, получилось бы бесконечное количество кубов, меньших исходного, ни один из которых не был бы представим суммой двух кубов. А исходный составной куб состоял бы из бесконечного числа сомножителей.
Но не существует бесконечности относительно целого числа. Следовательно, правая часть исходного тождества не является суммой двух кубов. Что и требовалось доказать.
Для доказательства общего случая ВТФ необходимо всего лишь заменить слово "куб" на слово "степень и показатель 3 на простой показатель $(p)$.

[shwedka]

lasta в сообщении #1151625 писал(а):

Для произвольного составного куба $N^3=N_1^3N_2^3$ составим тождество

$$N_1^3N_2^3 =N_1^3 t_2^3+ N_1^3( N_2^3-t_2^3), \qquad \e (1) $$

где $(N_1,N_2,\quad1<t_2<N_2)$ натуральные числa. Сократим общий делитель $N_1^3$. Получим тождество в взаимно простых числах

$$ N_2^3 = t_2^3+ ( N_2^3-t_2^3 ),\qquad \e (2) $$

которое, в связи с произвольностью $N_2^3$ и куба $t_2^3$ в указанном интервале, охватывает все возможные случаи для натуральных чисел $(N_2,t_2)$.
Если ВТФ не верна, то есть существует решение уравнения Ферма в натуральных числах, то для некоторых $ (N_2, t_2)$ правая часть (2) может быть представлена суммой двух кубов $(t_2^3; \quad (N_2^3-t_2^3))$. Оба куба рассматриваем как числа. Например:- для случая, когда она верна

$$5^3+(7^3-5^3)=5^3+217.$$

Но если правая часть (2),- сумма двух кубов, то разность кубов $(N_2^3-t_2^3) $ - куб (обозначим его как $N_3^3$) .
Тогда $N_2^3-t_2^3=N_3^3$, или $N_2^3=t_2^3+N_3^3$
и $N_2^3$ -составной куб , так как он равнялся бы сумме двух кубов. Запишем $N_2^3=N_4^3N^3_5$.
Значит, выполнено тождество

$$N_4^3N_5^3 =N_4^3 t_5^3+ N_4^3( N_5^3-t_5^3 ) \qquad \e (3),$$

где $(1<t_5^3<N_5^3)$.
Сократив $N_4^3$ , получим новое тождество в взаимно простых числах

$$ N_5^3 = t_5^3+ ( N_5^3-t_5^3 )\qquad \e (4) $$

Итак, на первом шаге спуска доказано появление меньшего составного куба
$N_4^3N_5^3< N_1^3N_2^3$ и пары новых тождеств.
Здесь естественно возникает вопрос. Пусть правая часть тождества (4) не представляет суммы двух кубов. Спуск остановлен.
Но доказательство, что существуют кубы $N_4^3, N_5^3$ сделано ранее на основании (2), то есть было показано, что существует $N_2^3=N_4^3N_5^3$. Этого достаточно, чтобы в этом случае (спуск остановлен) вернуться к исходному тождеству (1) с составным кубом $N_2^3$. Тем самым исходный куб будет состоять из трех сомножителей $N^3=N_1^3N_4^3N_5^3,$ и спуск существует,благодаря возможному сокращению двух сомножителей $N_1^3N_4^3$ уже в исходном тождестве (1). Тождество (1) примет

$$N_1^3N_4^3N_5^3 =N_1^3N_4^3 t_5^3+ N_1^3N_4^3( N_5^3-t_5^3)$$

А после сокращения сомножителей $N_1^3N_4^3$ получим

$$ N_5^3 = t_5^3+ ( N_5^3-t_5^3 ) $$

То есть тождество (4) становится тождеством первого шага и теперь мы можем утверждать, что правая часть (4) не может быть представлена двумя кубами. Так как тогда $( N_5^3-t_5^3 )$ должен быть кубом. и также как ранее доказывается существования третьего составного куба, меньшего предыдущего составного куба. Таким образом, спуск восстановлен и можем перейти к к следующему шагу на основании существования третьего составного куба

Напишите подробно доказательство существования следующего СОСТАВНОГО куба, в случае, когда

Цитата:

что правая часть (4) не может быть представлена двумя кубами.

[venco]

lasta в сообщении #1151612 писал(а):

venco в сообщении #1151609 писал(а):

Кубы то составные, но общего делителя у них может и не быть.

Это не так. Каждый новый составной куб равен произведению произвольных сомножителей. Но произведение этих сомножителей равно одному из сомножителей предыдущего составного куба. Исходный составной куб разрастается. С каждым шагом у него увеличивается число сомножителей.

Вы, может быть, и понимаете, что хотели здесь сказать (в чём я, правда, давно уже сомневаюсь), но я - нет.
Поэтому попробую изложить своими словами.

Итак, пусть $N^3=a^3+b^3$, числа взаимно простые. Т.е. ни на один делитель $N$ ни $a$, ни $b$ не делятся.
Добавляем вашу подстановку:
$N^3 = N_1^3N_2^3 = N_1^3t^3+N_1^3(N_2^3-t^3)=a^3+b^3$
Если теперь разделить на $N_1^3$, то получится:
$t^3+(N_2^3-t^3)=\frac{a^3+b^3}{N_1^3}$
Справа ничего не сокращается.
Из этого никак не следует, что $(N_2^3-t^3)$ должно быть кубом.

[lasta]

shwedka в сообщении #1151617 писал(а):

Вы уже от слова 'составной' отказались

shwedka в сообщении #1151627 писал(а):

Напишите подробно доказательство существования следующего СОСТАВНОГО куба, в случае, когда

lasta в сообщении #1151593 писал(а):

Для произвольного составного куба $N^3=N_1^3N_2^3$ составим тождество

$$N_1^3N_2^3 =N_1^3 t_2^3+ N_1^3( N_2^3-t_2^3), \qquad \e (1) $$

где $(N_1,N_2,\quad1<t_2<N_2)$ натуральные числa. Сократим общий делитель $N_1^3$. Получим тождество в взаимно простых числах

$$ N_2^3 = t_2^3+ ( N_2^3-t_2^3 ),\qquad \e (2) $$

которое, в связи с произвольностью $N_2^3$ и куба $t_2^3$ в указанном интервале, охватывает все возможные случаи для натуральных чисел $(N_2,t_2)$.
Если ВТФ не верна, то есть существует решение уравнения Ферма в натуральных числах, то для некоторых $ (N_2, t_2)$ правая часть (2) может быть представлена суммой двух кубов $(t_2^3; \quad (N_2^3-t_2^3))$. Оба куба рассматриваем как числа. Например:- для случая, когда она верна

$$5^3+(7^3-5^3)=5^3+217.$$

Но если правая часть (2),- сумма двух кубов, то разность кубов $(N_2^3-t_2^3) $ - куб (обозначим его как $N_3^3$) .
Тогда $N_2^3-t_2^3=N_3^3$, или $N_2^3=t_2^3+N_3^3$
и $N_2^3$ -составной куб , так как он равнялся бы сумме двух кубов. Запишем $N_2^3=N_4^3N^3_5$.
Значит, выполнено тождество

$$N_4^3N_5^3 =N_4^3 t_5^3+ N_4^3( N_5^3-t_5^3 ) \qquad \e (3),$$

где $(1<t_5^3<N_5^3)$.
Сократив $N_4^3$ , получим новое тождество в взаимно простых числах

$$ N_5^3 = t_5^3+ ( N_5^3-t_5^3 )\qquad \e (4) $$

Итак, на первом шаге спуска доказано появление меньшего составного куба
$N_4^3N_5^3< N_1^3N_2^3$ и пары новых тождеств.
Здесь естественно возникает вопрос. Пусть правая часть тождества (4) не представляет суммы двух кубов. Спуск остановлен.
Но доказательство, что существуют кубы $N_4^3, N_5^3$ сделано ранее на основании (2), то есть было показано, что существует $N_2^3=N_4^3N_5^3$. Этого достаточно, чтобы в этом случае (спуск остановлен) вернуться к исходному тождеству (1) с составным кубом $N_2^3$. Тем самым исходный куб будет состоять из трех сомножителей $N^3=N_1^3N_4^3N_5^3,$ и спуск существует,благодаря возможному сокращению двух сомножителей $N_1^3N_4^3$ уже в исходном тождестве (1). Тождество (1) примет

$$N_1^3N_4^3N_5^3 =N_1^3N_4^3 t_5^3+ N_1^3N_4^3( N_5^3-t_5^3)$$

А после сокращения сомножителей $N_1^3N_4^3$ получим

$$ N_5^3 = t_5^3+ ( N_5^3-t_5^3 ) $$

То есть тождество (4) становится тождеством первого шага и теперь мы можем утверждать, что правая часть (4) не может быть представлена двумя кубами. Так как тогда $( N_5^3-t_5^3 )$ должен быть кубом. То есть

$$ N_5^3-t_5^3=N_6^3 $$

Тогда

$$ N_5^3=N_6^3+ t_5^3$$

Следовательно $N_5^3$ составной куб, так как он раdняется сумме двух кубов. Запишем $N_5^3=N_6^3N_7^3$ . Таким образом, спуск восстановлен и можем перейти к к следующему шагу на основании существования третьего составного куба $N_5^3$, меньшего предыдущего составного куба.
На каждом последующем шаге будет увеличиваться число сомножителей исходного составного куба.
Докажем в общем случае, что составной куб появлялся бы на всех шагах спуска.
Пусть на произвольном шаге спуска сформулировано тождество с взаимно простыми числами

$$N_j^3=t_j^3+(N_j^3-t_j^3)$$

Если выражение $(N_j^3-t_j^3)$ равнялось бы кубу, (обозначим его как $N_{j+1}^3$), то существовало бы равенство.

$$N_j^3=t_j^3+N_{j+1}^3.$$

Тогда куб $N_j^3$ был бы составным, так как он равнялся бы сумме кубов.
Запишем $N_j^3=N_{j+2}^3N_{j+3}^3$
Следовательно, на произвольном шаге всегда появлялся бы составной куб и выполнялись бы два тождества для следующего шага: первое, - со слагаемыми с общим делителем

$$N_{j+2}^3N_{j+3}^3=N_{j+2}^3t^3+N_{j+2}^3(N_{j+3}^3-t^3) \qquad \e (5) $$

и после сокращения $N_{j+2}^3$, -второе тождество, - с взаимно простыми числами

$$N_{j+3}^3=t^3+(N_{j+3}^3-t^3) \qquad \e (6) $$

Следовательно, делаем вывод, что если составной куб появлялся бы на первом и произвольном шагах, то он появлялся бы на всех шагах спуска. Сразу отметим, что доказательство о том, что на произвольном шаге появлялся бы составной куб выведено логическим путем.
Составной куб образован из произвольных сомножителей $ (N_{j+2}^3, \quad N_{j+3}^3)$. И на эти сомножители существует одно ограничение, что их произведение равно $ N_j^3$.
Этим мы охватываем все возможные варианты значений степеней на произвольном шаге
Произвольность кубов $(N_{j+2}^3, \quad N_{j+3}^3)$ в новых тождествах показывает, что существует только единственная связь с кубами предыдущих тождеств - это их соотношения по величине. Новые составные кубы меньше предыдущих составных кубов, потому что получение нового тождества всегда связано с сокращением общего делителя в (5).
Отсутствие алгебраических преобразований между слагаемыми соседних по спуску тождеств - это одно из условий бесконечного спуска. Иначе, спуск был бы конечным.
На произвольном шаге также бы существовало утверждение, что правая часть тождества (6) не может быть суммой кубов, так как тогда можно было бы сформулировать следующее тождество со всеми свойствами предыдущего.
Таким образом, получилось бы бесконечное количество кубов, меньших исходного, ни один из которых не был бы представим суммой двух кубов. А исходный составной куб состоял бы из бесконечного числа сомножителей.
Но не существует бесконечности относительно целого числа. Следовательно, правая часть исходного тождества не является суммой двух кубов. Что и требовалось доказать.
Для доказательства общего случая ВТФ необходимо всего лишь заменить слово "куб" на слово "степень и показатель 3 на простой показатель $(p)$.

подправлено

[ananova]

venco в сообщении #1151630 писал(а):

Вы, может быть, и понимаете, что хотели здесь сказать (в чём я, правда, давно уже сомневаюсь), но я - нет.
Поэтому попробую изложить своими словами.

Итак, пусть $N^3=a^3+b^3$, числа взаимно простые. Т.е. ни на один делитель $N$ ни $a$, ни $b$ не делятся.
Добавляем вашу подстановку:
$N^3 = N_1^3N_2^3 = N_1^3t^3+N_1^3(N_2^3-t^3)=a^3+b^3$
Если теперь разделить на $N_1^3$, то получится:
$t^3+(N_2^3-t^3)=\frac{a^3+b^3}{N_1^3}$
Справа ничего не сокращается.
Из этого никак не следует, что $(N_2^3-t^3)$ должно быть кубом.

Мысль у lasta следующая:

Если справа $t_2^3+(N_2^3-t_2^3)=\frac{a^3+b^3}{N_1^3}$ ничего не сокращается, то ВТФ верна, если правая часть равна $(t_2^3+N_3^3)$, то выполняется очередной шаг, пока не наткнется на вариант ВТФ верна.

В общем, всё очевидно. Главное доказать, что если каждый такой шаг приводил к итогу "ВТФ верна", то вдруг, - на очередном шаге, она стала "не верна". Вот тут lasta и доказывает, что если такой момент произошел, то должно существовать бесконечно много шагов вверх (в сторону увеличения значений переменных), для которых ВТФ была бы "не верна", т.е. $z^3=y^3+x^3$ Успешно или нет - не могу судить.

[lasta]

venco в сообщении #1151630 писал(а):

Если теперь разделить на $N_1^3$, то получится:
$t^3+(N_2^3-t^3)=\frac{a^3+b^3}{N_1^3}$
Справа ничего не сокращается.
Из этого никак не следует, что $(N_2^3-t^3)$ должно быть кубом.

Уважаемый venco!

$$t_2^3+(N_2^3-t_2^3)=\frac{N_1^3t_2^3+N_1^3(N_2^3-t_2^3)}{N_1^3}=\frac{N_1^3N_2^3}{N_1^3}$$

Вам почему-то все время не нравится банальное тождество. Подстановки значений $a^3, b^3$ мы уже делали.

-- 16.09.2016, 18:49 --

ananova в сообщении #1151637 писал(а):

Если справа $t_2^3+(N_2^3-t_2^3)=\frac{a^3+b^3}{N_1^3}$ ничего не сокращается, то ВТФ верна, если правая часть равна $(t_2^3+N_3^3)$, то выполняется очередной шаг, пока не наткнется на вариант ВТФ верна.

Спасибо ananova!
Почти все так. Правильно истолковываете идею доказательства. Но правая часть тождества (1) делится на $N_1^3$

[ananova]

lasta в сообщении #1151646 писал(а):

Но правая часть тождества (1) делится на $N_1^3$

Даже если ВТФ "верна" - $N_1^3N_2^3=t^3+T$?

[lasta]

ananova в сообщении #1151650 писал(а):

Даже если ВТФ "верна" - $N_1^3N_2^3=t_2^3+T$?

Потому, что сначала раскладываем произвольный составной куб в сумму правой части тождества (1). Произвольный составной куб всегда существует и всегда выполнимо тождество (1). Все выводы делаем на тождестве (2).

[yk2ru]

lasta в сообщении #1151654 писал(а):

Все выводы делаем на тождестве (2).

Где вывод на случай сокращения множителя с числом из тройки решения УФ? Вы так и не привели.

[lasta]

yk2ru в сообщении #1151658 писал(а):

Где вывод на случай сокращения множителя с числом из тройки решения УФ? Вы так и не привели.

Приводил и не однократно. Читайте внимательнее мои ответы. Больше ничем не могу помочь.

[ishhan]

Уважаемый lasta!
И всё же по поводу логики.
Рассмотрим (2) и (3)

lasta в сообщении #1151631 писал(а):

$$ N_2^3 = t_2^3+ ( N_2^3-t_2^3 ),\qquad \e (2) $$

lasta в сообщении #1151631 писал(а):

$$N_4^3N_5^3 =N_4^3 t_5^3+ N_4^3( N_5^3-t_5^3 ) \qquad \e (3),$$

Если справа в (2) и (3) суммы двух кубов
Учитывая то что

$$ N_2^3 =N_4^3N_5^3$$

эти суммы равны одному и тому же числу- кубу числа $N_2$.
Никаких противоречий не будет только в том случае, если

$$t_2^3=N_4^3 t_5^3$$

$$( N_2^3-t_2^3 )=N_4^3( N_5^3-t_5^3)$$

Иначе нужно оговорить число различных способов представления куба числа $N_2$ при которых ВТФ верна или неверна и это момент у Вас пропущен.
Если я ошибаюсь, то поясните где и в чём.

[venco]

lasta в сообщении #1151646 писал(а):

venco в сообщении #1151630 писал(а):

Если теперь разделить на $N_1^3$, то получится:
$t^3+(N_2^3-t^3)=\frac{a^3+b^3}{N_1^3}$
Справа ничего не сокращается.
Из этого никак не следует, что $(N_2^3-t^3)$ должно быть кубом.

Уважаемый venco!

$$t_2^3+(N_2^3-t_2^3)=\frac{N_1^3t_2^3+N_1^3(N_2^3-t_2^3)}{N_1^3}=\frac{N_1^3N_2^3}{N_1^3}$$

Вам почему-то все время не нравится банальное тождество. Подстановки значений $a^3, b^3$ мы уже делали.

Банальные тождества интересны только тем, что из них следует, или не следует.
Вы так и не показали, почему $(N_2^3-t^3)$ должно быть кубом.
Напомню - вам, чтобы продолжить спуск, надо найти такое $t$, чтобы $(N_2^3-t^3)$ оказалось кубом. Вы этого так и не продемонстрировали.

-- Пт сен 16, 2016 11:55:47 --

ananova в сообщении #1151637 писал(а):

venco в сообщении #1151630 писал(а):

Вы, может быть, и понимаете, что хотели здесь сказать (в чём я, правда, давно уже сомневаюсь), но я - нет.
Поэтому попробую изложить своими словами.

Итак, пусть $N^3=a^3+b^3$, числа взаимно простые. Т.е. ни на один делитель $N$ ни $a$, ни $b$ не делятся.
Добавляем вашу подстановку:
$N^3 = N_1^3N_2^3 = N_1^3t^3+N_1^3(N_2^3-t^3)=a^3+b^3$
Если теперь разделить на $N_1^3$, то получится:
$t^3+(N_2^3-t^3)=\frac{a^3+b^3}{N_1^3}$
Справа ничего не сокращается.
Из этого никак не следует, что $(N_2^3-t^3)$ должно быть кубом.

Мысль у lasta следующая:

Если справа $t_2^3+(N_2^3-t_2^3)=\frac{a^3+b^3}{N_1^3}$ ничего не сокращается, то ВТФ верна

Не вижу логики.
Т.е. давно понятно, что именно это lasta утверждает, но многократное повторение не добавляет истинности высказыванию.

-- Пт сен 16, 2016 11:58:39 --

lasta в сообщении #1151646 писал(а):

Но правая часть тождества (1) делится на $N_1^3$

То что сумма $a^3+b^3$ делится на $N_1^3$ - верно, но вот ни $a^3$ ни $b^3$ не делятся. Что будем делать?