2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Вероятностная задача на нормальность
Сообщение23.07.2016, 07:22 


05/02/13
132
Надеюсь, откопал неплохую задачу по сложности.

Пусть $\{\xi_n\}_{n=1}^\infty$ - последовательность стандартных нормальных случайных величин и пусть $\{\sigma_n\}_{n=1}^\infty$ - набор положительных чисел.

Докажите, что если при некотором $\lambda > 0$ ряд $$\sum\limits_{n=1}^\infty \exp\left\{-\frac{\lambda}{\sigma_n^2}\right\}$$ сходится, то последовательность $\{\sigma_n \xi_n\}_{n=1}^\infty$ ограничена почти наверное и при $\varepsilon < \frac{1}{2\sup\limits_n \sigma_n^2}$ существует конечное математическое ожидание $$M\exp\{\varepsilon \cdot \sup\limits_n |\sigma_n\xi_n|^2\}.$$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вероятностная задача на нормальность
Сообщение23.07.2016, 10:26 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
ProPupil
Независимых?
Странное условие: чем быстрее растет числовая посл-ть, тем легше сходимость ряда, и тем хуже с ограниченностью.
И: ряд сходится - супремум равен бесконечности - епсилон равно нулю....
А, нет - оно отрицательно и произвольно, да?

-- 23.07.2016, 11:31 --

Ой, тогда что же будет - в последней экспоненте???
Может, так: супремум - по первым $n$, и эпсилон - положительно, но зависит от $n$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вероятностная задача на нормальность
Сообщение23.07.2016, 12:32 
Заслуженный участник


05/08/14
1564
$\sigma_n$ должна стремиться к нулю, чтобы сумма $$\sum\limits_{n=1}^\infty \exp\left\{-\frac{\lambda}{\sigma_n^2}\right\}$$ сходилась.
ProPupil в сообщении #1139600 писал(а):
то последовательность $\{\sigma_n \xi_n\}_{n=1}^\infty$ ограничена почти наверное

Где ограничена?
Если $\sigma_n$ должна стремиться к нулю, то все $\{\sigma_n \xi_n\}_{n=1}^\infty$ являются нормально распределенными и, следовательно, ограничены в $L_2$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вероятностная задача на нормальность
Сообщение23.07.2016, 16:14 


05/02/13
132
DeBill в сообщении #1139611 писал(а):
ProPupil
Независимых?

Независимость не предполагается.

Цитата:
Где ограничена?


Ограниченность понимается в следующем смысле: $P\{\omega: \sup\limits_n (\sigma_n\xi_n(\omega)) < \infty\}=1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вероятностная задача на нормальность
Сообщение23.07.2016, 16:22 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
dsge в сообщении #1139621 писал(а):
$\sigma_n$ должна стремиться к нулю, чтобы сумма

Упс. Ну конечно, чё это я...

-- 23.07.2016, 17:47 --

Ну, для независимых - можно, используя асимптотику для (остатка) интеграла Лопласа.
А вот в общем случае?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вероятностная задача на нормальность
Сообщение24.07.2016, 22:05 


05/02/13
132
В общем случае можно через следствие из леммы Бореля-Кантелли

 Профиль  
                  
 
 Re: Вероятностная задача на нормальность
Сообщение26.07.2016, 08:51 


05/02/13
132
Подсказка: ограниченность легко получается.

Пусть $\xi$ --- стандартная нормальная случайная величина. Тогда можно показать, что $P\{|\xi| > t\} \leq \frac{2}{\sqrt{2\pi}}\frac{1}{t}e^{-\frac{t^2}{2}}.$

Если для некоторого $\lambda > 0$ ряд из условия сходится, то, начиная с некоторого $n$ $P\{|\sigma_n \xi_n| > \sqrt{\lambda}\} \leq \frac{2}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{\lambda^2}{\sigma_n^2}}$ (c того $n$, начиная с которого $\sigma_n < \lambda$)

Поэтому ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty P\{|\sigma_n\xi_n| > \sqrt{\lambda}\}$ сходится.

Обозначим через $A_n = \{|\sigma_n\xi_n| > \sqrt{\lambda}\}$.

По лемме Бореля-Кантелли $P\{\varlimsup\limits_{n \to \infty} A_n\} = 0$, и

$P\{\sup\limits_n |\sigma_n\xi_n| < \infty\} \geq P\{\varliminf\limits_n cA_n\}=1-P\{\varlimsup\limits_{n \to \infty} A_n\}=1.$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group