Спектр дифференциального оператора

[EEater]

Прошу дать подсказку - что-то зашел в тупик.
По определению из разных источников, множество $\lambda$, при котором $Ax=\lambda x$ ($x\neq 0$), составляет точечный спектр $A$ (это относится и к бесконечномерному пространству тоже).
Возьмем, к примеру, $Ax=\frac{d^2x}{dt^2}$. Для этого случая $\lambda$ существуют - это все комплексные числа, а собственные функции - $ae^{\sqrt{\lambda}t}$.
Но тогда - какой же спектр "точечный"?

[ewert]

EEater в сообщении #1139191 писал(а):

Для этого случая $\lambda$ существуют - это все комплексные числа,

Во-первых, скорее наоборот. Во-вторых, вопрос бессмыслен, пока не указано, в каком пространстве.

EEater в сообщении #1139191 писал(а):

Но тогда - какой же спектр "точечный"?

А с какой стати он вообще должен существовать?

[EEater]

ewert в сообщении #1139201 писал(а):

вопрос бессмыслен, пока не указано, в каком пространстве.

Ну пусть хоть в пространстве бесконечно дифференцируемых функций.

ewert в сообщении #1139201 писал(а):

А с какой стати он вообще должен существовать?

Я имею в виду: согласно определению он точечный, а по факту непрерывный.

[ewert]

EEater в сообщении #1139206 писал(а):

Ну пусть хоть в пространстве бесконечно дифференцируемых функций.

Это ещё не пространство -- нужна как минимум норма.

[EEater]

ewert в сообщении #1139218 писал(а):

Это ещё не пространство -- нужна как минимум норма.

Линейное пространство - разве этого не достаточно?

[Otta]

EEater Нет. Как Вы будете непрерывность определять? Да и вообще пространство - это не только множество, это еще норма (если банахово) или топология (если топологическое) ну и т.д.
--
ewert
Кстати, я, на это любуясь, думаю вопрос: точно "как минимум"? ЛТП не достаточно для определения спектра? Ни разу не встречала, но вдруг.

[EEater]

Otta в сообщении #1139224 писал(а):

Нет. Как Вы будете непрерывность определять?

Кажется, понял, в чем дело. Пространство должно быть банаховым, верно. Но указанные "собственные функции" не принадлежат $L_2$.

[Otta]

EEater в сообщении #1139226 писал(а):

Но указанные "собственные функции" не принадлежат $L_2$.

Нипонял. Про $L_2$ речи не было вообще.

[EEater]

Otta в сообщении #1139229 писал(а):

Нипонял. Про $L_2$ речи не было вообще.

Ну это я к примеру, если берем гильбертово пространство.

[Otta]

Ну не надо к примеру, у Вас же конкретный оператор, он на всем $L_2$ даже рядом не определен.
А $C^\infty$ ненормируемо.

[EEater]

Да, это так. Хорошо, поставлю вопрос иначе. Можно ли указать пространство, в котором операция, описанная в стартовом посте, имела бы смысл решения проблемы собственных значений? При каких условиях можно сказать, что найден спектр и собственные функции?
Дело в том, что есть книги по физике, в которых, особо не усомнившись и не уточняя пространства, именно так и получают собственные функции. Я все же хочу разобраться.

[Red_Herring]

Обязательно нужно указать пространство, прим такое, чтобы было понятие ограниченности. И если оператор неограниченный, то нужно указать его область определения.

Например, оператор второй производной можно рассматривать в $L^2(I)$, где $I$ отрезок, и
(а) если область определения состоит их все функций $u$, т.ч. $u''\in L^2(I)$, то точечный спектр будет $\mathbb{C}$,
(б) если область определения состоит их все функций $u$, т.ч. $u''\in L^2(I)$, и $u=u'=0$ на обоих концах, то остаточный спектр будет $\mathbb{C}$,
(в) если область определения состоит их все функций $u$, т.ч. $u''\in L^2(I)$, и $u=u'=0$ на левом конце, то спектр будет пустым,
(г) если область определения состоит их все функций $u$, т.ч. $u''\in L^2(I)$, и $u=0$ на обоих концах, то весь спектр будет дискретным (в частности точечным)
и т.д. и т.п.

Без конкретики ответ будет вполне известным

Ну а если хочется весовое $L^2$, на всей прямой, то при весе $e^{x^2}$ ответ (а), а при весе $e^{-x^2}$ ответ (надо проверить), а в обычном $L^2$ ответ
(д) весь спектр непрерывный, совпадает с $\mathbb{R}$

[EEater]

Red_Herring в сообщении #1139242 писал(а):

Например

Спасибо, это понятно! Но возьмем дифференцируемые функции, определенные на всей числовой оси. Дифференциальное уравнение $x''=\lambda x$ имеет ненулевые решения, они известны. Есть ли какие-то условия, при которых можно сказать, что это - задача на спектр оператора (как утверждается в некоторых книжках)? Или нет, и она только по записи похожа?

[Red_Herring]

EEater в сообщении #1139237 писал(а):

Дело в том, что есть книги по физике, в которых, особо не усомнившись и не уточняя пространства, именно так и получают собственные функции.

(Лк.23:34) писал(а):

Прости им, господи, ибо они не ведают, что творят

-- 21.07.2016, 08:24 --

EEater в сообщении #1139250 писал(а):

Но возьмем дифференцируемые функции, определенные на всей числовой оси

Я добавил в своем первом посте.

[Otta]

(Оффтоп)

Red_Herring
Вот мне было интересно, так ли важна именно ограниченность (как я понимаю, она важна в банаховых пространствах, где ограниченность линейного оператора равносильна его непрерывности). Не достаточно ли брать пространства, где есть только топология, без нормы (Шварца, например)? Если нет, то почему? Потому что на мой дилетантский взгляд в явном виде именно ограниченность при определении спектра (любого) вроде как и не нужна, достаточно непрерывности. (?)

2. Вы где-то писали, что различаете дискретный спектр и точечный (что делают не все учебные источники, в большинстве это синонимы). Я не могу найти. :) Не напомните ли, если не сложно? или где посмотреть, чтобы уж наверняка.

В оффтоп спряталась, чтобы не мешать. Не к спеху.