2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Система неравенств с параметром.
Сообщение12.07.2016, 18:04 
Аватара пользователя


04/10/15
291
Здравствуйте, уважаемые форумчане.
Задача: $$\left\{
\begin{array}{rcl}
 &x^2+2xy-7y^2\geqslant\dfrac{1-a}{1+a}& \\
 &3x^2+10xy-5y^2\leqslant-2& \\
\end{array}
\right.$$
Найти все значения параметра $a$, при каждом из которых система неравенств имеет решение.
Если бы справа хоть где-то был бы ноль, получилось бы свести к алгебраическому неравенству второй степени.
Я пытался сделать так: рассмотреть неравенства относительно $y$, как квадратные, выписать дискриминант и корни, получить выражения для $y$, нарисовать всё это и найти $a$. Но успехом это не увенчалось, поскольку рисовать там всё это весьма проблематично.
Какой тут наиболее оптимальный способ решения?

И есть ли вообще какой-то универсальный способ решения вот таких штук?
$$\left\{
\begin{array}{rcl}
 &ax^2+bxy+cy^2=d& \\
 &ex^2+fxy+gy^2=h& \\
\end{array}
\right.$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Система неравенств с параметром.
Сообщение12.07.2016, 18:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
iou в сообщении #1137496 писал(а):
И есть ли вообще какой-то универсальный способ решения вот таких штук?
$$\left\{
\begin{array}{rcl}
&ax^2+bxy+cy^2=d& \\
&ex^2+fxy+gy^2=h& \\
\end{array}
\right.$$

Домножением уравнений на соответствующие константы уравниваются правые части, после чего приравниваются левые части - получается однородное уравнение второй степени. Далее - ясно.
Про задачу: для начала домножьте первое неравенство на $-2$ и сложите результат со вторым неравенством, потом подумайте.

 Профиль  
                  
 
 Re: Система неравенств с параметром.
Сообщение12.07.2016, 18:56 
Аватара пользователя


04/10/15
291
Brukvalub в сообщении #1137501 писал(а):
Про задачу: для начала домножьте первое неравенство на $-2$ и сложите результат со вторым неравенством, потом подумайте.

Получается:
$$(x+3y)^2\leqslant\dfrac{-4}{a+1}$$
Заметим, что слева функция принимает неотрицательные значения, поэтому для нашего условия это неравенство эквивалентно следующему:
$\dfrac{-4}{a+1}\geqslant0$, откуда $a<-1$

 Профиль  
                  
 
 Re: Система неравенств с параметром.
Сообщение12.07.2016, 19:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
iou в сообщении #1137506 писал(а):
откуда $a<-1$

Пока это только необходимое условие разрешимости системы неравенств. Попробуйте доказать, что оно и достаточно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Система неравенств с параметром.
Сообщение12.07.2016, 19:10 
Аватара пользователя


04/10/15
291
Brukvalub в сообщении #1137507 писал(а):
Попробуйте доказать, что оно и достаточно.

$(x+3y)^2\leqslant \dfrac{-4}{a+1}$ равносильно исходной системе неравенств, при $a<-1$ правая часть неравенства больше нуля, а также всегда существует $y=\frac{-x}{3}$, то есть при $a<-1$ существует как минимум 1 решение (на самом деле их так бесконечно много).

 Профиль  
                  
 
 Re: Система неравенств с параметром.
Сообщение12.07.2016, 19:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
iou в сообщении #1137510 писал(а):
$(x+3y)^2\leqslant \dfrac{-4}{a+1}$ равносильно исходной системе неравенств, при $a<-1$

Это КАК??? :shock:

 Профиль  
                  
 
 Re: Система неравенств с параметром.
Сообщение12.07.2016, 19:39 
Аватара пользователя


04/10/15
291
Brukvalub в сообщении #1137515 писал(а):
Это КАК???

При сложении неравенств корни не терялись, поэтому область решений получившегося неравенства совпадает с областью решений системы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Система неравенств с параметром.
Сообщение12.07.2016, 19:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
iou в сообщении #1137517 писал(а):
При сложении неравенств корни не терялись, поэтому область решений получившегося неравенства совпадает с областью решений системы.

Докажите это утверждение подробно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Система неравенств с параметром.
Сообщение13.07.2016, 00:05 
Аватара пользователя


04/10/15
291
Brukvalub в сообщении #1137518 писал(а):
Докажите это утверждение подробно.

Оно ложно. [нашёл простой контрпример]
Brukvalub в сообщении #1137507 писал(а):
Попробуйте доказать, что оно и достаточно.

Я довольно долго просидел с этой задачей, но так и не получилось доказать достаточность. Ведь достаточность в данном случае подразумевает отсутствие других необходимых условий? То есть нужно показать, что случай $a \in (-1; \infty)$ нас не интересует, но у меня этого не получилось.

 Профиль  
                  
 
 Re: Система неравенств с параметром.
Сообщение13.07.2016, 01:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
iou в сообщении #1137562 писал(а):
Ведь достаточность в данном случае подразумевает отсутствие других необходимых условий?

Нет. Например, для положительности числа необходимо (и достаточно), чтобы обратное к нему тоже было положительным, но также необходимо, чтобы это число было больше, чем $-1$ .

 Профиль  
                  
 
 Re: Система неравенств с параметром.
Сообщение13.07.2016, 17:46 
Аватара пользователя


04/10/15
291
Brukvalub в сообщении #1137507 писал(а):
Попробуйте доказать, что оно и достаточно.

Я придумал что-то такое.
Введём функцию $f(a)=\dfrac{1-a}{1+a}$, при $a \in (-\infty; -1)$ эта функция непрерывна и принимает значения $(-\infty; -1)$
Тогда я могу найти такую пару $(x, y)$, при подстановке которой в первое неравенство системы неравенство будет верно для любого значения $f(a)$ (второе неравенство тоже будет верно), но, насколько я понимаю, это недостаточное условие.

 Профиль  
                  
 
 Re: Система неравенств с параметром.
Сообщение13.07.2016, 17:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
iou в сообщении #1137645 писал(а):
Тогда я могу найти такую пару $(x, y)$, при подстановке которой в первое неравенство системы неравенство будет верно для любого значения $f(a)$ (второе неравенство тоже будет верно)

Если сможете найти такую пару, то этого будет как раз достаточно. Осталось строго обосновать, почему такая пара существует.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group