2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Траектории лагранжевой системы в потенциальной яме
Сообщение29.06.2016, 18:25 


07/06/16
21
Есть натуральная лагранжева система с одной степенью свободы. Лагранжиан задан в общем виде
$$L(x,\dot{x}) = a(x)\dot{x}^2 - b(x)$$
$a(x)$ -- положительно определённая функция.
Допустим, множество $$U = \{x \in\mathbb{R} | b(x) < h \}$$
является компактным. Кажется очевидным, что любая траектория этой системы, выходящая из $U$ с нулевой скоростью является периодической (или положением равновесия). В какой книге по теормеху можно найти доказательство?

 Профиль  
                  
 
 Re: Колебания лагранжевой системы с 1ст.св. в потенциальной яме
Сообщение29.06.2016, 19:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
61330

(Оффтоп)

SurovM в сообщении #1134724 писал(а):
или положением равновесия

Что тоже периодическая.


А чем не устраивает, скажем, ЛЛ-1 § 11?

 Профиль  
                  
 
 Re: Траектории лагранжевой системы в потенциальной яме
Сообщение29.06.2016, 19:15 


07/06/16
21
Munin не смог найти в этом параграфе ни одной теоремы. В этой книге, как и в большинстве других по механике строгого доказательства нет. Приводится поверхностный качественный анализ. Причём, для более простой системы с постоянной массой.

Есть статьи вроде этой Hayashi - periodic solutions of classical hamiltonian systems, но там рассматривается более широкий класс систем. Мне эти усложнения ни к чему. Здесь должна существовать какая-то очень простая теорема, это, должно быть, базовые вещи.

 Профиль  
                  
 
 Re: Траектории лагранжевой системы в потенциальной яме
Сообщение29.06.2016, 21:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
6312
Hogtown
Это утверждение просто неверно. Примет $a(x)=1$, а вот $b(x)$ гладкая и т.ч.

1) $b<0$ на $(-1,1)$ ;
2) $b(\pm 1)=0$, $b'(-1)<0$, $b'(1)=0$.

Тогда траектория, вышедшая из $-1$ с нулевой скоростью, при $t\to \pm \infty$ будет стремиться к $+1$, никогда ее не достигая

 Профиль  
                  
 
 Re: Траектории лагранжевой системы в потенциальной яме
Сообщение29.06.2016, 21:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
61330
SurovM в сообщении #1134733 писал(а):
Причём, для более простой системы с постоянной массой.

Достаточно не вытаскивать массу из-под корня. В Медведеве приведена соответствующая формула
$$t-t_0=\pm\int\dfrac{dq}{\,\,\sqrt{\dfrac{2}{\,\,a(q)\,\,}\,(E-U(q))\,\,}\,\,}.$$
Red_Herring
Спасибо за контрпример!!!

 Профиль  
                  
 
 Re: Траектории лагранжевой системы в потенциальной яме
Сообщение29.06.2016, 21:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
6312
Hogtown
Ну и согласно это согласуется с контрпримером: если под корнем стоит $\asymp (q-q_0)^2$ , то интеграл разойдется. Физический пример: математический маятник у которого полная энергия равна потенциальной "на самом верху".

 Профиль  
                  
 
 Re: Траектории лагранжевой системы в потенциальной яме
Сообщение29.06.2016, 21:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
61330
SurovM в сообщении #1134733 писал(а):
Munin не смог найти в этом параграфе ни одной теоремы. В этой книге, как и в большинстве других по механике строгого доказательства нет.

+1. Эти книги не для математиков, а для физиков.

Книг по механике для математиков я не знаю. Даже Арнольд - для физиков, по большому счёту. Боюсь, книга по механике для математиков - это такая заковыристость и экзотика (и в смысле редкости, и по содержанию), что на форуме "Физика" спрашивать об этом бесполезно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Траектории лагранжевой системы в потенциальной яме
Сообщение29.06.2016, 22:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
1852
СПб
Munin в сообщении #1134751 писал(а):
Боюсь, книга по механике для математиков

думаю, такова была "Аналитическая механика" Лагранжа

 Профиль  
                  
 
 Re: Траектории лагранжевой системы в потенциальной яме
Сообщение29.06.2016, 22:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
61330
Red_Herring
Да-да, я понял контрпример.

Ещё очень наглядный для физиков - это движение в перевёрнутом потенциале четвёртой степени $-\tfrac{\lambda}{4}q^4+\tfrac{\mu^2}{2}q^2.$ Или в потенциале $\sin q.$ Оно называется инстантонным (когда начинается на одном максимуме и заканчивается на другом при $t\to\pm\infty$).

-- 29.06.2016 22:09:04 --

Munin в сообщении #1134754 писал(а):
Или в потенциале $\sin q.$

А, собственно, это маятник и есть.

 Профиль  
                  
 
 Re: Траектории лагранжевой системы в потенциальной яме
Сообщение29.06.2016, 23:31 


07/06/16
21
2 Munin

(Оффтоп)

Munin в сообщении #1134751 писал(а):
Книг по механике для математиков я не знаю.

Abraham - Fundamentals of mechanics, да и почти любая книга по неголономным системам.


-- 29.06.2016, 23:53 --

Red_Herring А если потенциальная энергия имеет единственный экстремум на $U$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Траектории лагранжевой системы в потенциальной яме
Сообщение30.06.2016, 00:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
61330
SurovM в сообщении #1134765 писал(а):
Red_Herring А если потенциальная энергия имеет единственный экстремум на $U$?

Вы имеете в виду, единственный минимум, и не имеет максимумов? Вроде с вашими условиями совместим только такой вариант.

Кстати, пример Red_Herring, если я правильно понимаю определение экстремума, как раз таков, если его обнулить вне $(-1,+1).$

Да и даже если не обнулять, а просто взять соответствующий полином 4-й степени, с "рогами" вверх за пределами этого интервала.

 Профиль  
                  
 
 Re: Траектории лагранжевой системы в потенциальной яме
Сообщение30.06.2016, 00:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
6312
Hogtown
Munin в сообщении #1134775 писал(а):
SurovM в сообщении #1134765 писал(а):
Red_Herring А если потенциальная энергия имеет единственный экстремум на $U$?

Вы имеете в виду, единственный минимум, и не имеет максимумов? Вроде с вашими условиями совместим только такой вариант.


Нет, в точке, в которую решение стремится д.б. $b'=0$, что влючaет и перегиб. Главное, чтоб интеграл расходился

 Профиль  
                  
 
 Re: Траектории лагранжевой системы в потенциальной яме
Сообщение30.06.2016, 00:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
61330
Вот я путаюсь. Глядя в Википудию (и помня, насколько это мусорка), я так подумал, что точка перегиба - это стационарная точка, но не экстремум (а экстремум $\stackrel{\mathrm{def}}{=}$ минимум $\vee$ максимум).

 Профиль  
                  
 
 Re: Траектории лагранжевой системы в потенциальной яме
Сообщение30.06.2016, 00:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
6312
Hogtown
Вообще то говоря, перегиб не обязательно стационарная точка, а точка, в которой вторая производная меняет знак (т.е. с одной стороны ф-я выпукла, а с другой вогнута). Что не исключает стационарной точки, которая также и точка перегиба--о ней и идет речь здесь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Траектории лагранжевой системы в потенциальной яме
Сообщение30.06.2016, 00:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
61330
Пардон.

Читать "точка, в которой $f'=0,f''=0,$ а в выколотой окрестности которой $f'\ne 0,f''\ne 0$".

Что-то я совсем закосноязычел. Прошу прощения.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 23 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Парджеттер, Pphantom, whiterussian, Aer, photon, profrotter, Jnrty, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group