2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Является ли отображение сжимающим? Проверить доказательство
Сообщение23.06.2016, 17:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14

1377
Пусть $F: \operatorname{Pos}M_n(\mathbb{C}) \to M_m (\mathbb{C})$ где $\operatorname{Pos} M_n(\mathbb{C})$ - множество положительных над $\mathbb{C}$ матриц (т.е. самосопряжённых и со строго положительным спектром). Где $\varphi : M_n(\mathbb{C}) \to M_m(\mathbb{C})$ - изометрический оператор. $T \in M_m(\mathbb{C})$ - некоторый оператор с нормой $1$, $0<q<1$. Определим отображение $F$.

$$F(x) = 1 + q \varphi(\sqrt{x}) T \varphi(\sqrt{x})$$

я утверждаю, что если $x,y> 0$ и $||x|| < \frac{1}{1-q}$ и $||y|| < \frac{1}{1-q}$ то имеет место $||F(x) - F(y)|| \leqslant q ||x - y||$. Доказательство. Вспомним теорему о конечных приращениях
$$||F(x) - F(y)|| \leqslant \sup_{\eta \in [x..y]} ||dF(\eta)|| ||x - y||$$
вычислим дифференциал
$$dF(x)(h) =q \varphi(d \sqrt{x} (h) ) T \varphi(\sqrt{x})  + q \varphi(\sqrt{x}) T \varphi(d \sqrt{x} (h) )$$
мы знаем дифференциал корня
$$d\sqrt{A}(H) = \int_0^{\infty}e^{-t\sqrt{A}}He^{-t\sqrt{A}}dt$$
оценимм его норму, считая $||A|| < \frac{1}{1-q}$
$$||d\sqrt{A}(H)|| = ||H|| \int_0^{\infty}e^{-2t||\sqrt{A}||}dt \leqslant ||H|| \int_0^{\infty}e^{-\frac{2t}{\sqrt{1-q}}}dt|| = \frac{\sqrt{1-q}}{2}||H||$$
откуда
$$||d\sqrt{A}|| = \frac{\sqrt{1-q}}{2}$$
и
$$||dF(x)|| \leqslant 2q ||\varphi(d \sqrt{x} (h) )|| ||T|| ||\varphi(\sqrt{x})|| \leqslant 2q \frac{\sqrt{1-q}}{2} \cdot 1 \cdot \frac{1}{\sqrt{1-q}} = q$$
поэтому из
$$||F(x) - F(y)|| \leqslant \sup_{\eta \in [x..y]} ||dF(\eta)|| ||x - y||$$
$$||x|| < \frac{1}{1-q}, ||y|| < \frac{1}{1-q}$$
получам
$$||F(x) - F(y)|| \leqslant q ||x-y||$$.

Хотелось бы, чтобы уважаемые участники проверили корректность доказательства, спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Является ли отображение сжимающим? Проверить доказательство
Сообщение23.06.2016, 21:00 
Заслуженный участник


14/10/14
1207
А норма у матриц непонятно какая?

А $F$ дифференцируемо?..

 Профиль  
                  
 
 Re: Является ли отображение сжимающим? Проверить доказательство
Сообщение23.06.2016, 21:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14

1377
У каких матриц?

-- 23.06.2016, 20:03 --

Да, дифференциал я выписал.

 Профиль  
                  
 
 Re: Является ли отображение сжимающим? Проверить доказательство
Сообщение23.06.2016, 21:21 
Заслуженный участник


14/10/14
1207
Ну в смысле норма задана непонятно какая или считается, что она, например, эрмитова (корень из суммы квадратов модулей элементов)?

 Профиль  
                  
 
 Re: Является ли отображение сжимающим? Проверить доказательство
Сообщение23.06.2016, 21:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14

1377
Slav-27
Норма спектральная.

 Профиль  
                  
 
 Re: Является ли отображение сжимающим? Проверить доказательство
Сообщение23.06.2016, 22:22 
Заслуженный участник


14/10/14
1207
kp9r4d в сообщении #1133541 писал(а):
оценимм его норму, считая $||A|| < \frac{1}{1-q}$
$$||d\sqrt{A}(H)|| = ||H|| \int_0^{\infty}e^{-2t||\sqrt{A}||}dt \leqslant ||H|| \int_0^{\infty}e^{-\frac{2t}{\sqrt{1-q}}}dt|| = \frac{\sqrt{1-q}}{2}||H||$$
Чем хуже оценка для $||A||$, тем лучше для значения дифференциала...

А всё потому, что в показателе экспоненты минуса лишние.

 Профиль  
                  
 
 Re: Является ли отображение сжимающим? Проверить доказательство
Сообщение23.06.2016, 22:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14

1377
Slav-27
Ага, то есть по сути нужна оценка на наименьшее собственное число $\sqrt{A}$, пусть это $\alpha$, тогда $||e^{-t\sqrt{A}}||  =e^{-t \alpha}$. Так? Будем считать, что $\alpha = \frac{1}{\sqrt{1-q}}$ тоже. Что-нибудь ещё ломается?

 Профиль  
                  
 
 Re: Является ли отображение сжимающим? Проверить доказательство
Сообщение23.06.2016, 22:32 
Заслуженный участник


14/10/14
1207
А разве ещё не всё сломалось?

Дифференциал-то вы теперь не умеете оценивать вообще.

 Профиль  
                  
 
 Re: Является ли отображение сжимающим? Проверить доказательство
Сообщение23.06.2016, 22:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14

1377
Slav-27
Я с этим согласился и предложил модифицированную задачу: допустим я знаю, что наименьшее (а не только наибольшее) собственное число оператора $\sqrt{A}$ равно $\frac{1}{\sqrt{1-q}}$, тогда можно сделать вывод $||e^{-\sqrt{A}}|| = e^{-||\sqrt{A}||}$ в остальном всё правильно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Является ли отображение сжимающим? Проверить доказательство
Сообщение24.06.2016, 10:47 
Заслуженный участник


14/10/14
1207
Понятно. Ну тогда ваши $x$ и $y$ просто числа (кратны единичным операторам)...

А почему под ваш изометрический оператор дифференциал так хорошо забрался?

Больше принципиальных проблем не вижу (хоть это не значит, что их нет).

 Профиль  
                  
 
 Re: Является ли отображение сжимающим? Проверить доказательство
Сообщение24.06.2016, 23:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14

1377
Slav-27
Да, спасибо.
Я обозначил наименьшее собственное число оператора $A$ как $\alpha$ и получил оценку $\leqslant \frac{q}{\sqrt{(1-q) \alpha}}$, что уже гораздо менее оптимистично и гораздо более реально (в моём случае).

Slav-27 в сообщении #1133696 писал(а):
А почему под ваш изометрический оператор дифференциал так хорошо забрался?

Да, надо было сказать, что это помимо того, что изометрический оператор, ещё и $^*$-гомоморфизм алгебр.

 Профиль  
                  
 
 Re: Является ли отображение сжимающим? Проверить доказательство
Сообщение29.06.2016, 04:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
kp9r4d в сообщении #1133616 писал(а):
допустим я знаю, что наименьшее (а не только наибольшее) собственное число оператора $\sqrt{A}$ равно $\frac{1}{\sqrt{1-q}}$


Много ли самосопряженных операторов, у которых наименьшее собственное значение совпадает с наибольшим?

 Профиль  
                  
 
 Re: Является ли отображение сжимающим? Проверить доказательство
Сообщение29.06.2016, 04:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14

1377
g______d
Да я неправильно выразился. Я хотел спросить примерно следующее: допустим мы сделали вывод $||e^{-A}|| \leqslant e^{-||A||}$, будут ли рассуждения верны дальше (не используя непосредственно то, что $A=\operatorname{const}$)? Ну вроде как верны. В любом случае, после обозначения наименьшого собственного числа за $\alpha$ и вывода $||e^{-A}|| \leqslant e^{-\alpha}$ получается оцнека, которая была уже получена до меня (Лемма 5.1), что обидно. Правда я совсем чуть-чуть другой выкладкой получил, что может быть интересно. А может быть и нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Является ли отображение сжимающим? Проверить доказательство
Сообщение29.06.2016, 05:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
Ладно, тогда вопрос по первоначальной задаче:

1) Если слагаемое 1 сокращается, выкинуть его из условия.

2) После этого условие, очевидно, однородно по $q$. Почему ограничения на $x$ и $y$ не однородны?

-- Вт, 28 июн 2016 19:14:01 --

Собственно, потому что инвариантная постановка будет с $F(x)=\varphi(\sqrt{x})T \varphi(\sqrt{x})$, $\|x\|$ и $\|y\|$ произвольны, $q=1$. Всегда хорошо избавиться от лишнего параметра.

 Профиль  
                  
 
 Re: Является ли отображение сжимающим? Проверить доказательство
Сообщение29.06.2016, 05:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14

1377
Ну они берутся вот откуда: если взять итерационный процесс
$X_0 = 1$
$X_{n+1} = F(X_n)$
($F$ на самом деле можно рассматривать не как отображение между матричными алгебрами, а как отображение некоторой более широкой $C^*$-алгебры в себя)
то не очень сложно показать, что $||X_n|| = 1 + q + q^2 + ... + q^n$, поэтому если бы этот итерационный процесс сходился, то его предел имел бы норму $\frac{1}{1-q}$, а я очень хочу показать, что он сходится. Поэтому мне достаточно только информации о точках $X_n$, а $\limsup_n ||X_n||=\frac{1}{1-q}$ в принципе вот.



-- 29.06.2016, 04:20 --

g______d в сообщении #1134613 писал(а):
Собственно, потому что инвариантная постановка будет с $F(x)=\varphi(\sqrt{x})T \varphi(\sqrt{x})$, $\|x\|$ и $\|y\|$ произвольны, $q=1$. Всегда хорошо избавиться от лишнего параметра.

Ну $q$ на самом деле - это $||T||$ я просто сделал замену $T \to \frac{T}{||T||}$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 19 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group