2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8  След.
 
 Re: Критерий истинности в математике
Сообщение20.06.2016, 12:36 
Аватара пользователя


18/06/12

499
планета Земля
A_Nikolaev в сообщении #1132957 писал(а):
The Pernicious Influence of Mathematics on Science
Мне кажется это очень даже не офтопик. Критерия истинности в математике нет, есть только моделирование и аппроксимация. Опасностей в статье как-то не обнаружено. :roll:

Лично мне математика кажется больше всего похожа на войнушку. Особенно это заметно в той области математики, которая традиционно развивалась военными и для военных и мутировала в почти абсолютную силу доступную каждому - криптографии.

 Профиль  
                  
 
 Re: Критерий истинности в математике
Сообщение21.06.2016, 23:42 


20/09/09
1879
Уфа
Я не математик, но вроде бы есть способы верификации?
А вообще было бы интересно обсудить в контексте искусственного интеллекта возможность построения машины для доказательства/построения теорем и построения непротиворечивых теорий.

 Профиль  
                  
 
 Re: Критерий истинности в математике
Сообщение22.06.2016, 15:29 
Заслуженный участник


27/04/09
28128

(Оффтоп)

Вот эта тема уже интереснее.

Про непротиворечивость не скажу, а вот множество теорем какой-то аксиоматической теории перечислимо простейшим образом: перечисляем все возможные конечные последовательности формул и проверяем каждую, вывод она или нет. Потом можно сразу конструировать только выводы, но выводы интересных теорем будут среди этого потока появляться довольно редко. Полагаю, вас интересовали как раз последние?

 Профиль  
                  
 
 Re: Критерий истинности в математике
Сообщение27.06.2016, 22:27 


20/09/09
1879
Уфа
Согласно теореме Геделя о неполноте формальной арифметики, множество всех истинных высказываний арифметики неперечислимо. Да и для достаточно богатых математических теорий нет полных и непротиворечивых теорий. Современные компьютеры, основанные на машине Тьюринга, ограничены в доказательстве теорем таких теорий. Если бы удалось построить машину, которая могла бы строить теории и метатеории самых разных математических областей, обеспечивая доказательство самых разных математических теорем, то задачу построения ИИ можно было бы считать выполненной.

 Профиль  
                  
 
 Re: Критерий истинности в математике
Сообщение27.06.2016, 22:32 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Rasool в сообщении #1134265 писал(а):
Современные компьютеры, основанные на машине Тьюринга, ограничены в доказательстве теорем таких теорий. Если бы удалось построить машину, которая могла бы строить теории и метатеории самых разных математических областей, обеспечивая доказательство самых разных математических теорем, то задачу построения ИИ можно было бы считать выполненной.
Тогда давайте откажем человеку в естественном интеллекте. В человеческой голове ничего экстраординарного нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Критерий истинности в математике
Сообщение28.06.2016, 12:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
10413
Rasool в сообщении #1134265 писал(а):
Согласно теореме Геделя о неполноте формальной арифметики, множество всех истинных высказываний арифметики неперечислимо.

Оригинальная трактовка. Какая именно из арифметик неперечислима? Вообще-то Гёдель доказал, что теория, содержащая арифметику (с возможностью разложения натуральных чисел на простые сомножители), содержит невыводимое истинное утверждение. Откуда неперечислимость?

 Профиль  
                  
 
 Re: Критерий истинности в математике
Сообщение28.06.2016, 16:22 


23/02/12
3110
Sonic86 в сообщении #1132102 писал(а):
Зачем этот вопрос находится в этом разделе без попыток решения - вообще непонятно.

Целиком согласен. Это скорее беседа на околонаучную тему.

 Профиль  
                  
 
 Re: Критерий истинности в математике
Сообщение28.06.2016, 16:43 
Заслуженный участник


04/05/09
4582
epros в сообщении #1134339 писал(а):
Rasool в сообщении #1134265 писал(а):
Согласно теореме Геделя о неполноте формальной арифметики, множество всех истинных высказываний арифметики неперечислимо.

Оригинальная трактовка. Какая именно из арифметик неперечислима? Вообще-то Гёдель доказал, что теория, содержащая арифметику (с возможностью разложения натуральных чисел на простые сомножители), содержит невыводимое истинное утверждение. Откуда неперечислимость?
Наверное, Rasool спутал "неперечислимость" и "невычислимость". А так, поскольку высказывания - конечные последовательности символов из конечного алфавита, то множество вообще всех высказываний перечислимо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Критерий истинности в математике
Сообщение28.06.2016, 17:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8062
venco в сообщении #1134411 писал(а):
Наверное, Rasool спутал "неперечислимость" и "невычислимость". А так, поскольку высказывания - конечные последовательности символов из конечного алфавита, то множество вообще всех высказываний перечислимо.
Не-не. Именно так: множество всех тех и только тех формул арифметики Пеано, которым в "естественной" модели соответствуют истинные высказывания, неперечислимо. Доказательство основывается на том, что из алгоритма, перечисляющего это множество, можно слепить алгоритм, решающий проблему остановки универсального алгоритма, а он невозможен.

venco в сообщении #1134411 писал(а):
поскольку высказывания - конечные последовательности символов из конечного алфавита, то множество вообще всех высказываний перечислимо.
Подмножество перечислимого множества не обязательно перечислимо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Критерий истинности в математике
Сообщение28.06.2016, 19:09 


20/09/09
1879
Уфа
Я сам подобной темой интересовался лет 20 назад, сейчас все забыл, чтобы восстановить в памяти, залез в учебник по дискретной математики Кузнецова, главу про формальные системы. Может быть, я не точно передал смысл.

-- Вт июн 28, 2016 23:02:47 --

Суть создания ИИ я вижу в том, чтобы машина могла доказывать или опровергать утверждения из самых разных областей математики. Современные компьютеры на базе машины Тьюринга это не умеют.

 Профиль  
                  
 
 Re: Критерий истинности в математике
Сообщение28.06.2016, 20:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
10413
Anton_Peplov в сообщении #1134425 писал(а):
в "естественной" модели соответствуют истинные высказывания

Интересно, как это определяется? Если я правильно понимаю Гёделя, модель, в которой истинны те и только те высказывания, которые выводимы, тоже достаточно "естественна". Хотя при этом окажется истинным высказывание, утверждающее противоречивость арифметики, ну да и пусть...

Rasool в сообщении #1134450 писал(а):
Суть создания ИИ я вижу в том, чтобы машина могла доказывать или опровергать утверждения из самых разных областей математики. Современные компьютеры на базе машины Тьюринга это не умеют.

Машина-то Тьюринга Вам чем не угодила? Она, в общем-то как раз и определяет то, что в принципе "доказуемо или опровержимо". Так что если Вы хотите чего-то такого, что в принципе недостижимо для машины Тьюринга, то значит собираетесь залезть в область принципиально недоказуемого и неопровержимого.

 Профиль  
                  
 
 Re: Критерий истинности в математике
Сообщение28.06.2016, 21:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
epros в сообщении #1134473 писал(а):
Интересно, как это определяется? Если я правильно понимаю Гёделя, модель, в которой истинны те и только те высказывания, которые выводимы, тоже достаточно "естественна". Хотя при этом окажется истинным высказывание, утверждающее противоречивость арифметики, ну да и пусть...
Такой модели же не существует. Либо истинно невыводимое утверждение о противоречивости арифметики, либо истинно невыводимое утверждение о непротиворечивости арифметики.
Для любой модели арифметики множество истинных утверждений неперечислимо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Критерий истинности в математике
Сообщение28.06.2016, 21:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8355
Цюрих
Rasool в сообщении #1134450 писал(а):
Современные компьютеры на базе машины Тьюринга это не умеют

Умеют - перебираем все строки, и каждую из них проверяем, не является ли она случайно доказательством или опровержением нашего утверждения.

Или вы хотите чтобы ИИ умел работать оракулом останова?

 Профиль  
                  
 
 Re: Критерий истинности в математике
Сообщение28.06.2016, 22:05 


20/09/09
1879
Уфа
mihaild в сообщении #1134484 писал(а):
Или вы хотите чтобы ИИ умел работать оракулом останова?

Есть же теорема о самоприменимости. Если бы удалось обойти ее ограничения...

 Профиль  
                  
 
 Re: Критерий истинности в математике
Сообщение28.06.2016, 22:59 
Заслуженный участник


04/05/09
4582
Anton_Peplov в сообщении #1134425 писал(а):
venco в сообщении #1134411 писал(а):
Наверное, Rasool спутал "неперечислимость" и "невычислимость". А так, поскольку высказывания - конечные последовательности символов из конечного алфавита, то множество вообще всех высказываний перечислимо.
Не-не. Именно так: множество всех тех и только тех формул арифметики Пеано, которым в "естественной" модели соответствуют истинные высказывания, неперечислимо.
Да, это я в терминологии не разбираюсь, спутал "перечислимое" и "счётное".

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 120 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group