Доказать расходимость ряда

[Antonij]

Доказать, что ряд $\sum\frac{|\sin n|}{n}$ расходится.
Похоже надо задействовать тригонометрические формулы, но что-то не идёт. Какие идеи?

[demolishka]

Если величина $|\sin(n)|$ достаточно мала, то что можно сказать о $|\sin(n+1)|$?

[mihailm]

оценить через квадрат синуса, а этот квадрат уже суммируется

[Antonij]

demolishka: Намёк не понят :( И почему это $\sin n$ мала?

mihailm: OK, $|\sin n|> \sin^2 n$. А что значит " этот квадрат суммируется"?

[demolishka]

Что может помешать этому ряду расходится? Только то, что величина $|\sin(n)|$ очень часто будет очень маленькой. Вот пусть для некоторого $n$ выполнено $|\sin(n)| < 0.01$. Что можно сказать о величине $|\sin(n+1)|$?

[mihailm]

Antonij в сообщении #1131251 писал(а):

...А что значит " этот квадрат суммируется"?

Можно понизить степень и получить две суммы, одну ограниченную, вторую расходящуюся.

[Antonij]

Если $\sin n=\alpha$, то $\sin(n+1)=\alpha\cos 1+\cos n\sin 1\approx 0,54\alpha+0,84\sqrt{1-\alpha}$.
Пока не очень элегантно.

-- 13.06.2016, 16:30 --

mihailm: $\displaystyle\sum\frac{\sin^2 n}{n}=\frac12\sum\frac{1-\cos 2n}{n}$
И что мы знаем о $\displaystyle\sum\frac{|\cos n|}{n}$?
В принципе тот же исходный ряд. (Модератору: традиционными признаками сходимости он не решается).
Или Вы предлагаете как-то иначе понижать степень?

demolishka: Да, интуитивно понятно, что $|\sin n|$ скачет, но он меньше 1, и поэтому не понятно к какому из признаков сходимости Вы хотите подвести?

[demolishka]

Хорошо, давайте еще конкретней. Можно ли сказать, что если $|\sin(n)| < 0.01$, то $|\sin(n+1)| \geq 0.01$?

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

Идем учебник читать.
После того, как изучите признаки сходимости рядов, напишете, что Вы знаете про самый последний ряд в теме.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.