2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Уравнение 4-ой степени
Сообщение22.04.2016, 14:04 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
Докажите, что для любого рационального $n$ уравнение $y^2=x^4+nx^3-1$ имеет рациональные решения $x,y$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение 4-ой степени
Сообщение22.04.2016, 21:58 


01/11/14
195
Я отнесся несерьезно - придется потрудиться...

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение 4-ой степени
Сообщение23.04.2016, 02:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/07
762
Я думаю scwec ошибся с формулировкой, ибо даже общее уравнение кривой
$y^2=x^4+ax^3+bx^2+cx+d$ при рациональных ненулевых коэффициентах всегда имеет рациональную точку.

Путём замены $$\[x = \frac{1}{z}\]$ уравнение сводится к кривой с рациональной точкой $z=0,y'=1$,
а дальше известная методика.

В данном случае кривая сводится к кривой
$\[
y'^2  =  - z^4  + nz + 1
\]$
имеющую рациональную точку
$$\[
z= \frac{{8n^3 }}{{n^4  + 64}},y' = \frac{{  3n^8  -384n^4  -4096}}{{\left( {n^4  + 64} \right)^2 }}
\]
$
Возможно ТС имел в виду уравнение
$y^2=x^4+nx^2-1$
Я в первый раз так и прочитал! :shock:

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение 4-ой степени
Сообщение23.04.2016, 12:22 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
Коровьев, Решение получено верное. Оно и имелось в виду.
Имеется продолжение.
Имелось в виду доказательство наличия бесконечного числа рациональных решений (кроме $n=0$, конечно). В условии это отсутствует.
В этом смысле утверждение задачи для уравнения $y^2=x^4+nx^2-1$ неверно.
Для натуральных $n$ бесконечное кол-во рациональных решений имеется для:
$n=4,6,9,10,16,18,19,20,21,22,23,24,25,...$.

Относительно замены $z=\frac{1}{x}$.
Рассмотрим уравнение $y^2=x^4-11\qquad(1)$.
После указанной замены: $Y^2=-11z^4+1$ рациональная точка $(z,Y)=(0,1)$ есть, а рациональных точек $(x,y)$ нет.
Тут дело в том, что в форме Вейерштрасса уравнение $(1)$ запишется (по известной методике) как $w^2=u^3+44u\qquad(2)$.
Единственная рациональная точка на $(2)$ это $P=(0,0)$.
При обратном преобразовании $(2)$ в $(1)$, $P$ переходит в $\infty$.

В продолжение.
Докажите, что уравнение $y^2=x^4+nx^3+k$, где $n,k\ne{0}$ любые целые числа,
имеет бесконечно много рациональных решений.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение 4-ой степени
Сообщение05.09.2016, 12:29 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
Коровьев в сообщении #1117628 писал(а):
ибо даже общее уравнение кривой
$y^2=x^4+ax^3+bx^2+cx+d$ при рациональных ненулевых коэффициентах всегда имеет рациональную точку.
Путём замены $$\[x = \frac{1}{z}\]$ уравнение сводится к кривой с рациональной точкой $z=0,y'=1$,
а дальше известная методика.

По этому поводу привожу уравнение кривой $y^2=x^4+6x^3+16x^2+21x+12$, на которой нет рациональных точек (кроме формальной $\infty$).

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение 4-ой степени
Сообщение06.09.2016, 16:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/07
762
Я не говорил, что на модифицированной кривой кроме тривиальной точки есть и другие. И Ваш пример тому пример :-) .
В литературе не даром рассматривают приведённое уравнение

$$y^2  = x^4  + bx^2  + cx + d$

с нулевым коэффициентом при $x^3$ и ненулевым коэффициентом при $x$. В таком виде уравнение всегда имеет рациональную точку

$$\[
x = \frac{{b^2  - 4d}}{{4c}}
\]
$
$$\[
y = \frac{{b^4 }}{{16c^2 }} - \frac{{db^2 }}{{2c^2 }} + \frac{b}{2} + \frac{{d^2 }}{{c^2 }}
\]
$

Но если коэффициент при $x$ равен $0$, то уравнение превращается в биквадратное и это решение не проходит.
Наличие же рациональных точек в этом случае вопрос достаточно сложный.

Приведённое выше уравнение подстановкой $x=t-3/2$ превращается в биквадратное

$$\[
z^2  = t^4  + \frac{5}{2}t^2  + \frac{{21}}{{16}}
\]
$

которое, доверяя scwec, рациональных решений не имеет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение 4-ой степени
Сообщение06.09.2016, 18:39 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
Коровьев, сейчас Вы написали правильный текст с разъяснением того, что Вы имели в виду.
Я же просто показал, что вот это утверждение
Коровьев в сообщении #1117628 писал(а):
ибо даже общее уравнение кривой
$y^2=x^4+ax^3+bx^2+cx+d$ при рациональных ненулевых коэффициентах всегда имеет рациональную точку.
не верно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение 4-ой степени
Сообщение07.09.2016, 19:33 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
Надо показать все же, что на кривой с уравнением $y^2=x^4+\dfrac{5}{2}x^2+\dfrac{21}{16}\qquad(1)$ (а,сл-но и на исходной кривой)
нет рациональных точек.
Следуя методе Морделла вводим переменные $X,Y$ в данном случае cледующим образом:
$X=\dfrac{12y+12x^2+5}{24}, Y=\dfrac{4xy+4x^3+5x}{4}\qquad(2)$
В обратную сторону: $x=\dfrac{6Y}{12X+5}, y=\dfrac{-432Y^2+3456X^3+2160X^2-125}{(12X+5)^2}\qquad(3)$.
Уравнение $(1)$ в переменных $X,Y$ приводится к $Y^2=4X^3-\dfrac{11}{6}X-\dfrac{205}{432}\qquad(4)$,
а в переменных $u,w$ таких, что $u=746496X, w=322486272Y$, уравнение $(4)$
эквивалентно $w^2=u^3-255409127424u-49350615981096960\qquad(5)$
Ранг эллиптической кривой $(5)$ равен нулю.
Код:
gp > ellanalyticrank(ellinit([0,0,0,-255409127424,-49350615981096960]))[1]
%1 = 0
Сл-но на кривой $(5)$ нет рациональных точек бесконечного порядка.
Рациональные точки конечного порядка на $(5)$ это $(u,w)=(-311040,0)$ и $\infty$.
Код:
gp > E=ellinit([0,0,0,-255409127424,-49350615981096960]);
gp > elltors(E)
%2 = [2, [2], [[-311040, 0]]]

Единственной рациональной точке $(-311040,0)$ на кривой $(5)$ соответствует единственная рациональная точка $(-5/12,0)$ на кривой $(4)$.
Допустим, что на кривой $(1)$ имеется рациональная точка. Тогда в соответствии с $(2)$ есть рациональная точка на кривой $(4)$.
По доказанному выше - это единственная рациональная точка $(-5/12,0)$
Решаем систему уравнений $(2)$: $\dfrac{12y+12x^2+5}{24}=-\dfrac{5}{12}, \dfrac{4xy+4x^3+5x}{4}=0$
Решение системы - это $y=-x^2-\dfrac{5}{4}$. Но тогда $y^2=x^4+\dfrac{5}{2}x^2+\dfrac{25}{16}$ и,сл-но $(x,y)$ не лежит на кривой $(1)$.
ч.т.д.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group