2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Представление чисел суммой квадратов
Сообщение03.01.2006, 15:33 


03/01/06
6
Поскольку мне не удалось найти ответ в литературе, решил обратиться к народу. В одной физической задаче, которую я сейчас рассматриваю, возникает необходимость найти число целых решений уравнения
x^2+y^2+z^2=n
Очевидно, что решение существует не для всякого n. Меня интересует, можно ли получить общую формулу в данном случае. В литературе по теории чисел, которую я смотрел, разобраны только суммы двух и четырех квадратов.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение11.01.2006, 04:19 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5215
См. формулу (32) в MathWorld: Sum of Squares Function.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение14.01.2006, 22:35 


03/01/06
6
Большое спасибо. Однако, я забыл еще одно условие: x,y,z должны быть больше нуля.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение15.01.2006, 02:05 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5215
Stanislav писал(а):
Однако, я забыл еще одно условие: x,y,z должны быть больше нуля.

Ну так вычтите число представлений в виде суммы двух квадратов.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение16.01.2006, 22:05 


03/01/06
6
maxal писал(а):
Ну так вычтите число представлений в виде суммы двух квадратов.

Это очевидно. Кроме того, если пользоваться этой формулой, нужно вычесть кол-во комбинаций с одним, двумя и тремя отрицательными числами.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение16.01.2006, 22:41 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5215
Stanislav писал(а):
Кроме того, если пользоваться этой формулой, нужно вычесть кол-во комбинаций с одним, двумя и тремя отрицательными числами.

Проще. Если N - это число представлений n в виде суммы трех квадратов ненулевых чисел, то N/8 - это число представлений в виде суммы трех квадратов положительных чисел. Следует из того, что у тройки чисел можно расставить знаки плюс-минус 2^3=8 способами.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение17.01.2006, 18:20 


03/01/06
6
maxal писал(а):
Если N - это число представлений n в виде суммы трех квадратов ненулевых чисел, то N/8 - это число представлений в виде суммы трех квадратов положительных чисел. Следует из того, что у тройки чисел можно расставить знаки плюс-минус 2^3=8 способами.

Да, но если среди них, например, два или три одинаковых (n=3, n = 17, n = 29), то кол-во возможных расстановок знаков будет другим. И число может допускать представление несколькими разными тройками x,y,z (с разным количеством повторений). Я на данный момент думаю следующее: для каждой из разных троек вычислить сумму перестановок с k_i повторениями при разном кол-ве минусов:
\displaystyle\sum_{i=1}^3 \dfrac{3!}{k_i!}.

Просмотрев несколько современных работ по этому вопросу, прихожу к выводу, что в общий случай (для любых n, а не только неквадратных) -- одна из нерешенных проблем теории чисел. Максимум, что удалось найти -- формула Гаусса (32), критерий неразложимости 4^k(8m + 7) (тоже не универсальный) и различные асимптотические выражения для n специального вида.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение17.01.2006, 20:19 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5215
Stanislav писал(а):
maxal писал(а):
Если N - это число представлений n в виде суммы трех квадратов ненулевых чисел, то N/8 - это число представлений в виде суммы трех квадратов положительных чисел. Следует из того, что у тройки чисел можно расставить знаки плюс-минус 2^3=8 способами.

Да, но если среди них, например, два или три одинаковых (n=3, n = 17, n = 29), то кол-во возможных расстановок знаков будет другим.

Тем же. По определению функция $r_3(n)$ учитывает все возможные расстановки знаков и порядки следования слагаемых. Например, $r_3(3)=8$, несмотря на то, что все три слагаемые во всех представлениях равны по модулю.

Пусть n не является полным квадратом. Тогда число представлений $n=x^2+y^2+z^2$, где $x,y,z>0$, равно $u(n)=\frac{r_3(n)-3 r_2(n)}{8}$ (для полного квадрата надо еще 3 в числителе вычесть).
Stanislav писал(а):
И число может допускать представление несколькими разными тройками x,y,z (с разным количеством повторений).

Да, поэтому упорядоченные представления подсчитать сложнее.

Пусть $v_k(n)$ равно числу представлений $n=x^2+y^2+z^2$ для $x,y,z>0$ с k одинаковыми слагаемыми. Очевидно, что $v_3(n)$ равно 1, если n имеет вид $3m^2$, и 0 в противном случае. А вот $v_2(n)$ подсчитать куда как сложнее.

Пусть s(n) равно числу представлений $n=x^2+2y^2$, где $x,y>0$. Исключая для n случаи полного и утроенного квадрата, получаем, что число представлений $n=x^2+y^2+z^2$, где $0<x\leq y\leq z$, равно $\frac{u(n)-3s(n)}{6}+s(n)=\frac{u(n)+3s(n)}{6}$.

Stanislav писал(а):
Просмотрев несколько современных работ по этому вопросу, прихожу к выводу, что в общий случай (для любых n, а не только неквадратных) -- одна из нерешенных проблем теории чисел.

Возможно, но тут уже надо смотреть специальную литературу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Количество представлений числа суммой трех квадратов
Сообщение17.01.2006, 20:47 
Экс-модератор
Аватара пользователя


30/11/05
1275
Stanislav писал(а):
Поскольку мне не удалось найти ответ в литературе, решил обратиться к народу. В одной физической задаче, которую я сейчас рассматриваю, возникает необходимость найти число целых решений уравнения
x^2+y^2+z^2=n

Если не секрет, в чём заключается Ваша физическая задача (в 2-х словах)?

 Профиль  
                  
 
 О количестве чисел, представимых суммой двух квадратов
Сообщение25.01.2007, 01:09 
Заслуженный участник


19/06/05
486
МГУ
Широко известна формула Ландау для количества чисел, представимых суммой двух квадратов и не превосходящих $x$:

$$\sum_{s_n\leqslant x}1\sim\frac{cx}{\sqrt{\ln x}}$$ при $x\to\infty$,

где $\{s_n\}_{n=1}^{\infty}$ -- последовательность чисел, представимых суммой двух квадратов целых чисел, упорядоченная по возрастанию.

Возник такой вопрос: а знает ли кто-нибудь вариант этой формулы в виде асимптотической формулы с остаточным членом? Т.е. что-то вроде

$$\sum_{s_n\leqslant x}1=\frac{cx}{\sqrt{\ln x}}+O(...)$$ при $x\to\infty$?

Я такой формулы нигде не встречал. Существует ли такая формула, может кто видел?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение25.01.2007, 01:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3540
В книжке А.Г.Постников "Введение в аналитическую теорию чисел" приведена формула
$$=C\frac x{\sqrt{\ln x}}+O\left(\frac x{\sqrt{\ln x}\ln\ln x}\right),$$
$C$ - какая-то константа.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение25.01.2007, 01:23 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5215
См. http://mathworld.wolfram.com/Landau-Ram ... stant.html и далее по ссылкам.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение25.01.2007, 01:38 
Заслуженный участник


19/06/05
486
МГУ
RIP писал(а):
В книжке А.Г.Постников "Введение в аналитическую теорию чисел" приведена формула
$$=C\frac x{\sqrt{\ln x}}+O\left(\frac x{\sqrt{\ln x}\ln\ln x}\right),$$
$C$ - какая-то константа.

Спасибо. А Вы не встречали эту книгу в электронном виде?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение25.01.2007, 01:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3540
Gordmit писал(а):
Спасибо. А Вы не встречали эту книгу в электронном виде?

В электронном не видел.
А по ссылке maxalа гораздо более точный результат.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение25.01.2007, 01:41 
Заслуженный участник


19/06/05
486
МГУ
maxal писал(а):
См. http://mathworld.wolfram.com/Landau-Ram ... stant.html и далее по ссылкам.
Спасибо за ссылку!
Если я правильно понял, из того, что там написано следует даже более сильный факт

$$\sum_{s_n\leqslant x}1=\frac{cx}{\sqrt{\ln x}}+O\left(\frac{x}{\ln^{3/2} x}\right)$$?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 29 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group