2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Компактность множества решений системы
Сообщение01.04.2016, 20:26 
Аватара пользователя


25/02/11
234
Пусть дано такое: $\dot{x}=Ax+Bu,\ |u|\leq 1,\ x(0)=0,\ t\in[0,T]$.
С предкомпактностью(относительной компактностью) мне понятно, а как быть с компактностью?
Еще и путаница с терминологией возникает...
С чего начинать: с записи решения в интегральном виде или совсем иначе?
Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Компактность множества решений системы
Сообщение01.04.2016, 23:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/14
968
спб
Уточните: в каком пространстве, с какой топологией и что такое $u.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Компактность множества решений системы
Сообщение01.04.2016, 23:55 
Аватара пользователя


25/02/11
234
demolishka,
$x(t)$ - абсолютно непрерывный $n$-мерный вектор;
$|{u}^{i}|\leq 1,\ i=1,...,m$ - $m$-мерный куб;
$A$ и $B$ зависят от времени.

 Профиль  
                  
 
 Re: Компактность множества решений системы
Сообщение02.04.2016, 11:16 
Заслуженный участник


05/08/14
1564
1r0pb в сообщении #1111179 писал(а):
С чего начинать: с записи решения в интегральном виде

В виде формулы Коши.
1r0pb в сообщении #1111284 писал(а):
$x(t)$ - абсолютно непрерывный $n$-мерный вектор;

Он ещё ограниченную производную имеет в каждой точке.

 Профиль  
                  
 
 Re: Компактность множества решений системы
Сообщение02.04.2016, 12:15 
Аватара пользователя


25/02/11
234
dsge в сообщении #1111387 писал(а):
1r0pb в сообщении #1111179 писал(а):
С чего начинать: с записи решения в интегральном виде

В виде формулы Коши.

dsge,
$x(t)=F(t)\int_{0}^{t}{F(s)}^{-1}B(s)u(s)ds $, если брать во внимание начальные условия, где $F(\cdot )$ - фундаментальная матрица соответствующей однородной системы.
Цитата:
1r0pb в сообщении #1111284 писал(а):
$x(t)$ - абсолютно непрерывный $n$-мерный вектор;

Он ещё ограниченную производную имеет в каждой точке.

Ну допустим. А с какой целью это нужно знать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Компактность множества решений системы
Сообщение02.04.2016, 12:22 
Заслуженный участник


05/08/14
1564
Рассмотрите оператор в функциональном пространстве $x( t )= \Phi(u( t ))$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Компактность множества решений системы
Сообщение02.04.2016, 13:57 
Аватара пользователя


25/02/11
234
dsge в сообщении #1111406 писал(а):
Рассмотрите оператор в функциональном пространстве $x( t )= \Phi(u( t ))$.

dsge, если так
$\Phi u=\int_{0}^{t}K(t,s)u(s)ds,\ K(t,s)=F(t){F}^{-1}(s)B(s),$
то что с этим делать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Компактность множества решений системы
Сообщение02.04.2016, 14:14 
Заслуженный участник


05/08/14
1564
1r0pb в сообщении #1111426 писал(а):
то что с этим делать?

1. Определить естественное пространство, где будут находиться множества решений системы.
2. Разобраться какие множества являются компактными в этом пространстве.
3. Разобраться в определении компактного оператора.

 Профиль  
                  
 
 Re: Компактность множества решений системы
Сообщение02.04.2016, 17:08 
Аватара пользователя


25/02/11
234
dsge в сообщении #1111432 писал(а):
1r0pb в сообщении #1111426 писал(а):
то что с этим делать?

1. Определить естественное пространство, где будут находиться множества решений системы.
2. Разобраться какие множества являются компактными в этом пространстве.
3. Разобраться в определении компактного оператора.

1. Пространство $C[0,T]$;
2. Относительная компактность следует из т.Арцела, а про компактность даже не знаю что сказать;
3. Из вполне непрерывности оператора следует его компактность.
dsge, спасибо за предыдущие ответы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Компактность множества решений системы
Сообщение02.04.2016, 17:23 
Заслуженный участник


05/08/14
1564
Осталось показать, что оператор $ \Phi $ является компактным.

 Профиль  
                  
 
 Re: Компактность множества решений системы
Сообщение02.04.2016, 17:28 
Аватара пользователя


25/02/11
234
dsge в сообщении #1111501 писал(а):
Осталось показать, что оператор $ \Phi $ является компактным.

dsge, т.е. показать вполне непрерывность? А если так, то зачем был второй вопрос и каков же на него ответ все-таки?

 Профиль  
                  
 
 Re: Компактность множества решений системы
Сообщение02.04.2016, 17:35 
Заслуженный участник


05/08/14
1564
А как иначе вы докажете его вполне непрерывность?

 Профиль  
                  
 
 Re: Компактность множества решений системы
Сообщение02.04.2016, 17:45 
Аватара пользователя


25/02/11
234
dsge в сообщении #1111504 писал(а):
А как иначе вы докажете его вполне непрерывность?

Ну хорошо. А где грань между относительной компактностью и просто компактностью?
dsge, можно потом задать еще пару-тройку вопросов?

 Профиль  
                  
 
 Re: Компактность множества решений системы
Сообщение02.04.2016, 17:48 
Заслуженный участник


05/08/14
1564
ОК

 Профиль  
                  
 
 Re: Компактность множества решений системы
Сообщение02.04.2016, 18:26 
Аватара пользователя


25/02/11
234
dsge в сообщении #1111510 писал(а):
ОК

dsge, а можно сначала с этим вопросом разобраться
"А где грань между относительной компактностью и просто компактностью?"
P.S. Смотришь одну книгу - пишут про компактность, открываешь вторую - подразумевают в этом же контексте относительную компактность...

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 32 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: lantza, mihaild


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group