2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: Компактность множества решений системы
Сообщение02.04.2016, 18:40 
Заслуженный участник


05/08/14
1564
Замыкание компактно для относительной компактности. Но вам это не надо, поскольку ограничения для $u$ содержат знак меньше или равно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Компактность множества решений системы
Сообщение02.04.2016, 18:52 
Аватара пользователя


25/02/11
234
dsge, да, легко запутаться, занимаясь самостоятельно, в понятиях функционального анализа без прослушивания соответствующего курса...
Теперь обещанные вопросы: :-)
1. Сильно поменяется ситуация, если принять $u\in {L}_{2}[0,T]$ ?
2. А если к этому добавить нелинейность системы? (тут, думается, большие проблемы в общем случае (: )
3. Может есть ходовые методы опровержения компактности, то есть, насколько мне известно, построение соответствующей последовательности, например.

 Профиль  
                  
 
 Re: Компактность множества решений системы
Сообщение02.04.2016, 20:05 
Заслуженный участник


05/08/14
1564
Я давно этим не занимался и с ходу могу ошибиться.
1r0pb в сообщении #1111538 писал(а):
1. Сильно поменяется ситуация, если принять $u\in {L}_{2}[0,T]$ ?

В этом случае компактность должна быть в ${L}_{2}[0,T]$, значит, скорее, надо будет переходить к обобщенным производным и рассматривать Соболевское пространство $H_2^1 [0,T]$, которое вкладывается в ${L}_{2}[0,T]$ компактно.
1r0pb в сообщении #1111538 писал(а):
2. А если к этому добавить нелинейность системы? (тут, думается, большие проблемы в общем случае (: )

Нелинейности не испортят ситуации, если они позволяют решению существовать на $[0,T]$ ; интегральные операторы обычно сглаживают функции, т.е., вольно выражаясь, переводят ограниченные множества в компактные.
1r0pb в сообщении #1111538 писал(а):
3. Может есть ходовые методы опровержения компактности, то есть, насколько мне известно, построение соответствующей последовательности, например.

Обычно пытаются делать наоборот - доказывают компактность. Опровергнуть компактность - это опровергнуть одно из условий в её определении.

 Профиль  
                  
 
 Re: Компактность множества решений системы
Сообщение02.04.2016, 23:20 
Аватара пользователя


25/02/11
234
dsge, да, предстоит много разбирательств. Спасибо Вам!

 Профиль  
                  
 
 Re: Компактность множества решений системы
Сообщение04.04.2016, 15:38 
Аватара пользователя


25/02/11
234
dsge, появился такой вопрос.
Имеем нелинейное интегральное уравнение
$x(t)=\int_{0}^{t}{f}_{1}(x(s))ds+\int_{0}^{t}{f}_{2}(x(s))u(s)ds.$
Т.е. ядро(${f}_{2}(x(s))$) зависит от траектории. Это есть плохо для доказательства компактности?
Что с ним можно сделать? Разложить в ряд по ортонормированному базису?
Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Компактность множества решений системы
Сообщение04.04.2016, 17:36 
Заслуженный участник


05/08/14
1564
1r0pb в сообщении #1112083 писал(а):
Это есть плохо для доказательства компактности?

Не очень, если нелинейности "хорошие", липшетцевы например.
Самое простое это сначала доказать существование решений в С, с помощью какой-нибудь теоремы о неподвижной точке, если отображение окажется сжимающим, то совсем хорошо. А потом показать, что на самом деле решения ограничены в С-один.

 Профиль  
                  
 
 Re: Компактность множества решений системы
Сообщение04.04.2016, 19:04 
Аватара пользователя


25/02/11
234
dsge в сообщении #1112113 писал(а):
1r0pb в сообщении #1112083 писал(а):
Это есть плохо для доказательства компактности?

Не очень, если нелинейности "хорошие", липшетцевы например.

Такой вариант устроит.
Цитата:
Самое простое это сначала доказать существование решений в С, с помощью какой-нибудь теоремы о неподвижной точке, если отображение окажется сжимающим, то совсем хорошо.

Буду пробовать.
Цитата:
А потом показать, что на самом деле решения ограничены в С-один.

А почему из ограниченности решений следует компактность?

P.S. пошел смотреть у Краснова. :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Компактность множества решений системы
Сообщение05.04.2016, 12:55 
Аватара пользователя


25/02/11
234
Определим оператор
$Ax=\int_{0}^{t}{f}_{1}(x(s))ds+\int_{0}^{t}{f}_{2}(x(s))u(s)ds,\ u\in {L}_{2},\ t\in [0,T],$
где $|{f}_{1}({x}_{2})-{f}_{1}({x}_{1})|\leq{k}_{1}|{x}_{2}-{x}_{1}|,\ |{f}_{2}({x}_{2})-{f}_{2}({x}_{1})|\leq{k}_{2}|{x}_{2}-{x}_{1}|,\ 0<{k}_{1},{k}_{2}<1.$
Тогда
$|A{x}_{2}-A{x}_{1}|\leq \int_{0}^{t}|{f}_{1}({x}_{2})-{f}_{1}({x}_{1})|ds+\int_{0}^{t}|{f}_{2}({x}_{2})-{f}_{2}({x}_{1})||u(s)|ds\leq\\  \leq \int_{0}^{T}|{f}_{1}({x}_{2})-{f}_{1}({x}_{1})|ds+\int_{0}^{T}|{f}_{2}({x}_{2})-{f}_{2}({x}_{1})||u(s)|ds\leq \\ \leq T\max |{f}_{1}({x}_{2})-{f}_{1}({x}_{1})|+{(\int_{0}^{T}{|{f}_{2}({x}_{2})-{f}_{2}({x}_{1})|}^{2}ds)}^{1/2}{(\int_{0}^{T}{u}^{2}ds)}^{1/2}\leq \\ \leq T\max |{f}_{1}({x}_{2})-{f}_{1}({x}_{1})|+\sqrt{T\max {|{f}_{2}({x}_{2})-{f}_{2}({x}_{1})|}^{2}}C\leq \\ \leq T{k}_{1}\max |{x}_{2}-{x}_{1}|+\sqrt{T}{k}_{2}\max |{x}_{2}-{x}_{1}|C=(T{k}_{1}+\sqrt{T}{k}_{2}C)\max |{x}_{2}-{x}_{1}|\ \Rightarrow \\ \Rightarrow \ \rho (A{x}_{1},A{x}_{2})\leq (T{k}_{1}+\sqrt{T}{k}_{2}C)\rho ({x}_{1},{x}_{2}).$
Таким образом, хоть и сильно искусственно (:, при $T{k}_{1}+\sqrt{T}{k}_{2}C<1$ получаем оператор сжатия.
dsge, пока верно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Компактность множества решений системы
Сообщение05.04.2016, 20:22 
Заслуженный участник


05/08/14
1564
Да, если вам нужна компактность в С.
Сжатие не обязано быть на всем интервале $[0,T]$, может быть и на меньшем, т.е. обычно по константе Липшитца подбирается интервал $[0,t]$, где оператор является сжимающим, а потом решение аналогично продолжается дальше. Это значит, что нет необходимости специально ограничивать константы Липшитца таким путем $T{k}_{1}+\sqrt{T}{k}_{2}C<1$.
Для отображений с ограниченной константой Липшитца решение можно так продолжить до бесконечности, т.е. $T = \infty$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Компактность множества решений системы
Сообщение05.04.2016, 21:38 
Аватара пользователя


25/02/11
234
dsge,
я по ошибке написал ограничение на константы Липшица.
dsge в сообщении #1112444 писал(а):
Да, если вам нужна компактность в С.

Ну я так посмотрел... в случае гильбертова пространства тоже проходит. Так ведь?
Цитата:
Сжатие не обязано быть на всем интервале $[0,T]$, может быть и на меньшем, т.е. обычно по константе Липшитца подбирается интервал $[0,t]$, где оператор является сжимающим, а потом решение аналогично продолжается дальше. Это значит, что нет необходимости специально ограничивать константы Липшитца таким путем $T{k}_{1}+\sqrt{T}{k}_{2}C<1$.
Для отображений с ограниченной константой Липшитца решение можно так продолжить до бесконечности, т.е. $T = \infty$.

Хорошо. Спасибо за объяснение.

А что делать теперь?
Ну хорошо, сжимающее, а как прийти к компактности?

 Профиль  
                  
 
 Re: Компактность множества решений системы
Сообщение05.04.2016, 21:58 
Заслуженный участник


05/08/14
1564
Теперь у вас есть решение $x(t)$, как непрерывная функция. Липшитцева функция от непрерывной тоже будет непрерывной. Интегралы от непрерывной функции и от интегрируемой функции будут абсолютно непрерывными функциями, их сумма также будет абсолютно непрерывной.
Осталось показать, что для всех $u(t)$, решения $x_u(t)$ будут ограничены в С. Тогда попадаем под т. Асколи.

 Профиль  
                  
 
 Re: Компактность множества решений системы
Сообщение05.04.2016, 22:44 
Аватара пользователя


25/02/11
234
dsge в сообщении #1112484 писал(а):
Теперь у вас есть решение $x(t)$, как непрерывная функция. Липшитцева функция от непрерывной тоже будет непрерывной. Интегралы от непрерывной функции и от интегрируемой функции будут абсолютно непрерывными функциями, их сумма также будет абсолютно непрерывной.
Осталось показать, что для всех $u(t)$, решения $x_u(t)$ будут ограничены в С. Тогда попадаем под т. Асколи.

Тут все понял.

dsge,
А зачем нам знать про существование решения?
+
А если мы знаем, что решение существует, но не можем гарантировать единственность, то что в этом случае?

 Профиль  
                  
 
 Re: Компактность множества решений системы
Сообщение05.04.2016, 22:59 
Заслуженный участник


05/08/14
1564
1r0pb в сообщении #1112500 писал(а):
А зачем нам знать про существование решения?

Название топика "Re: Компактность множества решений системы". Если нет желания разглагольствовать на тему "компактно ли пустое множество?", то лучше иметь дело с ситуацией, когда решения существуют.
1r0pb в сообщении #1112500 писал(а):
А если мы знаем, что решение существует, но не можем гарантировать единственность, то что в этом случае?

Компактность не пострадает, если каждое из неединственных решений будет непрерывным.

 Профиль  
                  
 
 Re: Компактность множества решений системы
Сообщение05.04.2016, 23:15 
Аватара пользователя


25/02/11
234
dsge в сообщении #1112506 писал(а):
1r0pb в сообщении #1112500 писал(а):
А зачем нам знать про существование решения?

Название топика "Re: Компактность множества решений системы". Если нет желания разглагольствовать на тему "компактно ли пустое множество?", то лучше иметь дело с ситуацией, когда решения существуют.

И правда. :D
Цитата:
Компактность не пострадает, если каждое из неединственных решений будет непрерывным (или даже интегрируемым).

А как это строго показать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Компактность множества решений системы
Сообщение05.04.2016, 23:26 
Заслуженный участник


05/08/14
1564
1r0pb в сообщении #1112519 писал(а):
А как это строго показать?

Есть простой результат - у компактного нелинейного оператора множество неподвижных точек компактно.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 32 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group