2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Задачи по тензорной алгебре
Сообщение28.03.2016, 22:31 
Аватара пользователя


27/03/14
1091
1. Доказать, что определитель матрицы поворота $\widehat{a}$ равен единице. Чему будет равен определить матрицы преобразования, если поворот сопровождается инверсией координатных осей?
Решение.
Воспользуемся свойством матрицы поворота $a_{\alpha\mu}^{-1} a_{\mu\beta}=\delta_{\alpha\beta}$. И тем свойством, что вместо обращения её можно транспонировать, т.е. $a_{\alpha\mu}^{-1} =a_{\mu\alpha}$, тогда $a_{\mu\alpha}a_{\mu\beta}=\delta_{\alpha\beta}$, как дальше нужно рассуждать?
2. Доказать, что при повороте координатных осей $\delta'_{\alpha\beta}=\delta_{\alpha\beta}$ и $\epsilon'_{ijk}=\epsilon_{ijk}$
a). $\delta'_{ij}=a_{ik}a_{jm}\delta_{km}=a_{ik}a_{jk}=a_{ik}a^{-1}_{kj}=\delta_{ij}$
b) Как показать это для символа Леви-Чивиты?
3. Написать преобразование компонент псевдотензора при повороте координатных осей, сопровождающегося инверсией
Если имеет место только поворот, можно записать $T'_{ij...k}=a_{il}a_{jm}...a_{kp}T_{lm...p}$
Если имеет место только инверсия, то $T'_{ij...k}=(-1)^{s+1}\delta_{il}\delta_{jm}...\delta_{kp}T_{lm...p}$
Теперь нужно записать результирующее преобразование поворот+инверсия. Можно ли получить это преобразование, записав произведение получившихся матриц преобразования в обратном порядке?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи по тензорной алгебре
Сообщение28.03.2016, 23:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
fronnya в сообщении #1110001 писал(а):
как дальше нужно рассуждать?

Вспомнить, чему равен определитель произведения матриц, и как меняется определитель при транспонировании матрицы.
fronnya в сообщении #1110001 писал(а):
Теперь нужно записать результирующее преобразование поворот+инверсия.

Неужели вы не можете записать композицию отображений??? :shock:

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи по тензорной алгебре
Сообщение28.03.2016, 23:32 
Аватара пользователя


27/03/14
1091
Brukvalub в сообщении #1110034 писал(а):
Неужели вы не можете записать композицию отображений??? :shock:

Вот, что получилось $T'_{ij...k}=(-1)^{s+1}a_{il}a_{jm}a_{kp}T_{lmp}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи по тензорной алгебре
Сообщение28.03.2016, 23:34 
Заслуженный участник


14/10/14
1207
fronnya в сообщении #1110001 писал(а):
$a_{\mu\alpha}a_{\mu\beta}=\delta_{\alpha\beta}$, как дальше нужно рассуждать?
Считать определитель обеих частей!

fronnya в сообщении #1110001 писал(а):
Как показать это для символа Леви-Чивиты?
Например, напишите такое же выражение, как для символа Кронекера, а затем пристально на него поглядите и узнайте в нём определитель матрицы поворота, в котором кто-то добрый переставил строчки (или столбцы?).

fronnya в сообщении #1110001 писал(а):
$T'_{ij...k}=(-1)^{s+1}\delta_{il}\delta_{jm}...\delta_{kp}T_{lm...p}$
Это можно было написать проще.

fronnya в сообщении #1110001 писал(а):
Теперь нужно записать результирующее преобразование поворот+инверсия. Можно ли получить это преобразование, записав произведение получившихся матриц преобразования в обратном порядке?
Кончено можно! Вот был у меня тензор $T_{ij}$, по преобразовании я получил $T_{i'j'}$, а по втором преобразовании - $T_{i''j''}$. Теперь напишите выражение для вторых компонент через самые первые и для третьих через вторые -- и всё станет ясно.

Какую роль в вашем случае играет порядок преобразований? Какие оси отражаются, что есть $s$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи по тензорной алгебре
Сообщение28.03.2016, 23:35 
Аватара пользователя


27/03/14
1091
Brukvalub в сообщении #1110034 писал(а):
Вспомнить, чему равен определитель произведения матриц, и как меняется определитель при транспонировании матрицы.

Да, вспомнил, получилось, что $\det{\widehat{a}}=\pm 1$. Как выбрать знак?

-- 28.03.2016, 22:37 --

Slav-27 в сообщении #1110040 писал(а):
Какую роль в вашем случае играет порядок преобразований? Какие оси отражаются, что есть $s$?

Ну я знаю, что при композиции отображений матрицы нужно перемножать в обратном порядке. Отражаются все оси, а $s$- ранг тензора.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи по тензорной алгебре
Сообщение28.03.2016, 23:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
fronnya в сообщении #1110041 писал(а):
Как выбрать знак?

Никак. Проще показать, что оба знака реализуются.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи по тензорной алгебре
Сообщение28.03.2016, 23:39 
Заслуженный участник


14/10/14
1207
Это ещё вопрос. fronnya, как вы определяете матрицы поворота?

-- 29.03.2016, 00:40 --

fronnya в сообщении #1110041 писал(а):
Ну я знаю, что при композиции отображений матрицы нужно перемножать в обратном порядке.
А что будет тут, если перемножить в другом?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи по тензорной алгебре
Сообщение28.03.2016, 23:44 
Аватара пользователя


27/03/14
1091
Slav-27 в сообщении #1110043 писал(а):
А что будет тут, если перемножить в другом?

Полагаю, ничего, никакой разницы нет, с какой стороны скаляр приписать.
Brukvalub в сообщении #1110042 писал(а):
Никак. Проще показать, что оба знака реализуются.

Я не понимаю, когда брать плюс, а когда-минус.
Slav-27 в сообщении #1110043 писал(а):
Это ещё вопрос. fronnya, как вы определяете матрицы поворота?

Читаю Топтыгина Современная электродинамика. Там эта матрица определяется так $a_{ij}=\vec{e'}_i\vec{e}_j$. Т.е. косинусы углов между соответствующими осями.

-- 28.03.2016, 22:45 --

Ну и дальше идут свойства этой матрицы, которые следуют из определения

-- 28.03.2016, 22:45 --

fronnya в сообщении #1110046 писал(а):
Там эта матрица определяется так $a_{ij}=\vec{e'}_i\vec{e}_j$

Для векторов

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи по тензорной алгебре
Сообщение28.03.2016, 23:47 
Заслуженный участник


14/10/14
1207
fronnya в сообщении #1110046 писал(а):
Читаю Топтыгина Современная электродинамика. Там эта матрица определяется так $a_{ij}=\vec{e'}_i\vec{e}_j$. Т.е. косинусы углов между соответствующими осями.
Это не определение (во всяком случае не то что надо). Что такое поворот?

fronnya в сообщении #1110046 писал(а):
Полагаю, ничего, никакой разницы нет, с какой стороны скаляр приписать.
Да.

fronnya в сообщении #1110041 писал(а):
$s$- ранг тензора.
И какой ранг бывает у $\epsilon_{ijk}$?

-- 29.03.2016, 00:48 --

(Оффтоп)

Я ухожу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи по тензорной алгебре
Сообщение28.03.2016, 23:53 
Аватара пользователя


27/03/14
1091
Slav-27 в сообщении #1110050 писал(а):
Что такое поворот?

Я это так понимаю. Поворотом вектора $\vec{v}$ называется такое его преобразование, что $v'_i=a_{ij}v_j$ при котором одна точка, принадлежащая вектору, остается неподвижной.

-- 28.03.2016, 23:09 --

Slav-27 в сообщении #1110040 писал(а):
Например, напишите такое же выражение, как для символа Кронекера, а затем пристально на него поглядите и узнайте в нём определитель матрицы поворота, в котором кто-то добрый переставил строчки (или столбцы?).

Это я сделал на листке, просто сюда не переносил: $\epsilon_{i'j'k'}=a_{i'm}a_{j'n}a_{k'p}\epsilon_{mnp}$ и я упорно не вижу здесь определителя матрицы поворота. Вот определитель матрицы поворота: $|\widehat{a}|=\epsilon_{ijk}\epsilon_{mnp}a_{im}a_{jn}a_{kp}$

-- 28.03.2016, 23:10 --

Slav-27 в сообщении #1110050 писал(а):
И какой ранг бывает у $\epsilon_{ijk}$?

а? Что значит бывает? У того, что написали Вы- третий ранг.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи по тензорной алгебре
Сообщение29.03.2016, 00:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
fronnya в сообщении #1110051 писал(а):
Я это так понимаю. Поворотом вектора $\vec{v}$ называется такое его преобразование, что $v'_i=a_{ij}v_j$ при котором одна точка, принадлежащая вектору, остается неподвижной.

Фантастика на пятом этаже! :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи по тензорной алгебре
Сообщение29.03.2016, 00:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407

(Оффтоп)

fronnya в сообщении #1110001 писал(а):
2. Доказать, что при повороте координатных осей $\epsilon'_{jik}=\epsilon_{jik}$

"Ёжик штрих равно ёжик"?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи по тензорной алгебре
Сообщение29.03.2016, 14:10 
Аватара пользователя


27/03/14
1091
Brukvalub в сообщении #1110066 писал(а):
Фантастика на пятом этаже! :D

Что не так?

-- 29.03.2016, 13:11 --

(Оффтоп)

Munin в сообщении #1110069 писал(а):
"Ёжик штрих равно ёжик"?
Интересно, что бы Вы написали, если бы я другие индексы там поставил

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи по тензорной алгебре
Сообщение29.03.2016, 14:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
fronnya в сообщении #1110160 писал(а):
Что не так?

Все "не так". Невозможно даже понять, какое пространство рассматривается: векторное или аффинное, не говоря уже обо всем остальном. :facepalm:

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи по тензорной алгебре
Сообщение29.03.2016, 14:17 
Аватара пользователя


27/03/14
1091
Brukvalub в сообщении #1110066 писал(а):
Фантастика на пятом этаже! :D

Ладно, каюсь, дурацкое утверждение я выдумал

-- 29.03.2016, 13:18 --

Пойду умные книжки почитаю

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 19 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group