Об определении дифференцируемости в точке

[gefest_md]

Предыдущее определение 1 не верно. Написать его, используя о-малое (финально при базе) не получается. Надо написать его как-то так, чтобы $h$ из этого определения пробегал окрестность "из о-малого". Проще написать другое. В следующем определении я почти уверен: доказал существование предела $\lim\limits_{X\ni h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ (и обратно), теорему о дифф-сти сложной функции, теорему о дифф-сти обратной функции. По-прежнему не получается показать дифф-сть $a^x$ с помощью $e^x-1=x+o(x).$


Пусть $E\subseteq\mathbb{R}$ и $x\in E$ предельная точка для $E.$ Определим множества:

1) $X:=\{h\in\mathbb{R}\mid x+h\in E\}$;

2) $\mathcal{B}:=$база непроколотых окрестностей нуля в $X$;

3) $\mathcal{F}:=\{\alpha\in\mathcal{P}(\mathbb{R}\times\mathbb{R})\mid \alpha\text{ - функция, }\operatorname{dom}\alpha=X,\ \lim\limits_{\mathcal{B}}\alpha(x)=0\}$;

Новое определение 1. Функция $f\colon E\to \mathbb{R}$ называется дифференцируемой в точке $x\in E$, предельной для $E$, тогда и только тогда, когда $\exists A\in\mathbb{R}\exists\alpha\in\mathcal{F}\forall h\in X\left[f(x+h)-f(x)=Ah+\alpha(h)h\right]$.

[kp9r4d]

gefest_md в сообщении #1177513 писал(а):

2) $\mathcal{B}:=$база непроколотых окрестностей нуля в $X$;

А если $0$ не является точкой прикосновения $X$?

[gefest_md]

kp9r4d в сообщении #1177681 писал(а):

А если $0$ не является точкой прикосновения $X$?

Это следует из того, что $x$ предельная для $E$: берем $\varepsilon$-окрестность нуля; тогда в $\varepsilon$-окрестности $x$-а найдется точка $x+t\in E$; тогда $t$ будет искомой точкой.

[kp9r4d]

А, у вас там и $X$ и $E$, перепутал.

[gefest_md]

Возвращаюсь к старому определению.

Пусть $E\subseteq\mathbb{R}$ и $x\in E$ предельная точка для $E.$ Определим множества:

(1) $X:=\{h\in\mathbb{R}\mid x+h\in E\}$;

(2) $\mathcal{B}:=\ $ база в $X$, чтобы $\forall B\in\mathcal{B}(0\in B)$;

(3) $\mathcal{F}:=\{g\in\mathcal{P}(\mathbb{R}\times\mathbb{R})\mid g\text{ - функция и }\operatorname{dom} g= X\}$;

(4) $e:=\ $ тождественная функция на $X;$

(5) $S:=\{g\in\mathcal{F}\mid g\text{ есть } o(e) \text{ при базе }\mathcal{B}\}$;

Определение 1. Функция $f\colon E\to \mathbb{R}$ называется дифференцируемой в точке $x\in E$, предельной для $E$, тогда и только тогда, когда $\exists A\in\mathbb{R}\exists\beta\in S\forall h\in X\left[f(x+h)-f(x)=Ah+\beta(h)\right]$.


Следующие предложения эквивалентны:

1 $f$ дифференцируема в точке $x$.

2 $\exists A\in\mathbb{R}\exists\beta\in S\exists B\in\mathcal{B}\forall h\in B\left[f(x+h)-f(x)=Ah+\beta(h)\right]$.

3 $\exists\lim\limits_{\mathcal{B}}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$.

Например, в доказательстве теоремы о дифф-сти сложной функции я воспользовался тем, что $1\,\Leftrightarrow\, 2$.

[ewert]

А зачем всё это? Разве кому-то нужно дифференцировать по дырявым областям? Ведь иметь дело всегда приходится или во внутренних точках, или в крайнем случае на границах промежутков.

[kp9r4d]

Так вы в итоге записали ровно то определение, которое у Зорича, просто введя при этом несколько переобозначений. В чём концепт?

-- 18.12.2016, 16:56 --

ewert в сообщении #1178106 писал(а):

Ведь иметь дело всегда приходится или во внутренних точках, или в крайнем случае на границах промежутков.

Ну это-то как раз понятно, чтобы строго формализовать левые/правые производные и производные на границах (не обязательно промежутков).

[ewert]

kp9r4d в сообщении #1178107 писал(а):

Ну это-то как раз понятно, чтобы строго формализовать левые/правые производные и производные на границах (не обязательно промежутков).

А зачем производная на границе, если это не граница промежутка (пардон, отрезка)?

Если же речь о б интервалах или отрезках, то нет никакого смысла возиться с базами. Вполне достаточно дать отдельно определения просто производной и односторонней производной, а затем установить связь между ними. Тем более что это ровно то, что в дальнейшем и понадобится.

[kp9r4d]

А производная на граничной точке гладкого многообразия не нужна? (Вопрос серьезный, может и не нужна, я не сильно разбираюсь). А это вполне себе подготавливает почву для этого.

[ewert]

kp9r4d в сообщении #1178113 писал(а):

А производная на граничной точке гладкого многообразия не нужна?

Нужна. Как минимум нормальная -- точно нужна. Но, во-первых, многомерные производные -- вещь существенно более сложные. А во-вторых, и там интерес представляет лишь случай, когда окрестность такой точки -- примерно полуподпространство.

-- Вс дек 18, 2016 19:45:09 --

Да, кстати:

gefest_md в сообщении #1176878 писал(а):

Зорич доказывет, что $a^{x+h}-a^x=a^x\ln a\cdot h+o(h)$ при $h\to 0.$ Он использует эквивалентность $e^x-1\sim x$ при $x\to 0$, которая равносильна тому, что в некоторой окрестности нуля $B$ имеет место $e^x-1=x+o(x).$

Цитата:

$a^{x+h}-a^x=a^x\left(a^h-1\right)=a^x\left(e^{h\ln a}-1\right)=a^x\left(h\ln a+o(h\ln a)\right)=\cdots$

На чём основано последнее равенство? Во время доказательства дифференцируемости по определению 1 я беру произвольный $h\in X=\mathbb{R}$.

Последнее -- ошибка. Какие экзотические определения ни придумывай, производная (и вообще пределы) останутся понятиями локальными. И шаг надо брать вовсе не любой, а лишь из некоторой окрестности.

Впрочем, в данном конкретном случае это не важно: произвольному $h$ отвечает и $h\ln a$ также произвольный.

[gefest_md]

ewert в сообщении #1178123 писал(а):

Последнее -- ошибка.

Если 1 и 2 эквивалентны

gefest_md в сообщении #1178103 писал(а):

Определение 1. Функция $f\colon E\to \mathbb{R}$ называется дифференцируемой в точке $x\in E$, предельной для $E$, тогда и только тогда, когда $\exists A\in\mathbb{R}\exists\beta\in S\forall h\in X\left[f(x+h)-f(x)=Ah+\beta(h)\right]$.


Следующие предложения эквивалентны:

1 $f$ дифференцируема в точке $x$.

2 $\exists A\in\mathbb{R}\exists\beta\in S\exists B\in\mathcal{B}\forall h\in B\left[f(x+h)-f(x)=Ah+\beta(h)\right]$.

то не соглашусь. Предложение 2 для функции $f(x)=a^x$ всё же вытекает из $e^x-1\sim x,\ x\to 0$.

[gefest_md]

Пока обдумываю полученные советы - а такая необходимость ощущается - , запишу ещё одно предложение, эквивалентное предложениям 1, 2, 3

gefest_md в сообщении #1178103 писал(а):

Следующие предложения эквивалентны:

1 $f$ дифференцируема в точке $x$.

2 $\exists A\in\mathbb{R}\exists\beta\in S\exists B\in\mathcal{B}\forall h\in B\left[f(x+h)-f(x)=Ah+\beta(h)\right]$.

3 $\exists\lim\limits_{\mathcal{B}}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

4 $\exists A\in\mathbb{R}\exists\beta\in S\exists B\in\stackrel{\circ}{\mathcal{B}}\forall h\in B\left[f(x+h)-f(x)=Ah+\beta(h)\right]$, где $\stackrel{\circ}{\mathcal{B}}$ - база проколотых окрестностей нуля в $X$.

[kp9r4d]

$\beta(h)h$ тогда уже. И от $\beta$ достаточно требовать быть определенной тоже локально, а не на всём $X$.

-- 19.12.2016, 21:46 --

А вообще математика - это иcкусство переводить формулы в слова, а не наоборот ^^

[gefest_md]

kp9r4d в сообщении #1178458 писал(а):

$\beta(h)h$ тогда уже.

Что я хотел сказать, я сказал. Само $\beta(h)$ равно $\alpha (h)h$, ($\beta\in S$).

kp9r4d в сообщении #1178458 писал(а):

И от $\beta$ достаточно требовать быть определенной тоже локально, а не на всём $X$.

Из дифференцируемости $f$ в точке $x$, по последнему определению 1, можно вывести предложение

$\exists A\in\mathbb{R}\exists!\beta\in S\forall h\in X\left[f(x+h)-f(x)=Ah+\beta(h)\right]$ (единственный $\beta$).

Если переопределить $S$, множество откуда берётся $\beta$, то такую возможность я уже не замечаю.

kp9r4d в сообщении #1178458 писал(а):

А вообще математика - это иcкусство переводить формулы в слова, а не наоборот

Я всюду употреблял слово "предложение".

[kp9r4d]

gefest_md в сообщении #1178484 писал(а):

Что я хотел сказать, я сказал. Само $\beta(h)$ равно $\alpha (h)h$, ($\beta\in S$).

Так а я прочитал, что написано. У вас $S$ равно

gefest_md в сообщении #1178103 писал(а):

(5) $S:=\{g\in\mathcal{F}\mid g\text{ есть } o(e) \text{ при базе }\mathcal{B}\}$;

тогда в нём нужно заменить $o(e)$ на $o(h)$.

gefest_md в сообщении #1178484 писал(а):

Если переопределить $S$, множество откуда берётся $\beta$, то такую возможность я уже не замечаю.

Если переопределить $S$, то естественно некоторые утверждения об $S$, которые раньше были истинными, станут ложными, и наоборот. Вопрос в том, какие утверждения об $S$ и $\beta$ мы хотим, чтобы были истинными, а какие ложными. Производная (а вместе с ней и $\beta$) кодирует локальную информацию о функции, то есть это некоторое утверждение о ростке функции $f$ в точке $x$, поэтому разумно требовать, чтобы и определена $\beta$ была в настолько малой окрестности, насколько мы захотим.

gefest_md в сообщении #1178484 писал(а):

Я всюду употреблял слово "предложение".

А я и не в претензиях.