2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 топология, индуцированная полунормами. Противоречие.
Сообщение15.03.2016, 18:13 


15/04/12
175
Никак не могу понять одну вещь. Уже целый месяц возвращаюсь к этому вопросу - и все безрезультатно.

Возьмем банахово пространство $C_0^0$ непрерывных функций, исчезающих на бесокнечности. То есть

$$C_0^0(\Omega):=\{ f \in C^0(\Omega)\big|\; \forall \varepsilon>0\quad  \{x\in\Omega\big|\;  |f(x)|\geq \varepsilon\} \text { -- compact} \}$$
Пусть топология будет стандартной, индуцированной супремум-нормой: $\|f\|:=\sup_\Omega |f(x)|.$

Пусть для простоты $\Omega = \mathbb R.$

Очевидно, что пространство функций с компактным носителем $C_c(\Omega)$ плотно в $C_0^0(\Omega).$

Рассмотрим теперь слабую* топологию на двойственном пространстве $(C_0^0)^*.$ Пусть мы индуцируем эту тополгию с помощью полунорм вида

$$\| \varphi \|_f := |\varphi(f)|,\; f\in C_c(\Omega),\varphi\in (C_0^0)^*.$$

Очевидно, что в этой топологии все функционалы вида
$$
\begin{align}
f: (C_0^0)^* \to \mathbb R\\
\varphi \mapsto \varphi(f)
\end{align}
$$
непрерывны при $f\in C_c(\Omega).$

рассмотрим теперь такой функционал, только допустим, что $\bar f$ лежит в $C_0^0(\Omega).$

Известна теорема, что линейный функционал $g$ непрерывен в локально выпуклой топологии на векторном пространсве $E$ (индуцированной семейством полунорм $\{\|\cdot\|_f\}$) тогда и только тогда, когда существует полунорма $\| \cdot \|_f$ для которой действительно:

$$ g(\varphi) \leq c \| \varphi \|_f,\quad \forall \varphi\in (C_0^0)^*$$ где $c>0.$

То есть как будто бы функционал $\bar f \in C_0^0(\Omega)$ не должен быть непрерывным. Ведь какую бы мы ни взяли функцию $f\in C_c(\Omega)$ мы можем взять, к примеру, функционал $\varphi(f):=|f(x_0)|, x_0\not\in supp(f)$ и тогда вышеуказанное неравенство не выполняется. А значит функционал $\bar f$ не непрерывен на $(C_0^0(\Omega))^*.$

С другой стороны, пусть дана любая сходящаяся к $\varphi$ последовательность $\{ \varphi_i \}$ в слабой* топологии на $(C_0^0(\Omega))^*.$ И пусть последовательность $\varphi_i$ сильно ограничена. То есть $\| \varphi_i \|:=\sup_{\|f\|\leq 1} |\varphi_i(f)| \leq C.$ Теперь рассмотрим выражение
$$\lim_{i\to\infty} \varphi_i(\bar f) = \varphi(\bar f).$$

Если оно истинно, то функционал $\bar f$ непрерывен в слабой* топологии.

Мы знаем, что
$$\lim_{i\to\infty} \varphi_i(f) = \varphi(f)$$
по определению слабой* топологии истинно для $f\in C_c(\Omega).$

Пусть $f_j$ сходящаяся к $\bar f$ последовательность функций из $C_c(\Omega).$ Рассмотрим теперь выражение (учтем, что $\lim (\varphi_i(f_j)-\varphi(f_j)) = 0$)
\begin{align}
\lim_{i\to\infty} (\varphi_i(\bar f) - \varphi(\bar f)) &= \lim (\varphi_i(\bar f) - \varphi(\bar f)) + \lim (\varphi(f_j)-\varphi_i(f_j))\\
   &=\lim (\varphi_i(\bar f) - \varphi_i(f_j) + \varphi(f_j)-\varphi(\bar f))\\
   &=\lim_{i\to\infty} \varphi_i(\bar f - f_j) + \varphi(f_j-\bar f).
\end{align}

Так как все $\varphi_i$ равномерно ограничены константой $C,$ а $f-f_j$ равномерно сходится к нулю, то после предельного перехода по $j\to\infty$ мы получаем, что

$$\lim_{i\to\infty} (\varphi_i(\bar f) - \varphi(\bar f)) = 0.$

То есть $\bar f$ непрерывен в слабой* топологии на $(C_0^0)^*$ и мы получили противоречие.

--------
Как быть? Где моя ошибка?

 Профиль  
                  
 
 Re: топология, индуцированная полунормами. Противоречие.
Сообщение15.03.2016, 21:37 
Аватара пользователя


31/03/13
25
Ошибка здесь:
dikiy в сообщении #1106937 писал(а):
Рассмотрим теперь слабую* топологию на двойственном пространстве $(C_0^0)^*.$ Пусть мы индуцируем эту тополгию с помощью полунорм вида

$$\| \varphi \|_f := |\varphi(f)|,\; f\in C_c(\Omega),\varphi\in (C_0^0)^*.$$
Данные полунормы попросту порождают другую топологию, более слабую, нежели *слабая в $(C_0^0)^*$. И ваши рассуждения это показывают.

dikiy в сообщении #1106937 писал(а):
Известна теорема, что линейный функционал $g$ непрерывен...
В нашем конкретном случае это несущественно, а в общем должно быть так: существует конечное число полунорм $\{ \lVert \cdot \rVert_{f_i} \}$, таких что
$$ g(\varphi) \leq c (\lVert \varphi \rVert_{f_1} + \dots + \lVert \varphi \rVert_{f_n}) \quad \forall \varphi\in (C_0^0)^*$$

 Профиль  
                  
 
 Re: топология, индуцированная полунормами. Противоречие.
Сообщение15.03.2016, 22:07 


15/04/12
175
quartermind в сообщении #1106981 писал(а):
Ошибка здесь:
dikiy в сообщении #1106937 писал(а):
Рассмотрим теперь слабую* топологию на двойственном пространстве $(C_0^0)^*.$ Пусть мы индуцируем эту тополгию с помощью полунорм вида

$$\| \varphi \|_f := |\varphi(f)|,\; f\in C_c(\Omega),\varphi\in (C_0^0)^*.$$
Данные полунормы попросту порождают другую топологию, более слабую, нежели *слабая в $(C_0^0)^*$. И ваши рассуждения это показывают.

да. Но я не могу понять, почему рассуждения с предельным переходом приводят к выводу, что $\bar f$ непрерывна в этой более слабой топологии! Ведь по идее не должно так быть, ибо мы не сможем найти такие полунормы, чтобы
$$ \varphi(\bar f)=:g(\varphi) \leq c (\lVert \varphi \rVert_{f_1} + \dots + \lVert \varphi \rVert_{f_n}) \quad \forall \varphi\in (C_0^0)^*$$
Цитата:
Цитата:
Известна теорема, что линейный функционал $g$ непрерывен...
В нашем конкретном случае это несущественно, а в общем должно быть так: существует конечное число полунорм $\{ \lVert \cdot \rVert_{f_i} \}$, таких что
$$ g(\varphi) \leq c (\lVert \varphi \rVert_{f_1} + \dots + \lVert \varphi \rVert_{f_n}) \quad \forall \varphi\in (C_0^0)^*$$

 Профиль  
                  
 
 Re: топология, индуцированная полунормами. Противоречие.
Сообщение15.03.2016, 22:18 
Аватара пользователя


31/03/13
25
dikiy в сообщении #1106995 писал(а):
Ведь по идее не должно так быть, ибо мы не сможем найти такие нормы, чтобы
$$ \varphi(\bar f)=:g(\varphi) \leq c (\lVert \varphi \rVert_{f_1} + \dots + \lVert \varphi \rVert_{f_n}) \quad \forall \varphi\in (C_0^0)^*$$
По определению, *слабая топология $C_0^0$ порождается полунормами $\lVert\cdot\rVert$_f, где $f \in C_0^0$, а не в $C_c$, как вы изначально предположили. Так что сможем.

 Профиль  
                  
 
 Re: топология, индуцированная полунормами. Противоречие.
Сообщение15.03.2016, 22:21 


15/04/12
175
quartermind в сообщении #1106997 писал(а):
dikiy в сообщении #1106995 писал(а):
Ведь по идее не должно так быть, ибо мы не сможем найти такие нормы, чтобы
$$ \varphi(\bar f)=:g(\varphi) \leq c (\lVert \varphi \rVert_{f_1} + \dots + \lVert \varphi \rVert_{f_n}) \quad \forall \varphi\in (C_0^0)^*$$
По определению, *слабая топология $C_0^0$ порождается полунормами $\lVert\cdot\rVert$_f, где $f \in C_0^0$, а не в $C_c$, как вы изначально предположили. Так что сможем.


Забьем на определение пока. Пусть слабая *топология в данном конкретном случае порождена именно полунормами, в которых $f$ из $C_c.$ Каким образом тогда противоречие объяснить?

 Профиль  
                  
 
 Re: топология, индуцированная полунормами. Противоречие.
Сообщение15.03.2016, 22:59 
Аватара пользователя


31/03/13
25
dikiy, для начала перепишите внятно ваши манипуляции с пределами, указав явно, где и в каком порядке берутся пределы по $i$ и по $j$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group