2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 "Обворожительный" треугольник с наименьшим периметром
Сообщение09.03.2016, 12:33 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
Треугольник, длины всех сторон и всех высот которого целые, назовём обворожительным.
Например, треугольник со сторонами $15, 20, 25$ - обворожительный.
А какой наименьший периметр может быть у обворожительного треугольника?

 Профиль  
                  
 
 Re: "Обворожительный" треугольник с наименьшим периметром
Сообщение09.03.2016, 21:35 
Заслуженный участник


20/08/14
11058
Россия, Москва
Если стороны и высоты могут быть именно целыми, то подходит например аналогичное Вашему решение со сторонами $(-15n, -20n, -25n)$ при бесконечно большом положительном $n$ - и стороны и высоты и периметр будут отрицательными, т.е наименьшими.
Если ограничиться неотрицательными числами, то наименьшее решение очевидно с нулевыми сторонами, высотами и периметром. :mrgreen:
Если же решать "как белые люди" в натуральных числах, то перебор указывает на минимальность уже приведённого решения $15, 20, 25$. Печалька.

 Профиль  
                  
 
 Re: "Обворожительный" треугольник с наименьшим периметром
Сообщение09.03.2016, 22:59 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
Dmitriy40 в сообщении #1105378 писал(а):
...перебор указывает на минимальность уже приведённого решения $15, 20, 25$. Печалька.

Каким образом осуществляли перебор?

 Профиль  
                  
 
 Re: "Обворожительный" треугольник с наименьшим периметром
Сообщение09.03.2016, 23:49 
Заслуженный участник


20/08/14
11058
Россия, Москва
Ktina в сообщении #1105412 писал(а):
Каким образом осуществляли перебор?

Сначала пытался в уме прикинуть критерии на площадь и высоты треугольника, доказал для равнобедренных треугольников чётность длины основания и отсутствие решений до длины основания $10$, потом для произвольных треугольников запутался, плюнул, сбацал программку перебора длин трёх сторон, отсеивания по неравенству треугольника, потом вычисление всех трёх высот через площадь треугольника (по Герону), отсеивание нецелых значений высот, ну и сортировку по длине периметра. В общем по тупому и без огонька. :-( Для очень больших чисел может и будет ошибка в вычислениях, но уж до 15-ти знаков её быть не должно, а тут всего 2-4 знака. До периметра 100 решение ровно одно приведённое Вами.
Если интересно, возможные решения для периметра до 1000 ($h_x$ - высота к стороне $x$):
код: [ скачать ] [ спрятать ]
Используется синтаксис Text
P= 60, S=  150, a= 15, b= 20, c= 25, ha= 20, hb= 15, hc= 12 *
P=120, S=  600, a= 30, b= 40, c= 50, ha= 40, hb= 30, hc= 24
P=180, S= 1350, a= 45, b= 60, c= 75, ha= 60, hb= 45, hc= 36
P=210, S= 1050, a= 35, b= 75, c=100, ha= 60, hb= 28, hc= 21 *
P=240, S= 2400, a= 60, b= 80, c=100, ha= 80, hb= 60, hc= 48
P=300, S= 3750, a= 75, b=100, c=125, ha=100, hb= 75, hc= 60
P=360, S= 5400, a= 90, b=120, c=150, ha=120, hb= 90, hc= 72
P=390, S= 5070, a= 65, b=156, c=169, ha=156, hb= 65, hc= 60 *
P=420, S= 4200, a= 70, b=150, c=200, ha=120, hb= 56, hc= 42
P=420, S= 7350, a=105, b=140, c=175, ha=140, hb=105, hc= 84 *
P=480, S= 9600, a=120, b=160, c=200, ha=160, hb=120, hc= 96
P=540, S=12150, a=135, b=180, c=225, ha=180, hb=135, hc=108
P=600, S=15000, a=150, b=200, c=250, ha=200, hb=150, hc=120
P=630, S= 9450, a=105, b=225, c=300, ha=180, hb= 84, hc= 63
P=660, S=18150, a=165, b=220, c=275, ha=220, hb=165, hc=132 *
P=680, S=17340, a=136, b=255, c=289, ha=255, hb=136, hc=120 *
P=720, S=21600, a=180, b=240, c=300, ha=240, hb=180, hc=144
P=780, S=20280, a=130, b=312, c=338, ha=312, hb=130, hc=120
P=780, S=25350, a=195, b=260, c=325, ha=260, hb=195, hc=156
P=840, S=16800, a=140, b=300, c=400, ha=240, hb=112, hc= 84
P=840, S=29400, a=210, b=280, c=350, ha=280, hb=210, hc=168 *
P=900, S=33750, a=225, b=300, c=375, ha=300, hb=225, hc=180
P=960, S=38400, a=240, b=320, c=400, ha=320, hb=240, hc=192
* - пометил несократимые (надеюсь) варианты

 Профиль  
                  
 
 Re: "Обворожительный" треугольник с наименьшим периметром
Сообщение10.03.2016, 00:11 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
Dmitriy40
Большое спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: "Обворожительный" треугольник с наименьшим периметром
Сообщение10.03.2016, 00:21 
Заслуженный участник


20/08/14
11058
Россия, Москва

(Оффтоп)

Да в общем-то не за что, компьютерным перебором любой решит такую несложную задачку, вот в уме или на бумажке ... Я начал, но запутался в вариантах. Так что если кто решит красиво - буду только рад просветиться. А данные будем считать привёл для сверки. :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: "Обворожительный" треугольник с наименьшим периметром
Сообщение10.03.2016, 17:06 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Dmitriy40
А Вы можете модифицировать программу так, чтобы, если найден подходящий треугольник $(a, b, c)$, то треугольники вида $(na, nb, nc)$ исключались бы? ($n$ — натуральное, начиная с двух)
Тогда в output'е будет легче разглядеть новый интересный тип треугольника.

Вы звёздочкой случайно не новые типы обозначаете?

Всё, досмотрел до конца, вопрос отпал. Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: "Обворожительный" треугольник с наименьшим периметром
Сообщение10.03.2016, 19:44 
Заслуженный участник


20/08/14
11058
Россия, Москва
svv
Могу конечно, несложно, но есть ли смысл? Задача ведь была лишь про минимум, а не про все, это я уж так, от лени и простоты пару цифр поправить. :-) В принципе, добавить буфер для хранения уникальных, поиск по нему и проверку делимости ... В общем пару часов писанины. Но надо ли? Тут я помечал руками, тоже стало интересно про новые конфигурации глянуть.

 Профиль  
                  
 
 Re: "Обворожительный" треугольник с наименьшим периметром
Сообщение11.03.2016, 12:07 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
Используем параметризацию Кармайкла.
Все подобные целые треугольники относятся к одному классу, который определен тремя натуральными числами $(m,n,k)$ такими, что $\gcd(m,n,k)=1$
и $mn>k^2\ge\frac{{m^2}n}{2m+n}$.
Представитель класса - треугольник с целыми сторонами и высотами:
$a=n(m^2+k^2)^2{(n^2+k^2)}$
$b=m(m^2+k^2)(n^2+k^2)^2$
$c=(m+n)(mn-k^2)(m^2+k^2)(n^2+k^2)$
$h_a=2km(m+n)(mn-k^2)(n^2+k^2)$
$h_b=2kn(m+n)(mn-k^2)(m^2+k^2)$
$h_c=2kmn(m+n)(n^2+k^2)(m^2+k^2)$
Периметр треугольника $P=2mn(m+n)(m^2+k^2)(n^2+k^2)$
Обозначим $d=\gcd(a,b,c,h_a,h_b,h_c)$.
Стороны треугольника и высоты можно уменьшить в d раз - и наименьший периметр в классе равен $P/d$.
Замечу, что один и тот же класс может определяться разными тройками.
Например, тройки $(m,n,k)=(2,1,1),(3,1,1),(3,2,1)$ определяют класс в который попадает треугольник с наименьшим периметром $(25,20,15)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: "Обворожительный" треугольник с наименьшим периметром
Сообщение11.03.2016, 13:29 


23/01/07
3415
Новосибирск
Нашел м.б. второй по величине периметра треугольник: $a=b=25$, $c=30$

 Профиль  
                  
 
 Re: "Обворожительный" треугольник с наименьшим периметром
Сообщение11.03.2016, 14:26 
Заслуженный участник


20/08/14
11058
Россия, Москва
Да, похоже я погорячился с исключением равнобедренных треугольников.
Батороев, Вы правы.
Следующий будет $(25, 25, 40)$.
Из интересных ещё дальше: $(130, 169, 169)$, $(169, 169, 312)$, $(272, 289, 289)$. Остальные до $P<1000$ - кратные или были приведены выше.

 Профиль  
                  
 
 Re: "Обворожительный" треугольник с наименьшим периметром
Сообщение11.03.2016, 17:51 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
Добавляются в список c $P>1000$, но с длинами сторон $\le{1000}$:
$(a,b,c;h_a,h_b,h_c)=$
$(289,289,510;240,240,136)$,
$(175,600,625;600,175,168)$,
$(350,625,625;600,336,336)$,
$(275,625,750;600,264,220)$,
$(580,609,841;609,580,420)$,
$(260,845,975;780,240,208)$,
$(845,910,975;840,780,728)$,
$(625,975,1000;936,600,585)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: "Обворожительный" треугольник с наименьшим периметром
Сообщение21.03.2016, 12:08 
Админ форума
Аватара пользователя


19/03/10
8952
 i  Название треугольника изменено по просьбе ТС

 Профиль  
                  
 
 Re: "Обворожительный" треугольник с наименьшим периметром
Сообщение22.03.2016, 13:17 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
По поводу названия этих треугольников.
Definition : An alt triangle is a triangle with three integer sides and three integer altitudes. The set of all alt triangles is denoted by Alt
Так они когда-то были названы Бухгольцом, так и называются. (Это для информации).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group