2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Вопрос по дзета-функции Римана
Сообщение04.03.2016, 11:28 


24/03/09
505
Минск
Известно что, возведение в степень - бинарная операция только в случае, если эта степень
является целым числом. (приводит к единственному результату).
Если степень - дробное, рациональное число, то результатов может быть много, конечное количество,
в поле комплексных чисел. Скажем, возведение в степень $1/5$ даст $5$ результатов.
Если же степень - вещественное число, то результатов бесконечное
количество. Они как бы помещаются на некую окружность в плоскости комплексных чисел.

Возведение в комплексную степень, аналогично, должно дать бесконечное количество результатов.

Дзета-функция Римана представляет собой сумму ряда, каждый член которого содержит целое
число, возводимое в комплексную степень. (т.е. показателем степени может быть комплексное число).
Это значит, что каждый член ряда - имеет уже не одно значение, а бесконечное количество значений.

Но сама дзета-функция принимая какой то комплексный параметр, почему-то приводит к единственному результату -
комплексному числу.

Т.е. сумма членов, каждый из которых - неоднозначен, почему то приводит к однозначному результату?

Объясните, почему же так происходит. И как вообще можно суммировать что-то, какие то члены в последовательности,
если каждый из этих членов - имеет бесконечное количество вариантов?
Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос по дзета-функции Римана
Сообщение04.03.2016, 11:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14429
Берутся главные значения степени.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос по дзета-функции Римана
Сообщение04.03.2016, 12:08 


24/03/09
505
Минск
Как это?
Каждый член в ряду имеет какое то одно, привилегированное комплексное значение?
И какое?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос по дзета-функции Римана
Сообщение04.03.2016, 12:14 
Заслуженный участник


26/10/14
380
Новосибирск
Skipper
Подозреваю, вот так:
$n^z=n^x n^{iy} = n^x e^{iy\ln n}$.
$x, y$ - вещественные числа, $n^x$ - тоже (вещественная степень положительного числа вполне определяется без комплексных чисел), ну а экспонента отвечает за аргумент.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос по дзета-функции Римана
Сообщение04.03.2016, 12:28 
Заслуженный участник


08/04/08
8556
Не ну ТФКП-то надо выучить хотя бы до вычетов.
$\alpha^\beta := \exp (\beta\cdot \ln \alpha)$, где $\ln\alpha$ - это главное значение логарифма $\operatorname{Ln}\alpha = \ln |\alpha|+i(\arg \alpha + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$ (т.е. когда $k=0$)
Если число $z$ отрицательное, то $\arg z = \pi i$ и тогда $(-1)^1=\exp(\pi i)=-1$

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос по дзета-функции Римана
Сообщение04.03.2016, 12:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Sonic86 в сообщении #1104074 писал(а):
Не ну ТФКП-то надо выучить хотя бы до вычетов.
$\alpha^\beta := \exp (\beta\cdot \ln \alpha)$, где $\ln\alpha$ - это главное значение логарифма $\operatorname{Ln}\alpha = \arg \alpha + 2\pi i k, k \in \mathbb{Z}$ (т.е. когда $k=0$)

Несомненно, "ТФКП-то надо выучить хотя бы до вычетов" , и иногда - повторять! :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос по дзета-функции Римана
Сообщение04.03.2016, 12:49 
Заслуженный участник


08/04/08
8556

(Brukvalub)

Brukvalub в сообщении #1104080 писал(а):
Sonic86 в сообщении #1104074 писал(а):
Не ну ТФКП-то надо выучить хотя бы до вычетов.
$\alpha^\beta := \exp (\beta\cdot \ln \alpha)$, где $\ln\alpha$ - это главное значение логарифма $\operatorname{Ln}\alpha = \arg \alpha + 2\pi i k, k \in \mathbb{Z}$ (т.е. когда $k=0$)

Несомненно, "ТФКП-то надо выучить хотя бы до вычетов" , и иногда - повторять!:D
Ну ладно :oops: я же сам нашел ошибку и исправил. Так что повторил! :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос по дзета-функции Римана
Сообщение04.03.2016, 13:36 


24/03/09
505
Минск
Ну и где вы избавились от вещественной степени? Число, возведенное не только в комплексную, а и в вещественную
степень - дает бесконечное количество результатов в поле комплексных чисел. Если только степень не целое (тогда
единственный результат), или не рациональное (тогда конечное количество вариантов).

Цитата:
вещественная степень положительного числа вполне определяется без комплексных чисел


Это в поле вещественных чисел. А Дзета-функция Римана - принимает аргументы - комплексные числа, и
возвращает комплексное число. (полностью определена и работает в поле комплексных чисел)
С какой стати, ее члены, которые содержат возведение чисел в компклексные степени, нужно как то ограничивать,
какими то привилегированными значениями?


Тогда одно из двух.
1) или для дзета-функции, определение понятие "возведение в степень" - некое другое, отличающееся
от общего понятия возведения в степень.
2) или доказано, что можно брать привилегированные значения возведения в степень, и общий результат (сумма ряда)
будет тот же.

-- Пт мар 04, 2016 12:43:05 --

Sonic86, у вас $\beta$ - вещественный показатель степени, NSKuber, а у вас - $x$ и $y$.

Целые тут - только числа, которые сами возводятся в степень.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос по дзета-функции Римана
Сообщение04.03.2016, 14:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14429
Есть степенная функция, которая многозначна, а есть комплексная степень комплексного числа, которая (часто по умолчанию) определена однозначно, как было написано. Фихтенгольц называет её "главным значением степени". Ряд, через который определяется зета-функция, не функциональный, а числовой, и степени там определены однозначно для любых аргументов именно как главное значение степенной функции. Другое дело, что чаще всего это умалчивается. Может быть Вас заинтересовало обобщение зета-функции на случай, когда берутся не главные, а другие значения, но с одного листа?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос по дзета-функции Римана
Сообщение04.03.2016, 14:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Skipper в сообщении #1104098 писал(а):
Тогда одно из двух.
1) или для дзета-функции, определение понятие "возведение в степень" - некое другое, отличающееся
от общего понятия возведения в степень.
2) или доказано, что можно брать привилегированные значения возведения в степень, и общий результат (сумма ряда)
будет тот же.
И то, и другое — ерунда. На действительной оси при $x>1$ ряд $\zeta(x)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac 1{n^x}$ никаких проблем с многозначностью не имеет, поскольку степень положительного действительного числа с действительным показателем даёт вполне определённое положительное действительное число. А дальше работает теорема единственности из ТФКП, которая утверждает, что существует не более чем одно аналитическое продолжение этой функции в комплексную область. Поскольку известно, что в конечной области у этого продолжения имеется единственная особая точка (полюс в точке $z=1$), то многозначность тут никак возникнуть не может. Хотя функция $a^z$ формально и является многозначной на комплексной плоскости, но её ветви между собой никак не связаны, и если зафиксировать значение степени в одной точке (например, положить $a^0=1$), то это однозначно определяет $a^z$ на всей комплексной плоскости.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос по дзета-функции Римана
Сообщение04.03.2016, 14:46 


24/03/09
505
Минск
Someone, спасибо!

Цитата:
Хотя функция $a^z$ формально и является многозначной на комплексной плоскости, но её ветви между собой никак не связаны, и если зафиксировать значение степени в одной точке (например, положить $a^0=1$), то это однозначно определяет $a^z$ на всей комплексной плоскости.


А какая будет точная формула для вычисления члена последовательности для Дзета-функции, для $a^z$, где $a$ - натуральное число, а $z = d + it$, $d$ и $t$ - вещественные числа.

Формула для этого $a^{d + it}$ должна выдать единственный результат, т.е. единственное комплексное число.
$a^{d + it} = a^d \cdot a ^{it}$.
$a^d$ - определяется, как вещественная степень положительного числа без комплексных чисел - т.е. один результат, только в поле вещественных чисел, так?

$a ^{it}$, тоже должна определяться единственным образом. Если определить,
$a ^{it} = e ^ {it \ln a}$, то как единственным образом ее вычислять?
При вещественном (нецелом) параметре $t$ в степени.

$\ln a$ где a - вещественное, определяем, тоже, как логарифм, в поле вещественных чисел, правильно?

Тогда $e ^ {it \ln a} = (e ^ {it}) ^ {\ln a} $ , пусть $\ln a$ = r , где $r$ - вещественное число.
Имеем формулу, в которой нужно число $e$ возвести сначала чисто во мнимую степень, с иррациональным модулем (расстоянием от точки 0), а затем, в иррациональное вещественное число.
Как получить тут однозначное возведение в степень?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос по дзета-функции Римана
Сообщение04.03.2016, 14:53 
Заслуженный участник


26/10/14
380
Новосибирск
Skipper в сообщении #1104118 писал(а):
$a ^{it} = e ^ {it \ln a}$, то как единственным образом ее вычислять?
При вещественном (нецелом) параметре t в степени.

Про формулу Эйлера слыхали?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос по дзета-функции Римана
Сообщение04.03.2016, 15:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Skipper в сообщении #1104098 писал(а):
Тогда одно из двух.
1) или для дзета-функции, определение понятие "возведение в степень" - некое другое, отличающееся
от общего понятия возведения в степень.
2) или доказано, что можно брать привилегированные значения возведения в степень, и общий результат (сумма ряда)
будет тот же.

Нет, здесь наблюдается третье: агрессивное невежество и запутывание тривиального вопроса.
NSKuber давно все объяснил, а потом еще раз все объяснил, напомнив про формулу Эйлера.
Осталось чуть-чуть подумать, а, если и потом ясности не появится, то нужно не продолжать писАть возрастающие объемы явных глупостей на форуме, а открыть учебник по азам ТФКП и "покурить" его.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group