2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6  След.
 
 Re: Что Вас потрясло в математике?
Сообщение31.01.2016, 21:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
А что, в обратную сторону нельзя расковырять: взять простое число, и найти переменные полинома, которым оно соответствует?

 Профиль  
                  
 
 Re: Что Вас потрясло в математике?
Сообщение31.01.2016, 21:50 
Аватара пользователя


26/02/14
496
so dna
Munin в сообщении #1095621 писал(а):
А что, в обратную сторону нельзя расковырять: взять простое число, и найти переменные полинома, которым оно соответствует?

Я пробовал. Например для простого числа $2$ мы получим $k=0$ и систему из $14$-ти уравнений, максимальной степени $12$. В котором, очень вероятно, $u>10^{20}$. Без тупого перебора хотя бы по $8$ переменным тут врятли обойдешься, а когда повылазили такие числа... Лично у меня весь энтузиазм пропал...

 Профиль  
                  
 
 Re: Что Вас потрясло в математике?
Сообщение01.02.2016, 01:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Почитайте тему "Что значит найти наибольшее простое число?". Там и ссылки на статьи есть. Из которых Вы узнаете, что $10^{20}$ — это мелочи, не заслуживающие упоминания.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что Вас потрясло в математике?
Сообщение01.02.2016, 09:15 
Аватара пользователя


26/02/14
496
so dna
Someone в сообщении #1095698 писал(а):
Почитайте тему "Что значит найти наибольшее простое число?". Там и ссылки на статьи есть. Из которых Вы узнаете, что $10^{20}$ — это мелочи, не заслуживающие упоминания.
Я всего лишь хотел сказать, что тупой перебор, или попытка угадать решение - совершенно бесполезны (даже для самого маленького простого числа). Но все равно, вот это $r\simeq{10^{10^{52}}}$ очень впечатляет :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Что Вас потрясло в математике?
Сообщение01.02.2016, 12:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
svv в сообщении #1095545 писал(а):
Спасибо. Как бы чётко отделить две ситуации?:
1. Объектов с таким-то свойством великое множество, привести несколько примеров — не проблема, просто нельзя конструктивно задать всё множество.
2. Доказано, что объект с таким-то свойством существует, возможно, не один, построить его явно невозможно.
Встречаются ситуации, когда объекты с некоторым свойством составляют, в некотором смысле, подавляющее большинство, но предъявление какого-нибудь примера составляет существенную проблему.
Приведу пример из топологии. Речь будет идти исключительно о метризуемых компактах, поэтому метризуемость далее упоминаться не будет.
Гильбертовым кирпичом называется подмножество пространства $l_2$ последовательностей $\bar x=(x_1,x_2,\ldots,x_n,\ldots)$, удовлетворяющих условию $\lvert x_k\rvert\leqslant\frac 1k$ для всех натуральных $k$. Его также можно представлять себе как произведение счётного множества отрезков. Будем обозначать его буквой $H$.
Известно, что каждый компакт гомеоморфен какому-нибудь замкнутому подмножеству гильбертова кирпича (не единственному). Наоборот, каждое замкнутое подмножество гильбертова кирпича является компактом.
Множество непустых замкнутых подмножеств гильбертова кирпича называется экспонентой гильбертова кирпича, снабжается метрикой Хаусдорфа и обозначается далее $\exp H$. Экспонента является компактом.
Для конечномерных компактов верно следующее утверждение: если компакт имеет (конечную) размерность $n>0$, то он содержит подкомпакты всех размерностей, меньших $n$.
Интересно, что для бесконечномерных компактов это утверждение неверно: существует бесконечномерный компакт, в котором каждое непустое замкнутое подмножество либо бесконечномерно, либо нульмерно. Такие компакты называются наследственно бесконечномерными.

Неожиданностью является то, что совокупность замкнутых подмножеств гильбертова кирпича, не являющихся наследственно бесконечномерными, образует в $\exp H$ множество первой категории (объединение счётного семейства нигде не плотных подмножеств), в то время как наследственно бесконечномерные образуют множество второй категории. Построение примера наследственно бесконечномерного компакта было сложной задачей: её решение потребовало 40 лет (с 1925 по 1965).

 Профиль  
                  
 
 Re: Что Вас потрясло в математике?
Сообщение01.02.2016, 13:34 
Заслуженный участник


23/07/08
10609
Crna Gora
Спасибо, не думал, что такая ситуация возможна.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что Вас потрясло в математике?
Сообщение01.02.2016, 17:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8053
Someone в сообщении #1095783 писал(а):
Встречаются ситуации, когда объекты с некоторым свойством составляют, в некотором смысле, подавляющее большинство, но предъявление какого-нибудь примера составляет существенную проблему.
Например, невычислимые действительные числа. Вычислимых всего счетное множество, в то время как весь остальной континуум - невычислимые. Но предъявить невычислимое число... Нет, это, конечно, можно, константа Хайтина тому пример. Но уж очень для этого нужно изогнуться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что Вас потрясло в математике?
Сообщение01.02.2016, 19:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва

(Anton_Peplov)

Да, я думал об этом примере, но топология мне ближе.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что Вас потрясло в математике?
Сообщение01.02.2016, 22:26 


23/02/12
3097
Aritaborian в сообщении #1095619 писал(а):
Так что ж вы его не указываете? Или можно лишь привести доказательство его существования?

По теореме Вильсона $p$ простое, если $(p-1)!+1$ делится на $p$. Поэтому множество простых чисел является проекцией множества решений системы уравнений: $p=f+1,q=f!,ap-bq=1$, которое диофантово в силу диофантовости $q=f!$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что Вас потрясло в математике?
Сообщение01.02.2016, 22:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
А диофантовость $q=f!$ так уж очевидна, да?

 Профиль  
                  
 
 Re: Что Вас потрясло в математике?
Сообщение02.02.2016, 12:07 


23/02/12
3097
g______d в сообщении #1095978 писал(а):
А диофантовость $q=f!$ так уж очевидна, да?

Пусть переменная $p$ принимает целые значения в области $p>1$. Тогда переменные $f,q$ принимают натуральные значения и функция $q-f!$ - целочисленная.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что Вас потрясло в математике?
Сообщение02.02.2016, 17:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
Определение диофантовости напомните, пожалуйста.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что Вас потрясло в математике?
Сообщение02.02.2016, 17:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8053
g______d в сообщении #1096165 писал(а):
Определение диофантовости напомните, пожалуйста.
Я тут спрашивал, но ответа не дождался.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что Вас потрясло в математике?
Сообщение02.02.2016, 18:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
Anton_Peplov в сообщении #1096174 писал(а):
но ответа не дождался.


Там же ответили... А если по поводу книжки, то, я думаю, в любой книжке с формулировкой теоремы Матиясевича будет и определение класса множеств, про которые идёт речь. Хотя и так понятно, что речь об алгебраических диофантовых множествах.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что Вас потрясло в математике?
Сообщение02.02.2016, 23:36 


23/02/12
3097
g______d в сообщении #1096186 писал(а):
речь об алгебраических диофантовых множествах.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 78 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group