Привести пример предкомпактного множества

[Frank Costello]

Помогите пожалуйста решить задачу!
Привести пример множества в $l_1 \cap l_2$, которое предкомпактно в $l_1$, но не предкомпактно в $l_2$.
Множество называется компактным, если из любого покрытия его открытыми множествами можно выделить конечное подпокрытие. Еще есть эквивалентное определение - множество называется компактным, если оно ограничено и замкнуто.
Множество называется предкомпактным, если его пополнение - компакт.
Пересечение $l_1 \cap l_2$ - такие последовательности, удовлетворяющие $\sum\limits_{k=1}^{\infty}\lvert x_k \rvert < \infty$ т.е. такие что ряд из их модулей сходится, и $\sum\limits_{k=1}^{\infty}{\lvert x_k \rvert}^2 < \infty$ и ряд из квадратов их модулей тоже сходится.
Множество предкомпактно в $l_1$, если все элементы множества ограничены : $\sum\limits_{k=1}^{\infty}\lvert x_k \rvert < C$ и "хвосты" равностепенно непрерывны, то есть

$$\forall \varepsilon >0 \exists N : \forall x \sum\limits_{k=N}^{\infty}\lvert x_k \rvert < \varepsilon$$

(в случае $l_1$) и

$$\forall \varepsilon >0 \exists N :\forall x \sum\limits_{k=N}^{\infty}{\lvert x_k \rvert}^2 < \varepsilon$$

(в случае $l_2$). То есть надо придумать так, чтобы было равностепенно непрерывно в $l_1$, но не равностепенно непрерывно в $l_2$. Пытался придумать, ничего не вышло.

[ewert]

Frank Costello в сообщении #1088303 писал(а):

Привести пример множества в $l_1 \cap l_2$, которое предкомпактно в $l_1$, но не предкомпактно в $l_2$.

а кто в кого вложен?...

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[Frank Costello]

ewert в сообщении #1088315 писал(а):

Frank Costello в сообщении #1088303 писал(а):

Привести пример множества в $l_1 \cap l_2$, которое предкомпактно в $l_1$, но не предкомпактно в $l_2$.

а кто в кого вложен?...

А что шире? Кажется $l_1$ шире, если не ошибаюсь.

[ewert]

Frank Costello в сообщении #1088303 писал(а):

Пытался придумать, ничего не вышло.

И не выйдет. Кто в кого вложен?...

Frank Costello в сообщении #1088303 писал(а):

Еще есть эквивалентное определение - множество называется компактным, если оно ограничено и замкнуто.

Увы, нет такого определения (вообще говоря).

Frank Costello в сообщении #1088303 писал(а):

Множество предкомпактно в $l_1$, если все элементы множества ограничены : $\sum\limits_{k=1}^{\infty}\lvert x_k \rvert < C$ и "хвосты" равностепенно непрерывны, то есть

И вновь -- горе от ума, не к тому месту приложенного.

[Frank Costello]

ewert в сообщении #1088371 писал(а):

Frank Costello в сообщении #1088303 писал(а):

Пытался придумать, ничего не вышло.

И не выйдет. Кто в кого вложен?...

Думаю, что $l_2$ вложен в $l_1$.

[alcoholist]

Frank Costello
послушайте ewert'a
а лучше воспользуйтесь секвенциальной компактностью

[Frank Costello]

Если честно, я не понял, что мне хотят сообщить.

[ewert]

Вам хотели сообщить, что Вы заблуждались насчёт вложений. И, соотв., насчёт формулировки исходной задачки.

[Frank Costello]

Рассмотрим, например гармонический ряд $\frac 1 n$. Сам он расходится, а его квадрат сходится. Значит у $l_2$ есть часть, которая не принадлежит $l_1$. Ну если Вы так настаиваете на вложенность одного пространства в другое, то пожалуй, ранее я ошибался, и $l_1$ вложен в $l_2$.

[ewert]

Frank Costello в сообщении #1088623 писал(а):

Рассмотрим, например гармонический ряд $\frac 1 n$. Сам он расходится, а его квадрат сходится. Значит у $l_2$ есть часть, которая не принадлежит $l_1$. Ну если Вы так настаиваете на вложенность одного пространства в другое, то пожалуй, ранее я ошибался, и $l_1$ вложен в $l_2$.

Ну это уже кое-что. Теперь пересмотрите исходную формулировку задачки. Насколько она осмысленна -- и можно ли перепридать ей какой смысл?...

[Frank Costello]

ewert в сообщении #1088625 писал(а):

Frank Costello в сообщении #1088623 писал(а):

Рассмотрим, например гармонический ряд $\frac 1 n$. Сам он расходится, а его квадрат сходится. Значит у $l_2$ есть часть, которая не принадлежит $l_1$. Ну если Вы так настаиваете на вложенность одного пространства в другое, то пожалуй, ранее я ошибался, и $l_1$ вложен в $l_2$.

Ну это уже кое-что. Теперь пересмотрите исходную формулировку задачки. Насколько она осмысленна -- и можно ли перепридать ей какой смысл?...

Если $l_1$ вложен в $l_2$, то их пересечение есть всего лишь $l_1$. Теперь надо придумать такое множество последовательностей, замыкание которых было бы компактно в $l_1$, но не компактно $l_2$? Такое вообще возможно?

[Frank Costello]

Подскажите еще что-нибудь, никак не могу придумать пример. ((((

[Dan B-Yallay]

Frank Costello в сообщении #1088733 писал(а):

Теперь надо придумать такое множество последовательностей, замыкание которых было бы компактно в $l_1$, но не компактно $l_2$? Такое вообще возможно?

Frank Costello в сообщении #1120290 писал(а):

Подскажите еще что-нибудь, никак не могу придумать пример. ((((

Обратите внимание на это сообщение:

ewert в сообщении #1088625 писал(а):

Ну это уже кое-что. Теперь пересмотрите исходную формулировку задачки. Насколько она осмысленна -- и можно ли перепридать ей какой смысл?...