Что есть электрический потенциал?

[arseniiv]

peripatetik в сообщении #1085453 писал(а):

Не надо путать математический прием с физическим смыслом. В классической механике скорость это производная, хотя что происходит на бесконечно малых расстояниях никому неизвестно.

Производная — и? Производная — это предел. Для определения предела бесконечно малые не нужны.

[amon]

Munin в сообщении #1085450 писал(а):

то есть вместо красивой теоремы векторного анализа получается банальность.

Такая калибровка помогает, когда основное взаимодействие - электростатика "изображений". (Заряд медленно летит над металлической плоскостью, и тянет за собой наведенный заряд). В этом случае главный вклад - взаимодействие с "изображением", отстающим от заряда, и таким способом его тормозящим. В такой задаче калибровка $\mathbf{A}=0$ хуже, хотя взаимодействие в первом приближении чисто электростатическое.

peripatetik в сообщении #1085444 писал(а):

Нет, бесконечно малого, но работу надо не забыть поделить на величину пробного заряда.

Какой бы не был заряд, это не поможет. Надо заморозить все заряды, кроме одного. Рассмотрите заряд и металлическую плоскость. Отношение работы по перемещению его на бесконечность к заряду будет $1/(4z)$, а потенциал к заряду - $1/(2z)$

[Munin]

peripatetik в сообщении #1085453 писал(а):

Не надо путать математический прием с физическим смыслом. В классической механике скорость это производная, хотя что происходит на бесконечно малых расстояниях никому неизвестно.

Да, именно не надо путать.

В математическом аппарате классической механики скорость - это производная. А вот насколько этот математический аппарат соответствует реальности - вопрос отдельный. Никаких бесконечно малых расстояний в эксперименте нет. А есть просто малые расстояния. И вот оказывается, что:
- на расстояниях, которые можно разглядеть уже в микроскоп, понятие скорости подчас теряет смысл (см. броуновское движение);
- на расстояниях порядка атомных - включается квантовая механика;
- реально минимальные достижимые расстояния в современном физическом эксперименте - порядка $10^{-20}$ метра.
И никаких бесконечно малых, знаете ли.

-- 24.12.2015 17:45:49 --

arseniiv в сообщении #1085454 писал(а):

Для определения предела бесконечно малые не нужны.

amon в сообщении #1085456 писал(а):

Какой бы не был заряд, это не поможет. Надо заморозить все заряды, кроме одного. Рассмотрите заряд и металлическую плоскость. Отношение работы по перемещению его на бесконечность к заряду будет $1/(4z)$, а потенциал к заряду - $1/(2z)$

Боюсь, вы рассматриваете задачу, в которой нет никаких зарядов, кроме пробного. А зарядите плоскость. Или поместите перед ней точечный заряд, $\gg$ пробного.

[мат-ламер]

мат-ламер в сообщении #1085322 писал(а):

1) Потенциал электрического поля в данной точке я всегда представлял, как работу, которую необходимо затратить на перемещение единичного положительного заряда из данной точки в точку, потенциал которой принят за нулевой (часто, но не всегда, это условно бесконечная точка). (См., например, Детлаф и Яворский, т.2., пар.3.2, стр. 35 (посередине)).

Выдам секрет. Потенциал я всегда представлял как раз наоборот, но перед тем как писать, посмотрел в учебник Детлафа и Яворского. Но посмотрел невнимательно. На самом деле они писали о работе совершаемой электрическим полем, а не работой, совершаемой кем-то над полем. А в рассуждении по поводу задачи из Сивухина как раз речь шла о работе, совершаемой кем-то над полем.

-- Чт дек 24, 2015 19:38:10 --

А по поводу металического шара незаряженного? Есть у него потенциал или нет? Поля у шара нет. Потенциала поля следовательно нет. Но может различаются понятия "потенциал шара" и "потенциал поля шара"?

-- Чт дек 24, 2015 19:52:39 --

Но, прочитав внимательней сообщения, понял (если правильно понял), что у незаряженного шара потенциала нет.

[Утундрий]

мат-ламер в сообщении #1085504 писал(а):

Поля у шара нет. Потенциала поля следовательно нет.

$\varphi = - {{\pi ^2 } \mathord{\left/ {\vphantom {{\pi ^2 } {12}}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} {12}}$

[peripatetik]

amon в сообщении #1085456 писал(а):

peripatetik в сообщении #1085444 писал(а):

Нет, бесконечно малого, но работу надо не забыть поделить на величину пробного заряда.

Какой бы не был заряд, это не поможет. Надо заморозить все заряды, кроме одного. Рассмотрите заряд и металлическую плоскость. Отношение работы по перемещению его на бесконечность к заряду будет $1/(4z)$, а потенциал к заряду - $1/(2z)$

Я имел ввиду, что для нахождения потенциала в системе зарядов надо протащить из бесконечности пробный заряд, который много меньше всех остальных зарядов.

[мат-ламер]

Утундрий в сообщении #1085520 писал(а):

мат-ламер в сообщении #1085504 писал(а):

Поля у шара нет. Потенциала поля следовательно нет.

$\varphi = - {{\pi ^2 } \mathord{\left/ {\vphantom {{\pi ^2 } {12}}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} {12}}$

Кстати, да. Неточно выразился.

[peripatetik]

Munin в сообщении #1085490 писал(а):

peripatetik в сообщении #1085453 писал(а):

Не надо путать математический прием с физическим смыслом. В классической механике скорость это производная, хотя что происходит на бесконечно малых расстояниях никому неизвестно.

Да, именно не надо путать.

В математическом аппарате классической механики скорость - это производная. А вот насколько этот математический аппарат соответствует реальности - вопрос отдельный.

В физике нет точных формул, любая верна в определенном приближении. Когда мы рассматриваем классическую механику, то при помощи бесконечно малых мы получаем "точный" ответ, но при этом помним, что он верен с точностью до квантовых эффектов. В этом смысле и бесконечно-малый пробный заряд это такая же идеализация, он позволяет найти потенциал, но, опять-таки с некоторой точностью заданной контекстом задачи.

-- 24.12.2015, 20:33 --

amon в сообщении #1085456 писал(а):

peripatetik в сообщении #1085444 писал(а):

Нет, бесконечно малого, но работу надо не забыть поделить на величину пробного заряда.

Какой бы не был заряд, это не поможет. Надо заморозить все заряды, кроме одного. Рассмотрите заряд и металлическую плоскость. Отношение работы по перемещению его на бесконечность к заряду будет $1/(4z)$, а потенциал к заряду - $1/(2z)$

PS. Вы забыли помножить на заряд ($A~\sim\delta q^2$), поэтому для бесконечно малого заряда и незаряженной плоскости потенциал везде будет ноль.

[amon]

peripatetik в сообщении #1085527 писал(а):

Вы забыли помножить на заряд ($A~\sim\delta q^2$), поэтому для бесконечно малого заряда и незаряженной плоскости потенциал везде будет ноль.

Поскольку раздел учебный, позволю себе дать совет. Всегда рассматривайте электростатический потенциал как такую хрень, градиент от которой (со знаком минус) есть электрическое поле. Во всех других определениях - через работу, или через интеграл от плотности, деленной на расстояние, или еще каких, есть грабли, и усердно применяя такое определение вы на эти грабли рано или поздно наступите.

[мат-ламер]

amon в сообщении #1085544 писал(а):

Всегда рассматривайте электростатический потенциал как такую хрень, градиент от которой (со знаком минус) есть электрическое поле.

Спасибо. Именно так я всегда это дело и представлял. Это и наиболее просто и наиболее понятно.

[peripatetik]

amon в сообщении #1085544 писал(а):

peripatetik в сообщении #1085527 писал(а):

Вы забыли помножить на заряд ($A~\sim\delta q^2$), поэтому для бесконечно малого заряда и незаряженной плоскости потенциал везде будет ноль.

Поскольку раздел учебный, позволю себе дать совет. Всегда рассматривайте электростатический потенциал как такую хрень, градиент от которой (со знаком минус) есть электрическое поле. Во всех других определениях - через работу, или через интеграл от плотности, деленной на расстояние, или еще каких, есть грабли, и усердно применяя такое определение вы на эти грабли рано или поздно наступите.

Спасибо за совет, я подумаю. Правда, не удержусь и скажу, что Ваша трактовка в точности совпадает с понятием работы электрического поля над пробным зарядом

[Munin]

мат-ламер в сообщении #1085504 писал(а):

А по поводу металического шара незаряженного? Есть у него потенциал или нет? Поля у шара нет.

Поле у незаряженного шара есть, оно нулевое. Говорить "поля нет" - грубый жаргонизм. Если привыкнуть так говорить, то очень легко запутаться в нюансах довольно простых задач.

peripatetik в сообщении #1085527 писал(а):

В физике нет точных формул, любая верна в определенном приближении.

Лучше говорить не об отдельных формулах. Лучше говорить о математической модели в целом. Она верна в каком-то приближении, как целое. Но внутри модели - может быть много взаимосвязанных формул, между которыми переходы точные.

peripatetik в сообщении #1085527 писал(а):

В этом смысле и бесконечно-малый пробный заряд это такая же идеализация, он позволяет найти потенциал, но, опять-таки с некоторой точностью заданной контекстом задачи.

Всё верно, кроме того, что здесь просто слово "бесконечно" лучше не произносить. Здесь лучше подходит "пренебрежимо малый". Это слово сразу и напоминает об идеализации и о контекстно-зависимой точности.

amon в сообщении #1085544 писал(а):

Поскольку раздел учебный, позволю себе дать совет. Всегда рассматривайте электростатический потенциал как такую хрень, градиент от которой (со знаком минус) есть электрическое поле. Во всех других определениях - через работу, или через интеграл от плотности, деленной на расстояние, или еще каких, есть грабли, и усердно применяя такое определение вы на эти грабли рано или поздно наступите.

+1. +1.

-- 24.12.2015 22:07:56 --

peripatetik в сообщении #1085566 писал(а):

Правда, не удержусь и скажу, что Ваша трактовка в точности совпадает с понятием работы электрического поля над пробным зарядом :-)

Вот о том вас и предупредили, что здесь есть грабли.

[peripatetik]

Munin в сообщении #1085568 писал(а):

peripatetik в сообщении #1085527 писал(а):

В этом смысле и бесконечно-малый пробный заряд это такая же идеализация, он позволяет найти потенциал, но, опять-таки с некоторой точностью заданной контекстом задачи.

Всё верно, кроме того, что здесь просто слово "бесконечно" лучше не произносить. Здесь лучше подходит "пренебрежимо малый". Это слово сразу и напоминает об идеализации и о контекстно-зависимой точности.

Это несколько не согласуется с предыдущим абзацем, в котором говорилось о точных соотношениях в рамках выбранной матмодели (с чем я согласен). Чтобы они оставались точными, заряд должен быть бесконечно малый, иначе в рамках матмодели появится неточность.

Цитата:

peripatetik в сообщении #1085566 писал(а):

Правда, не удержусь и скажу, что Ваша трактовка в точности совпадает с понятием работы электрического поля над пробным зарядом

Вот о том вас и предупредили, что здесь есть грабли.

Тут возникает философский вопрос что лучше - формальные действия, приводящие к правильным результатам или качественное понимание, пусть с риском ошибиться. Второе, на мой взгляд, интереснее.

[Munin]

peripatetik в сообщении #1085596 писал(а):

Это несколько не согласуется с предыдущим абзацем, в котором говорилось о точных соотношениях в рамках выбранной матмодели (с чем я согласен). Чтобы они оставались точными, заряд должен быть бесконечно малый, иначе в рамках матмодели появится неточность.

Я вижу слово "пренебрежимо малый" как физическое, не укладывающееся в одну только матмодель, а проникающее насквозь и через матмодель, и через реальное явление (например, эксперимент).

То есть, фактически берётся некоторый малый заряд. Но не бесконечно малый, а вполне конкретный. И мы говорим, что пренебрегаем его влиянием на другую систему.

Потом переходим к матмодели. В ней мы берём этот малый заряд как бесконечно малую величину $\varepsilon.$ Или иначе говоря: берём заряд как конечную ненулевую величину, но пренебрегаем всем его влиянием на другую систему. Это математически одно и то же, поскольку математическая модель непрерывна, и $\lim\limits_{\varepsilon\to 0}\mathrm{Model}(\varepsilon)=\mathrm{Model}(0).$

Потом в матмодели мы рассчитываем работу, и возвращаемся в физическую реальность. Теперь мы должны сравнить рассчитанную работу с реальной, измеренной. И это делаем с какой-то погрешностью. Если погрешность нас устраивает - то всё окей. Если погрешность нас не устраивает - то надо было взять заряд поменьше. И наконец, если это невозможно - тогда проблема.

peripatetik в сообщении #1085596 писал(а):

Тут возникает философский вопрос что лучше - формальные действия, приводящие к правильным результатам или качественное понимание, пусть с риском ошибиться. Второе, на мой взгляд, интереснее.

На самом деле, это не взаимоисключающие альтернативы, а две стороны единого целого. Не торопитесь отбрасывать формальную сторону - это вам не поможет в понимании, а помешает. Обычно же при обучении сначала приходится осваивать формальную сторону - потому что это проще - а с некоторым опытом её применения приходит и качественное понимание. А "с нуля" его взять неоткуда.

[arseniiv]

(Оффтоп)

arseniiv в сообщении #1085454 писал(а):

Для определения предела бесконечно малые не нужны.

Munin в сообщении #1085490 писал(а):

Ну… (возьмём $\mathbb R\to\mathbb R$) $f'(a) = \lim_{x\to a}\frac{f(x) - f(a)}{x-a}$. Да, конечно, при $x\to a$ и числитель, и знаменатель — бесконечно малые (функции, а в контексте имелись какие-то неизвестно какие), но это уже частности. Нам ведь другие бесконечно малые здесь всё равно не подойдут, только эти.

Может, и перелёт…