2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Количество факториалов в арифметической прогрессии
Сообщение16.12.2015, 18:15 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
Будем рассматривать бесконечные арифметические прогрессии из натуральных чисел.
Каждому под силу найти прогрессию, в которой ровно один факториал. Например, 1, 3, 5, ...
Не менее легко найти прогрессию, в которой ровно два факториала: 2, 6, 10, ...
Немногие могут сходу указать прогрессию, в которой ровно три факториала: 2, 13, 24, ...
Прогрессию, в которой ровно 4 факториала, приходится искать, тратя на это время: 1, 18, 35, ...


А как быть дальше?
Хотелось бы найти прогрессию, в которой факториалов ровно 5, ровно 6 и т. д.
Заранее спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Количество факториалов в арифметической прогрессии
Сообщение16.12.2015, 18:48 
Заслуженный участник


04/03/09
906
Ровно 5: $1+23n$
Ровно 6: $19+109n$
Ровно 7: $70+71n$
Ровно 8: $56+673n$
Ровно 9: $175+599n$
Ровно 10: $1+3011n$

 Профиль  
                  
 
 Re: Количество факториалов в арифметической прогрессии
Сообщение16.12.2015, 18:56 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
12d3
То есть, общего решения нет?

 Профиль  
                  
 
 Re: Количество факториалов в арифметической прогрессии
Сообщение16.12.2015, 20:56 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Т. е. надо, чтобы для возрастающей неотрицательной $(a_1\equiv a,\ldots,a_n)$ число $g\equiv\mathrm{GCD}_{i=1}^n (a_i!-a!)$ делило $c\equiv m!-a!$ только в случае $m = a_i$. Понятно, что придётся рассмотреть множители обоих видов чисел $g, c$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Количество факториалов в арифметической прогрессии
Сообщение16.12.2015, 21:08 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
arseniiv
А без них никак?
Может, какой обходной путь имеется?

 Профиль  
                  
 
 Re: Количество факториалов в арифметической прогрессии
Сообщение16.12.2015, 22:05 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Вообще-то, я просто переформулировал условие (казалось бы, прозрачнее). Честно говоря, не имею понятия, можно ли как-то без или нельзя.

-- Чт дек 17, 2015 00:09:08 --

Немного проще может оказаться пытаться доказать, что существует последовательность, содержащая конечное не меньшее любого $n$ число факториалов в ней. Тогда можно проверять на неделимость только такие $c$, для которых $m > a_n$, а «внутренние» не проверять. Не знаю, насколько это интереснее, и это, конечно, более слабый результат.

 Профиль  
                  
 
 Re: Количество факториалов в арифметической прогрессии
Сообщение16.12.2015, 23:33 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
arseniiv в сообщении #1082784 писал(а):
Не знаю, насколько это интереснее, ...

Интерес, разумеется, понятие субъективное. Лично мне помимо результата интересно, занимался ли кто-либо этой проблемой ранее.

-- 16.12.2015, 23:34 --

arseniiv в сообщении #1082784 писал(а):
... , и это, конечно, более слабый результат.

Можно рассматривать более слабый результат как промежуточную ступень на пути к более сильному. И это не только в математике, кстати.

 Профиль  
                  
 
 Re: Количество факториалов в арифметической прогрессии
Сообщение16.12.2015, 23:55 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Потому и привёл. :-)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group