2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.
 
 Re: Теорема Геделя и физика
Сообщение16.12.2015, 23:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
7392
Скажите, кто в теме, а эти занятные высказывания изолированы от всех других-прочих?

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Геделя и физика
Сообщение07.11.2016, 18:09 


15/06/15
51
Москва
Кому-то опять в голову пришло связывать теоремы Гёделя с физикой. Я бы посоветовал не открывать эту статью, так как это заведомо похоже на около научные бредни.

Никаких великих откровений и далеко идущих следствий теоремы Гёделя не дают. Фактически результат сводится к тому, что достаточно богатую теорию (включающую описание арифметики) не получится задать с помощью логики предикатов первого порядка конечным числом аксиом (или схем аксиом), так, чтобы на выходе получилась полная и непротиворечивая теория.

Если коротко, то не получится в математике сочетать логику первого порядка, конечную аксиоматизируемость, достаточно сложную арифметику (в форме Пеано), и полноту с непротиворечивостью. Это результат по формальной теории доказательств. К физике, биологии, химии, или ещё какой другой естественно научной сфере он не имеет никакого отношения. Делать из этого выводы о невозможности обосновать непротиворечивость математики будет только полнейший дилетант, а затем строить на его основе выводы о непознаваемости физической реальности --- дилетант удвоенный.

Если есть желание получить конечную аксиоматизируемость и непротиворечивость, то тогда можно использовать арифметику Пресбургера. Для неё доказана непротиворечивость, полнота и алгоритмическая разрешимость. Понятное дело что такая теория при этом будет беднее обычной арифметики.

Также можно просто взять за аксиомы все верные утверждения о натуральных (или действительных) числах и получите вполне работающую теорию. При этом она уже не будет конечно аксиоматизируемой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Геделя и физика
Сообщение07.11.2016, 22:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
13841
Новомосковск
nazarov_m в сообщении #1166871 писал(а):
конечным числом аксиом (или схем аксиом)
Насколько я помню, достаточно перечислимости множества аксиом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Геделя и физика
Сообщение11.11.2016, 23:19 


15/06/15
51
Москва
Цитата:
Насколько я помню, достаточно перечислимости множества аксиом.

Зависит от терминологии. Понимаем ли мы конечную аксиоматизируемость в строгом смысле или нет.
Если строго конечно аксиоматизируемость понимать, то тогда даже схемы аксиом запрещаются. В этом случае аксиоматика Пеано и теории множества Цермелло-Френкеля не будет считаться финитарной.
Собственно схемы аксиом --- это не более чем рецепт для построения перечислимого множества аксиом. Схема аксиомы индукции в арифметики Пеано фактически порождает перечислимое множество "аксиом индукции". Допущение схем аксиом для формализации арифметик было принято Гильбертом как первое послабление для решения его второй проблемы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Геделя и физика
Сообщение12.11.2016, 00:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
3514
nazarov_m в сообщении #1168199 писал(а):
Собственно схемы аксиом --- это не более чем рецепт для построения перечислимого множества аксиом.
Разрешимого. Это более узкое условие, чем перечислимость.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Геделя и физика
Сообщение14.11.2016, 11:43 


15/06/15
51
Москва
Anton_Peplov в сообщении #1168215 писал(а):
nazarov_m в сообщении #1168199 писал(а):
Собственно схемы аксиом --- это не более чем рецепт для построения перечислимого множества аксиом.
Разрешимого. Это более узкое условие, чем перечислимость.

Да, согласен.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Геделя и физика
Сообщение14.11.2016, 11:57 
Аватара пользователя


16/07/14
620
Москва
Если я правильно помню, нужно чтобы $\box$ задавался $\Sigma_1$ формулой. Для этого достаточно перечислимости (запишем протоколы генерации нужных аксиом в протокол проверки доказательства).

В любом случае, есть $NBG$, так что конечная аксиоматизируемость неважна.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Геделя и физика
Сообщение16.11.2016, 18:27 
Аватара пользователя


09/02/14
1022
nazarov_m
Мне кажется, вы слишком платонист и именно поэтому столь сильно упрощаете ситуацию.
nazarov_m в сообщении #1166871 писал(а):
Также можно просто взять за аксиомы все верные утверждения о натуральных (или действительных) числах и получите вполне работающую теорию. При этом она уже не будет конечно аксиоматизируемой.

Теорема Гёделя по сути и говорит о том, что истинность - понятие очень непонятное и обращаться с ним нужно сверхосторожно. Вы вот мыслите про любое утверждение будто оно истинно или нет само по себе, безотносительно нас, а теорема Гёделя и показывает, что истинность - достаточно дешёвое понятие, берём недоказуемое утверждение и прибавляем его к аксиомам - получаем один унивёрсум в котором это утверждение истинно, прибавляем отрицание - получаем другой универсум, в котором оно ложно.
nazarov_m в сообщении #1166871 писал(а):
Это результат по формальной теории доказательств. К физике, биологии, химии, или ещё какой другой естественно научной сфере он не имеет никакого отношения.

Никто выводов и не делает, все только строят метафоры. Метафоры - вещь очень хорошая.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Геделя и физика
Сообщение16.11.2016, 18:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
3514
kp9r4d в сообщении #1169500 писал(а):
Никто выводов и не делает, все только строят метафоры.
Боюсь, Вы слишком высокого мнения о людях. От болтунов, кричащих "Гёдель доказал, что наш мир не познаваем наукой", аж воздух звенит. Некоторые из них имеют дипломы и степени по философии, но, ЧСХ, точную формулировку ни одной из теорем Гёделя они привести не в состоянии. И даже о том, что теорем несколько, не в курсе.
kp9r4d в сообщении #1169500 писал(а):
Метафоры - вещь очень хорошая.
Это утверждение недоказуемо. Половник - тоже вещь очень хорошая, чтобы наливать им суп. Но очень плохая, чтобы ковырять в носу. Я к тому, что всякой вещи свое время и место, и всякой метафоре в том числе. Так вот именно упомянутую Вами метафору (даже в том случае, когда это именно метафора) слишком часто суют в такие места, что и общий наркоз не помогает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Геделя и физика
Сообщение16.11.2016, 20:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
18183
Уфа
kp9r4d в сообщении #1169500 писал(а):
берём недоказуемое утверждение и прибавляем его к аксиомам - получаем один унивёрсум в котором это утверждение истинно, прибавляем отрицание - получаем другой универсум, в котором оно ложно
Эм. Тут что-то явно пропущено посередине.

-- Ср ноя 16, 2016 22:29:56 --

kp9r4d в сообщении #1169500 писал(а):
Вы вот мыслите про любое утверждение будто оно истинно или нет само по себе, безотносительно нас
А чтобы опровергнуть это, не нужна ни одна из теорем Гёделя, потому что истинность, разумеется, зависит от интерпретации. :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Геделя и физика
Сообщение16.11.2016, 22:50 
Аватара пользователя


09/02/14
1022
arseniiv в сообщении #1169532 писал(а):
А чтобы опровергнуть это, не нужна ни одна из теорем Гёделя, потому что истинность, разумеется, зависит от интерпретации. :-)

А вам без теоремы Гёделя очевидно, что у PA или у любой другой foundation-теории больше одной модели?
arseniiv в сообщении #1169532 писал(а):
Эм. Тут что-то явно пропущено посередине.

Что же?

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Геделя и физика
Сообщение16.11.2016, 22:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
5345
kp9r4d в сообщении #1169563 писал(а):
А вам без теоремы Гёделя очевидно, что у PA или у любой другой foundation-теории больше одной модели?
Да, для доказательства этого обычно используют не Геделя, а компактность.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Геделя и физика
Сообщение16.11.2016, 23:21 
Аватара пользователя


09/02/14
1022
Ну можно и так, или Левенгейма-Скулема (что конечно же одно и то же). В любом случае это делается не на уровне определений, а нужны какие-то трюки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Геделя и физика
Сообщение16.11.2016, 23:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
18183
Уфа
kp9r4d в сообщении #1169563 писал(а):
Что же?
Написал сначала много букв, но в предположении, что что-то просто упустил, сделаю по-другому. Вот
kp9r4d в сообщении #1169500 писал(а):
берём недоказуемое утверждение и прибавляем его к аксиомам - получаем один унивёрсум в котором это утверждение истинно, прибавляем отрицание - получаем другой универсум, в котором оно ложно.
это мне почему-то хочется обобщить в $\Gamma,\varphi\vDash\varphi$. Это будет верно, даже когда никаких моделей у $\Gamma,\varphi$ нет. И притом это очевидно, потому что $\varphi\vDash\varphi$, а добавление в множество формул не увеличивает число его моделей. Так что я, видимо, что-то из контекста обсуждения упускаю. :?

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Геделя и физика
Сообщение16.11.2016, 23:53 
Аватара пользователя


09/02/14
1022
arseniiv в сообщении #1169571 писал(а):
это мне почему-то хочется обобщить в $\Gamma,\varphi\vDash\varphi$. Это будет верно, даже когда никаких моделей у $\Gamma,\varphi$ нет. И притом это очевидно, потому что $\varphi\vDash\varphi$, а добавление в множество формул не увеличивает число его моделей. Так что я, видимо, что-то из контекста обсуждения упускаю. :?

Ну, под туманным словом "унивёрсум" я конечно полагал только непротиворечивые теории, противоречивые совсем неинтересные. То есть удивляет сама возможность "расщепить" foundation-теорию на две более тонкие противоречащие друг-другу одинаково ценные foundation-подтеории - результат очень в духе постмодерна ^^ Если бы PA была полна, то для любого $\varphi$: $PA, \varphi$ и $PA, \neg \varphi$ давали бы тривиальное расширение и противоречивую теорию - это, конечно, ситуация совсем неинтересная и ничего не показывающая. Или я неверно ваше замечание понял?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 47 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group