2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Последовательность суммы квадратов целых чисел
Сообщение13.12.2015, 14:03 
Аватара пользователя


26/05/12
1534
приходит весна?
Пусть $Q_k=n_k^2+m_k^2$ — неубывающая последовательность, где $n_k<m_k$ и $n_k,m_k\in \mathbb{N}$. Я бы хотел знать формулу энного члена этой последовательности. Понимаю, что слишком многого хочу, поэтому мой вопрос звучит таким образом: может быть эта последовательность была изучена кем-то ранее и про это можно где-нибудь прочитать? Если да, то подскажите, пожалуйста.

Путём выписывания первых членов последовательности:

$\[\begin{matrix}
   k & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9  \\
   {{n}_{k}} & 1 & 1 & 2 & 1 & 2 & 3 & 1 & 2 & 3  \\
   {{m}_{k}} & 2 & 3 & 3 & 4 & 4 & 4 & 5 & 5 & 5  \\
   {{Q}_{k}} & 5 & 10 & 13 & 17 & 20 & 25 & 26 & 29 & 34  \\
\end{matrix}\]$ - $\[\begin{matrix}
   10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 & 17 & 18 & 19  \\
   1 & 2 & 4 & 3 & 1 & 4 & 2 & 3 & 5 & 4  \\
   6 & 6 & 5 & 6 & 7 & 6 & 7 & 7 & 6 & 7  \\
   37 & 40 & 41 & 45 & 50 & 52 & 53 & 58 & 61 & 65  \\
\end{matrix}\]$ - $\[\begin{matrix}
   20 & 21 & 22 & 23 & 24 & 25 & 26 & 27 & 28 & 29  \\
   1 & 2 & 3 & 5 & 4 & 1 & 6 & 2 & 5 & 3  \\
   8 & 8 & 8 & 7 & 8 & 9 & 7 & 9 & 8 & 9  \\
   65 & 68 & 73 & 74 & 80 & 82 & 85 & 85 & 89 & 90  \\
\end{matrix}\]$

можно заметить, что они в среднем пропорциональны своему номеру. Это в принципе логично. Значение k-го члена последовательности — это квадрат радиуса некоторой окружности, а собственно номер k этого члена — это количество точек с целыми координатами на плоскости, попадающие в сектор этой окружности с углом раствора $45^\circ $. Если посчитать очень много членов последовательности (порядка 100`000), то можно обнаружить такую асимптотику:
$$Q_k \sim 3.4685\sqrt{k}+2.54648k$$
Причём амплитуда осцилляций последовательности вокруг этой асимптотической кривой растёт как $\sqrt[4]{k}$. Не знаю, правда, как объяснить это и тот факт, что в асимптотике есть слагаемое с корнем.

Может быть, у кого-то будут какие-нибудь комментарии по этой последовательности по мимо моего основного вопроса? Буду очень благодарен.

 Профиль  
                  
 
 Re: Последовательность суммы квадратов целых чисел
Сообщение13.12.2015, 14:07 
Аватара пользователя


14/10/13
339
Что такое $n_k$ и $m_k$? Как определяются эти числа?

 Профиль  
                  
 
 Re: Последовательность суммы квадратов целых чисел
Сообщение13.12.2015, 14:10 
Аватара пользователя


26/05/12
1534
приходит весна?
Все возможные натуральные числа, удовлетворяющие требованию $n_k<m_k$ и $Q_k\leqslant Q_{k+1}$. Другими словами, $Q_k$ — упорядоченная последовательность суммы квадратов всевозможных не равных друг другу натуральных чисел.

 Профиль  
                  
 
 Re: Последовательность суммы квадратов целых чисел
Сообщение13.12.2015, 14:23 
Аватара пользователя


11/06/12
10390
стихия.вздох.мюсли
А это не A004431? (Э-э, она, ессно, чего это я вдруг сомневаюсь.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Последовательность суммы квадратов целых чисел
Сообщение13.12.2015, 14:56 
Аватара пользователя


26/05/12
1534
приходит весна?
Почти она, только там строго возрастающая последовательность, а меня интересует последовательность, где значения не убывают и могут повторяться. Например, 19-ый и 20-ый элементы равны 65. Для больших номеров возможно и три, и четыре идущих подряд одинаковых числа.

 Профиль  
                  
 
 Re: Последовательность суммы квадратов целых чисел
Сообщение13.12.2015, 17:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1842
Москва
Есть формула для числа целых точек в круге радиуса $R$: $\pi R^2+\Delta(R)$, где $\Delta(R)=O(R^{2/3-\delta})$. На сегодняшний день $\delta=23/624$. Известно так же, что лучше, чем $O(R^{1/2+\varepsilon})$ оценить $\Delta(R)$ нельзя.

В применении к Вашей задаче это дает $\pi Q_k+\Delta(\sqrt{Q_k})=8k+1+4[\sqrt{Q_k}]+4[\sqrt{0.5Q_k}]$, откуда
$$
Q_k=\frac8\pi k+\frac{8\sqrt2+8}{\pi^{\frac32}}\sqrt k+r(k),
$$
где $r(k)$ порядка $\Delta(\sqrt{Q_k})$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Последовательность суммы квадратов целых чисел
Сообщение13.12.2015, 18:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
B@R5uk в сообщении #1081842 писал(а):
Почти она, только там строго возрастающая...
Тогда вот есть с перламутровыми A024507 :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Последовательность суммы квадратов целых чисел
Сообщение13.12.2015, 22:38 
Аватара пользователя


26/05/12
1534
приходит весна?
ex-math в сообщении #1081892 писал(а):
$$
Q_k=\frac8\pi k+\frac{8\sqrt2+8}{\pi^{\frac32}}\sqrt k+r(k),
$$

Просто шикарнейшее совпадение эксперимента с теорией:

$\frac{8\sqrt2+8}{\pi^{\frac32}}=3,468493326897...$
$\frac8\pi=2,546479089470325...$

grizzly в сообщении #1081910 писал(а):
A024507
Это точно она! Изображение

Всем большое спасибо. Мой интерес практически удовлетворён. Осталось только упомянуть, в связи с чем задача возникла. Эта последовательность (с точностью до коэффициента) получается для энергии частицы в двумерной бесконечной прямоугольной потенциальной яме. Или же для двух невзаимодействующих частиц в одномерной бесконечной прямоугольной потенциальной яме. Так же сфера Ферми в двумерном случае охватывает число состояний связанное с этой задачей, но в гораздо меньшей степени.

 Профиль  
                  
 
 Re: Последовательность суммы квадратов целых чисел
Сообщение04.11.2016, 19:51 
Аватара пользователя


26/05/12
1534
приходит весна?
Возвращаюсь к теме с похожей, но более интересной задачей.

Пусть $Q_k=a_k^2+b_k^2+c_k^2$ — неубывающая последовательность, где $a_k$, $b_k$ и $c_k$ — натуральные числа, а $Q_k$ отсортированы по возрастанию, не выбрасывая повторы. Типа так:

(Оффтоп)

Код:
     1     1     1     3
     1     1     2     6
     1     2     1     6
     2     1     1     6
     1     2     2     9
     2     1     2     9
     2     2     1     9
     1     1     3    11
     1     3     1    11
     3     1     1    11
     2     2     2    12
     1     2     3    14
     1     3     2    14
     2     1     3    14
     2     3     1    14
     3     1     2    14
     3     2     1    14
     2     2     3    17
     2     3     2    17
     3     2     2    17
     1     1     4    18
     1     4     1    18
     4     1     1    18
     1     3     3    19
     3     1     3    19
     3     3     1    19
     1     2     4    21
     1     4     2    21
     2     1     4    21
     2     4     1    21
     4     1     2    21
     4     2     1    21
     2     3     3    22
     3     2     3    22
     3     3     2    22
     2     2     4    24
     2     4     2    24
     4     2     2    24
     1     3     4    26
     1     4     3    26
     3     1     4    26
     3     4     1    26
     4     1     3    26
     4     3     1    26


Теперь разбиваем всю последовательность $Q_k$ на подпоследовательности в соответствии с чётностью чисел $a_k$, $b_k$ и $c_k$:
1) все три нечётные (одна подпоследовательность $Q_k^{111}$)
2) две нечётные, одна чётная (три подпоследовательности, по одной на каждый столбец, одна из них $Q_k^{112}$)
3) одна нечётная, две чётные (тоже три подпоследовательности, одна из них $Q_k^{221}$)
4) все чётные (одна подпоследовательность $Q_k^{222}$)

На первый взгляд кажется, что в асимптотике все восемь подпоследовательностей должны расти одинаково приблизительно как $\frac{Q_k}{8}$, однако $Q_k^{111}$ растёт медленнее $Q_k^{112}$, которая, в свою очередь, растёт медленнее $Q_k^{221}$, и $Q_k^{222}$ растёт быстрее всего. Почему так получается? Есть ли вообще какие-либо оценки для числа целый точек в шаре?

 Профиль  
                  
 
 Re: Последовательность суммы квадратов целых чисел
Сообщение04.11.2016, 21:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1842
Москва
Оценки есть, этим еще Виноградов много занимался. Что касается четности, там наверно какие-то сравнения играют роль. Но главный член асимптотики вроде не должен различаться. Какие получились количественные результаты?

-- 04.11.2016, 21:21 --

Оценки есть, этим еще Виноградов много занимался. Что касается четности, там наверно какие-то сравнения играют роль. Но главный член асимптотики вроде не должен различаться. Какие получились количественные результаты?

 Профиль  
                  
 
 Re: Последовательность суммы квадратов целых чисел
Сообщение04.11.2016, 21:46 
Аватара пользователя


26/05/12
1534
приходит весна?
Что-то вот такое:

Изображение

Если посчитать чисел по-больше, то с увеличением масштаба на графике линии действительно сближаются. Но по графикам видно, что нечётных троек в каком-то смысле больше. Интересно, почему?

-- 04.11.2016, 23:08 --

Забавно посмотреть на мелком масштабе у начала координат:

Изображение

Последовательность $Q_k^{111}$ всегда идёт скачками по 8; последовательность $Q_k^{112}$ идёт шагами по 4 (кроме четырёх исключений по 8 в начале); $Q_k^{221}$ так же шагами по 4 кроме трёх исключений. А последовательность $Q_k^{222}$ идёт скачками 4, 8 и 12, причём последние сохраняются вплоть даже до значений, которые доступны мне для счёта без оптимизации памяти ($k\sim 7.5\cdot 10^6$, $Q\sim 6\cdot 10^4$).

 Профиль  
                  
 
 Re: Последовательность суммы квадратов целых чисел
Сообщение05.11.2016, 22:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1842
Москва
Возможно следующие члены асимптотики у них различаются. Это надо смотреть.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Gevin Magnus, Vladimir Pliassov


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group