2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Ландау Механика Вопросы по тому 1
Сообщение11.12.2015, 16:37 


11/12/15
9
Добрый день.
Начав читать книгу, появились следующие вопросы:
1) Параграф 1 "Обобщенные координаты". "Одновременное же задание всех координат и скоростей полностью определяет, как показывает опыт, состояние системы и позволяет в принципе предсказать дальнейшее ее движение". Вопрос: что подразумевает под собой такой опыт, как он ставится? то есть цель его понятна - показать предсказание положения системы задав обобщенные координаты и скорости. А как он ставится?
2) Параграф 2 "Принцип наименьшего действия", сноска 2) : Следует, однако, указать, что в такой формулировке принцип наименьшего действия не всегда справедлив для всей траектории движения в целом, а лишь для каждого из достаточно малых ее участков; для всей же траектории может оказаться, что интеграл (2.1) имеет лишь экстремальное значение. Вопрос: не могли бы Вы привести пример? Не вдаваясь в подробности, понятно, что этот принцип формулирует движение по кратчайшей траектории, и даже если на каждом отдельном участке траектории у нас минимум, то как получается, что может в итоге получиться и максимум на всей траектории?
Заранее благодарен за ответы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ландау Механика Вопросы по тому 1
Сообщение11.12.2015, 16:40 
Заслуженный участник


28/12/12
7740
anadeia в сообщении #1081397 писал(а):
Вопрос: что подразумевает под собой такой опыт, как он ставится

Опыт тут не в смысле experiment, а в смысле experience. Такое вот многозначное слово :-).

-- 11.12.2015, 19:41 --

anadeia в сообщении #1081397 писал(а):
Начав читать книгу, появились следующие вопросы

"Проезжая мимо станции, с меня слетела шляпа." :oops:

 Профиль  
                  
 
 Re: Ландау Механика Вопросы по тому 1
Сообщение11.12.2015, 16:45 
Аватара пользователя


13/08/13

4323
anadeia в сообщении #1081397 писал(а):
Не вдаваясь в подробности, понятно, что этот принцип формулирует движение по кратчайшей траектории, и даже если на каждом отдельном участке траектории у нас минимум, то как получается, что может в итоге получиться и максимум на всей траектории?

Например, геодезическая шара.
И мы ищем экстремаль функционала, а не минималь.
-- 11.12.2015, 16:46 --

anadeia в сообщении #1081397 писал(а):
что может в итоге получиться и максимум на всей траектории?

Не только максимум, но и седловая точка.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ландау Механика Вопросы по тому 1
Сообщение11.12.2015, 16:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Если не по-английски, то "как показывает опыт" означает "как показывают все механические опыты, которые были проведены человечеством". (В области классической механики.) Такое вот использование слова в обобщающем смысле. "Мы знаем, что взятие производной - лёгкая задача" - речь не о конкретной производной от конкретной функции, а о производной вообще.

На самом деле, теорфизика даже не имеет дела напрямую с опытами. Иерархия примерно такая:
- экспериментаторы ставят опыты;
- из этих опытов выводятся довольно простые и частные законы, с небольшой степенью обобщения;
- а из этих законов уже выводятся более общие и абстрактные законы, часто - довольно сложные математически.
Вот ими-то теорфизика и занимается.

В данном случае, например, можно опираться на 2-й закон Ньютона, как он был изучен в школе и на первом курсе вуза, и на опыты, которые его демонстрируют: разнообразные движения тел, в разных условиях, под действием разных сил. Этот закон Ньютона гласит, что движение тела можно найти как решение дифференциального уравнения типа $\ddot{\mathbf{r}}=F(\mathbf{r},\dot{\mathbf{r}},\textit{положения и скорости остальных тел}).$ А отсюда следует, что состояние описывается как раз положениями и скоростями - их достаточно.

-- 11.12.2015 16:59:06 --

Sicker в сообщении #1081404 писал(а):
Например, геодезическая шара.

Это, конечно, пример экстремального принципа, но не принципа наименьшего действия.

anadeia в сообщении #1081397 писал(а):
Вопрос: не могли бы Вы привести пример? Не вдаваясь в подробности, понятно, что этот принцип формулирует движение по кратчайшей траектории, и даже если на каждом отдельном участке траектории у нас минимум, то как получается, что может в итоге получиться и максимум на всей траектории?

Приведённый Sicker-ом геометрический (а не механический) пример позволяет понять суть проблемы: если продолжать экстремаль достаточно далеко, то она может пройти через точку фокуса, за которой минимум превращается, например, в максимум.

Если нужен механический пример, то можно взять обычный пружинный маятник (теоретики говорят, гармонический осциллятор) $L=\tfrac{1}{2}m\dot{x}^2-\tfrac{1}{2}kx.$ Для коротких промежутков времени всё будет нормально, но если вы возьмёте промежуток времени, равный периоду колебаний $T=2\pi\sqrt{k/m},$ или больше, то максимальность "сломается".

 Профиль  
                  
 
 Re: Ландау Механика Вопросы по тому 1
Сообщение11.12.2015, 17:09 


11/12/15
9
Munin в сообщении #1081408 писал(а):
Если не по-английски, то "как показывает опыт" означает "как показывают все механические опыты, которые были проведены человечеством". (В области классической механики.)

Ну,я так и подумал, что этот опыт, если был экспериментом, носил бы характер "от противного", скажем так. Тогда все вставки "в принципе" говорят о том, что может и произойти, хотя и с совсем малой вероятностью, исключающее событие.
Благодарю за ответы. Читаю дальше. Надеюсь в остальных вопросах показаться не совсем глупым.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ландау Механика Вопросы по тому 1
Сообщение11.12.2015, 17:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Слова "опыт" и "эксперимент" - синонимы. Дело не в различии между этими словами, а в различии между общим и частным смыслом слова. "Человек - двуногое животное" и "я вижу человека с двумя ногами" - разные смыслы.

Эксперименты "от противного", на самом деле, есть, но они интерпретируются как выходящие за рамки механики. Всё-таки в огромном большинстве случаев - работает именно тезис, что дифференциальное уравнение второго порядка, и состояние описывается положениями и скоростями. То есть, теория, построенная на этом тезисе, имеет большую область применимости (и её и называют механикой).

 Профиль  
                  
 
 Re: Ландау Механика Вопросы по тому 1
Сообщение11.12.2015, 18:46 


11/12/15
9
Munin в сообщении #1081420 писал(а):
Слова "опыт" и "эксперимент" - синонимы. Дело не в различии между этими словами, а в различии между общим и частным смыслом слова. "Человек - двуногое животное" и "я вижу человека с двумя ногами" - разные смыслы.

Эксперименты "от противного", на самом деле, есть, но они интерпретируются как выходящие за рамки механики. Всё-таки в огромном большинстве случаев - работает именно тезис, что дифференциальное уравнение второго порядка, и состояние описывается положениями и скоростями. То есть, теория, построенная на этом тезисе, имеет большую область применимости (и её и называют механикой).

хорошо.
если вернуться к примеру с осциллятором, то имеется в виду, что если мы рассматриваем маленькие промежутки времени, то тело маятника двигается по прямой, а если большой - то движение идет, например, по окружности, радиус которой - нить маятника. Почему тогда не указываются явно какие-то конкретные неравенства, пределы применимости?

 Профиль  
                  
 
 Re: Ландау Механика Вопросы по тому 1
Сообщение11.12.2015, 22:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Так. Во-первых, пружинный маятник движется не по окружности. Он движется всегда по прямой.
Во-вторых, у маятника нет никакого тела. Маятник - это точка на оси $x.$ Это же теорфизика!

Насчёт пределов применимости. Справедливо, но вообще-то указать их - непростая математическая задача. А читатель только-только знакомится с новым математическим аппаратом, для него сложны даже элементарные шаги. Так что, пусть пока просто будет в курсе, что такие пределы есть. Но с другой стороны, у принципа экстремальности действия, $\delta S=0,$ пределов применимости (в этом направлении) нет. Он работает и за точкой фокуса.

-- 11.12.2015 23:18:12 --

Пределы применимости механики находятся в других направлениях. Там, где заканчивают работать те физические упрощения и предположения, на которых основывается её матаппарат. Перечислю самые главные:
- механика подразумевает достаточно медленные движения, достаточно продолжительные промежутки времени, на которых рассматривается движение, и достаточно малые силы воздействия, чтобы можно было пользоваться моделями твёрдых тел и материальных точек. Если тела разгонать побыстрее и столкнуть посильнее, или например, изучать обычный процесс соударения на очень ускоренной видеокамере, то придётся учитывать всякие распространения колебаний по телам - механику сплошных сред.
- механика подразумевает незначительное влияние тепловых, электромагнитных, звуковых, и т. п. явлений из других областей физики. Ну, это и так понятно. Хотя рассматривать движение заряженной материальной точки под действием электрического поля, или постоянного магнита рядом с другим магнитом, тоже можно, но до определённых пределов, которые указываются соответственно теорией электричества и магнетизма. Обычно, там речь идёт о малом заряде (в некотором смысле), и малых скоростях и ускорениях движения.
- механика (классическая) подразумевает движения со скоростями $v\ll c.$ Слишком большие скорости изучает механика релятивистская.
- механика (классическая) подразумевает достаточно крупные тела, и достаточно грубые измерения, чтобы не проявлялись квантовые эффекты. Микромир изучает квантовая механика, или вообще квантовая физика (не вся квантовая физика - это квантовая механика; квантовая физика - это более широкое понятие).
- механика подразумевает не слишком большие гравитационные поля. Слишком большие - изучает общая теория относительности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ландау Механика Вопросы по тому 1
Сообщение12.12.2015, 08:07 


07/07/12
402
Munin в сообщении #1081408 писал(а):
Sicker в сообщении #1081404 писал(а):
Например, геодезическая шара.
Это, конечно, пример экстремального принципа, но не принципа наименьшего действия.
Это как раз-таки классический пример, рассмотренный, по-моему, еще Уиттекером. А именно, рассматривается свободная точка, движущаяся на гладкой поверхности сферы в отсутствие внешних сил. Траектории --- большие окружности. Действие вдоль траектории пропорционально длине пути и минимально только если эта длина меньше половины длины большого круга.

Кстати, одно из замечаний Владимира Фока, когда он разносил в пух и прах в своей рецензии первое издание "Механики" Ландау и Пятигорского, касалось вот этой экстремальности но не всегда минимальности действия и, если я не ошибаюсь, Фок привел этот же классический пример.

-- 12.12.2015, 09:15 --

anadeia, пример с осциллятором, о котором говорил выше Munin, подробно рассмотрен, например, у Г.Н. Яковенко, "Лекции по теоретической механике" (МФТИ). Собственно, от Геннадия Николаевича я его впервые и услышал :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Ландау Механика Вопросы по тому 1
Сообщение12.12.2015, 08:17 


11/12/15
9
Munin в сообщении #1081487 писал(а):
Так. Во-первых, пружинный маятник движется не по окружности. Он движется всегда по прямой.
Во-вторых, у маятника нет никакого тела. Маятник - это точка на оси $x.$ Это же теорфизика!

Насчёт пределов применимости. Справедливо, но вообще-то указать их - непростая математическая задача. А читатель только-только знакомится с новым математическим аппаратом, для него сложны даже элементарные шаги. Так что, пусть пока просто будет в курсе, что такие пределы есть. Но с другой стороны, у принципа экстремальности действия, $\delta S=0,$ пределов применимости (в этом направлении) нет. Он работает и за точкой фокуса.

-- 11.12.2015 23:18:12 --

Пределы применимости механики находятся в других направлениях. Там, где заканчивают работать те физические упрощения и предположения, на которых основывается её матаппарат. Перечислю самые главные:
- механика подразумевает достаточно медленные движения, достаточно продолжительные промежутки времени, на которых рассматривается движение, и достаточно малые силы воздействия, чтобы можно было пользоваться моделями твёрдых тел и материальных точек. Если тела разгонать побыстрее и столкнуть посильнее, или например, изучать обычный процесс соударения на очень ускоренной видеокамере, то придётся учитывать всякие распространения колебаний по телам - механику сплошных сред.
- механика подразумевает незначительное влияние тепловых, электромагнитных, звуковых, и т. п. явлений из других областей физики. Ну, это и так понятно. Хотя рассматривать движение заряженной материальной точки под действием электрического поля, или постоянного магнита рядом с другим магнитом, тоже можно, но до определённых пределов, которые указываются соответственно теорией электричества и магнетизма. Обычно, там речь идёт о малом заряде (в некотором смысле), и малых скоростях и ускорениях движения.
- механика (классическая) подразумевает движения со скоростями $v\ll c.$ Слишком большие скорости изучает механика релятивистская.
- механика (классическая) подразумевает достаточно крупные тела, и достаточно грубые измерения, чтобы не проявлялись квантовые эффекты. Микромир изучает квантовая механика, или вообще квантовая физика (не вся квантовая физика - это квантовая механика; квантовая физика - это более широкое понятие).
- механика подразумевает не слишком большие гравитационные поля. Слишком большие - изучает общая теория относительности.

я имел ввиду математический маятник, конечно же. то есть все дальше по ходу курса уточняется - понял.

-- 12.12.2015, 08:20 --

physicsworks в сообщении #1081536 писал(а):
Munin в сообщении #1081408 писал(а):
Sicker в сообщении #1081404 писал(а):
Например, геодезическая шара.
Это, конечно, пример экстремального принципа, но не принципа наименьшего действия.
Это как раз-таки классический пример, рассмотренный, по-моему, еще Уиттекером. А именно, рассматривается свободная точка, движущаяся на гладкой поверхности сферы в отсутствие внешних сил. Траектории --- большие окружности. Действие вдоль траектории пропорционально длине пути и минимально только если эта длина меньше половины длины большого круга.

Кстати, одно из замечаний Владимира Фока, когда он разносил в пух и прах в своей рецензии первое издание "Механики" Ландау и Пятигорского, касалось вот этой экстремальности но не всегда минимальности действия и, если я не ошибаюсь, Фок привел этот же классический пример.

-- 12.12.2015, 09:15 --

anadeia, пример с осциллятором, о котором говорил выше Munin, подробно рассмотрен, например, у Г.Н. Яковенко, "Лекции по теоретической механике" (МФТИ). Собственно, от Геннадия Николаевича я его впервые и услышал :D

если точка по поверхности сферы движется без внешних сил - это отсутствие и притяжения к сфере?
не очень понял про минимальность действия на траектории. это настолько очевидно, что я даже представить не могу этого, видимо. можно как-то пояснить рисунком?

 Профиль  
                  
 
 Re: Ландау Механика Вопросы по тому 1
Сообщение12.12.2015, 15:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
physicsworks в сообщении #1081536 писал(а):
классический пример, рассмотренный, по-моему, еще Уиттекером. А именно, рассматривается свободная точка, движущаяся на гладкой поверхности сферы в отсутствие внешних сил.

В таком случае, конечно. Но это вообще-то математически совсем другая задача. (Родственная первой, разумеется.)

Для anadeia:
Это описание: "точка, движущаяся на поверхности сферы..." - звучит опять слишком абстрактно-математически. Привыкайте. В теории так принято.

А если подумать над реальной физической интерпретацией такой системы, то можно взять сферический маятник (то есть, математический маятник, качающийся не в одной плоскости, а и в стороны тоже), заменить нить жёстким подвесом, и отправить всё это в невесомость.

    anadeia в сообщении #1081537 писал(а):
    если точка по поверхности сферы движется без внешних сил - это отсутствие и притяжения к сфере?
Это отсутствие выхода из поверхности сферы. То есть, в реальности, если точка пытается отклониться наружу - то сразу возникает большая сила, отклоняющая её внутрь, и возвращающая на сферу. А если точка пытается отклониться внутрь - то сразу возникает большая сила, отклоняющая её наружу.

Это называется идеальной связью. Такие связи не очень видны в реальной механике, возникают для удобства расчётов в машинах и механизмах (например, как рычаги, шарниры, скользящие соединения разных видов), и оказываются очень важны в абстрактной теоретической механике. К сожалению, Ландау-Лифшиц уделяет связям очень мало внимания, и это его недостаток. Стоит познакомиться с этим понятием хотя бы на уровне понятия (но вообще, механика со связями - более высший раздел теоретической механики, и его надо отложить на потом).

Рекомендую быстренько прочитать
Савельев. Основы теоретической физики. Том 1. Механика, электродинамика.
отдельно § 2. Связи, или можно всю первую главу. И после этого можно возвращаться к Ландау-Лифшицу.

А на будущее, запаситесь книгой
Арнольд. Математические методы классической механики.
Она может светить вам как маяк :-)

anadeia в сообщении #1081537 писал(а):
не очень понял про минимальность действия на траектории. это настолько очевидно, что я даже представить не могу этого, видимо. можно как-то пояснить рисунком?

Ну, это "очевидно" может быть, только если вы неправильно понимаете слово "действие", или в другом случае, если вы уже опытный теорфизик, и знакомы с предметом уже лет пять, как со своими пальцами.

Ещё по принципу наименьшего действия очень советую вот этот фрагмент:
Фейнмановские лекции по физике. Вып. 6. Электродинамика. Глава 19.
Это отдельная лекция, "отступление в сторону", и там замечательно объясняется, в чём смысл принципа наименьшего действия.

(Ну а чем он оборачивается в квантах, это пока рано рекомендовать... а то у вас всё в голове перепутается. Но это тоже замечательная вещь. И тоже в изложении Фейнмана!)

-- 12.12.2015 15:08:06 --

P. S. anadeia, вы заметили, как все вокруг цитируют собеседников? Только небольшую часть сообщения, которая достаточно, чтобы понять, на какие слова вы отвечаете. Если вы отвечаете "вообще", то и цитировать вообще ничего не надо. Используйте редактирование цитаты, и/или очень удобную кнопку Изображение, чтобы цитировать в необходимых и достаточных количествах. А слишком большие цитаты называются "оверквотинг" и не приветствуются. Ведь рядом с цитатой ваши слова теряются, и читатель вынужден просто перечитывать по второму разу то, что уже видел.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ландау Механика Вопросы по тому 1
Сообщение14.12.2015, 16:55 


11/12/15
9
Вопросы:
1)
- "Перейдем к выводу дифференциальных уравнений, решающих задачу об определении максимума интеграла (2.1) $
\[\int\limits_{{t_1}}^{{t_2}} {L\left( {q,\dot q,t} \right)dt} \]$"
- "Легко видеть, что масса не может быть отрицательной. В самом деле, согласно принципу наименьшего действия для действительного движения материальной точки из точки 1 пространства в точку 2 интеграл $
\[S = \int\limits_1^2 {\frac{{m{v^2}}}{2}dt} \] $ имеет минимум. Если бы масса была отрицательной, то для траекторий, по которым частица сначала быстро удаляется от 1, а затем быстро приближается к 2, интеграл действия принимал бы сколь угодно большие по абсолютной величине отрицательные значение, т.е. не имел бы минимума."
Так о максимуме или о минимуме интеграла (2.1) идет речь? Сначала же заявлялось и вовсе об экстремуме.
2) "По отношению к произвольной системе пространство является неоднородным и неизотропным. Это значит, что если какое-либо тело не взаимодействует ни с какими другими телами, то, тем не менее, его различные положения в пространстве и его различные ориентации в механическом отношении не эквивалентны... То же самое относится в общем случае и ко времени"
Можно пример такой СО. На первый взгляд какое-то квантование сплошное.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ландау Механика Вопросы по тому 1
Сообщение14.12.2015, 17:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
anadeia в сообщении #1082097 писал(а):
1) Так о максимуме или о минимуме интеграла (2.1) идет речь? Сначала же заявлялось и вовсе об экстремуме.

Забавно. Я и не заметил :-) Там, где "максимум", там Ландау, видимо, просто оговорился. Читайте "минимум".

В общем, легко видеть, что математически речь всё время идёт об экстремуме. При этом, принято соглашение в рамках физики, что некоторые константы должны иметь некоторый знак, чтобы в некоторых условиях этот экстремум был минимумом. Например, для свободного движения частицы (в плоском пространстве). Но понятное дело, что это соглашение - всего лишь выбор знаков нескольких констант, и принципиального значения не имеет. Это просто для удобства и единообразия языка.

anadeia в сообщении #1082097 писал(а):
Можно пример такой СО. На первый взгляд какое-то квантование сплошное.

Да возьмите любую криволинейную систему координат. Хоть полярную. И неоднородную шкалу времени.

Не-е-е, квантование - штука куда более суровая. Не разбрасывайтесь этим словом прежде времени! (Время наступит, как минимум, после знакомства с ЛЛ-3.)

-- 14.12.2015 17:31:34 --

Чем экстремум отличается от минимума? В экстремуме выполняется условие
$$\delta S=0.$$ В минимуме условий больше:
$$\delta S=0,\qquad \delta^2 S>0.$$ Как видите, если мы нашли минимум, то мы нашли экстремум. Но посмотрим в обратную сторону: допустим, мы нашли экстремум. Нужно ли нам убеждаться, что это минимум? Нет, если этот экстремум единственный. (И если $S$ имеет нужный знак, что обеспечивается выбором знака констант в $L.$) Вот и всё. И никто не берёт вторую вариацию. Ограничиваются только первой.

(В квантовой физике, кажется, пригождается вторая. Но это, повторяю, разговор, который стоит затевать только через несколько лет.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Ландау Механика Вопросы по тому 1
Сообщение14.12.2015, 17:36 


23/10/12
20
anadeia в сообщении #1082097 писал(а):
Так о максимуме или о минимуме интеграла (2.1) идет речь? Сначала же заявлялось и вовсе об экстремуме.

Точно помню, что должна была быть сноска(может это от издания зависит), что речь идёт об экстремуме, который локально явлется минимумом. И тогда рассуждения о неотрицательности массы верны, просто надо считать точки 1 и 2 "близкими".

 Профиль  
                  
 
 Re: Ландау Механика Вопросы по тому 1
Сообщение14.12.2015, 17:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Про экстремум-то да, но про максимум - Ландау просто "ляпнул" :-) И ведь не вычитали за все многочисленные переиздания! :-)

В общем, могу себе представить: в голове экстремум, максимум и минимум слились в нечто единое, и не важно, что сказать... Без условия на $\delta^2 S$ - и действительно не важно.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 26 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group