2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Обобщённые функции со значением в банаховом пространстве
Сообщение06.12.2015, 19:51 


05/02/13
132
Обычно понятие регулярной обобщённой функции в банаховом пространстве вводится как деминепрерывный оператор $f:D(a,b) \to V$, причём $f(\varphi)=\int\limits_a^b F(x)\varphi(x)\,dx$.

Имеет ли смысл рассматривать такую конструкцию (назовём её *-обобщённой функцией):

Пусть $X$ - рефлексивное банахово пространство. Обозначим через $D(a,b;X^\ast)$ пространство всех финитных непрерывных функций, сильно дифференцируемых в $V$ бесконечное число раз, причём эти производные непрерывны, в котором введено понятие сходимости: $\varphi_n \to \varphi$ в $D(a,b,X^\ast)$ тогда и только тогда, когда $\operatorname{supp} f_n \subset K \subset [a,b]$ и $f_n^{(k)} \to f^{(k)}$ сильно в $X^\ast$ для всех $k$.

Что мешает определить регулярную *-обобщённую функцию как элемент пространства $D(a,b;X^\ast)^\ast$, положив

$$f(\varphi) = \int\limits_a^b \langle \varphi(t), F(t)\rangle\,dx,$$

где $F \in L_1^{loc}(a,b;X)$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Обобщённые функции со значением в банаховом пространстве
Сообщение06.12.2015, 21:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11017
Hogtown
ProPupil в сообщении #1079976 писал(а):
деминепрерывный оператор

Где Вы такое ругательство нашли?
ProPupil в сообщении #1079976 писал(а):
то мешает определить регулярную *-обобщённую функцию как элемент пространства $D(a,b;X^\ast)^\ast$

Ничего, кроме того что для Банановых пространств вторая звёздочка необязательно возвращает в первобытное состояние.

Поэтому чаще рассматривается обычное пространство финитных $\mathscr{D}$, но зато обобщённые функции это функционалы на нём со значениями в банановом пространстве $X$. Далее по тексту

 Профиль  
                  
 
 Re: Обобщённые функции со значением в банаховом пространстве
Сообщение06.12.2015, 21:53 


05/02/13
132
Цитата:
Где Вы такое ругательство нашли?


Нам давали, как функцию, но мне не нравится термин "функция", если речь идёт о значениях в пространстве отличном от $\mathbb R$ или $\mathbb C$

Цитата:
Поэтому чаще рассматривается обычное пространство финитных $\mathscr{D}$, но зато обобщённые функции это функционалы на нём со значениями в банановом пространстве $X$.


Понятно, но опять мне бы не хотелось в этом случае употреблять термин функционал :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Обобщённые функции со значением в банаховом пространстве
Сообщение06.12.2015, 22:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11017
Hogtown
ProPupil в сообщении #1080010 писал(а):
но опять мне бы не хотелось

Есть некие традиции.

Опять-таки. Вы решили употреблять "оператор". В итоге у Вас куча всяких типов операторов. Нелинейные (которые я назвал функциями). Линейные, которые я назвал функционалами. И линейные $\mathscr{D}(\Omega,X)\to \mathscr{D}(\Omega,Y)$. Делает изложение трудным.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group