2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Решить в рациональных числах уравнение
Сообщение22.11.2015, 11:31 


22/11/15
10
Решить в рациональных числах уравнение
$(a-1/a)^2=(b-1/b)(c-1/c)$. Очевидные решения при $(b-1/b)=(c-1/c) $. Как доказать, что других решений нет?

 Профиль  
                  
 
 Re: Решить в рациональных числах уравнение
Сообщение22.11.2015, 14:04 
Заслуженный участник


08/04/08
8556
Есть другие (тривиальные) решения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решить в рациональных числах уравнение
Сообщение23.11.2015, 22:59 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
Здесь бесконечно много нетривиальных решений, например, при целых $a=4,9,10,14,15,16,17,20,...$
При каждом таком $a$ рациональных решений бесконечно много.
Приведу два решения: $a=4,b=\dfrac{1}{14},c=\dfrac{8}{13}$; $a=4,b=\dfrac{10244}{1631},c=\dfrac{2204}{825}$. Эта последовательность продолжается бесконечно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решить в рациональных числах уравнение
Сообщение24.11.2015, 00:31 


22/11/15
10
А какова формула данной последовательности? Дело в том, что данное уравнение появляется при решении в ЦЕЛЫХ числах системы двух уравнений:
$\left\{
\begin{array}{rcl}
 &m^2 n^2 k^2=(xy)(zw);& \\
 &(m^2-n^2 )^2 k^2=(x^2-y^2 )(w^2-z^2 )& \\
\end{array}
\right. $
где пары $(x, y), (w, z), (m, n)$ взаимно просты и различной чётности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решить в рациональных числах уравнение
Сообщение24.11.2015, 16:37 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
Выводы о бесконечном числе нетривиальных рациональных решений исходного уравнения (из первого поста) и два приведенных решения получены с помощью работы с семейством эллиптических кривых, приведенных к форме Вейерштрасса. При этом использовались Maple и Pari/GP.
Промежуточные формулы не дают простой возможности получать целые решения для появившейся системы уравнений.
Тут всё зависит ещё от степени Ваших познаний в этом вопросе.
Возможно, найдется и другой, элементарный подход.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group