Найти элементарную функцию

[Rich]

Пусть $g(x)$ такая функция , что $g(x)^{g(x)}=x, \forall x \geq 1$, найти элементарную функцию $h(x)$, такую что $\lim_{x\to\infty} (g(x)-h(x))=0$

[Sonic86]

А она существует?
Если строить последовательные асимптотические приближения, то накапливаются члены $\ln x, \ln _2x = \ln\ln x, \ln_3 x=\ln\ln_2x$ и т.п. У элементарных функций такого не бывает.

Т.е. вот что получается: $g=\frac{\ln x}{\ln g}=o(\ln x)$. Итерируем 2 раза:
$g=\frac{\ln x}{\ln_2x-\ln_2g}$
$g=\frac{\ln x}{\ln_2x-\ln_3x-\ln(1-\frac{\ln_2g}{\ln_2x})}$
Т.е. тут беспросветно: $\ln_2g$ не исчезнет вообще, а как только Вы оборвете рекурсию, у Вас все равно в знаменателе останутся $\ln_2x$ и логарифмы более высоких порядков, а в числителе все равно $\ln x$, т.е. до искомой элементарной разности Вы вряд ли дойдете.

Можно сделать подстановки $q(x)=\frac{\ln x}{g(x)}$ и $t=\ln_2x$, тогда Вы получите соотношение $q=t-\ln q$ - вот его асимптотику можно найти итерированием с обрывом с точностью до элементарной разности, хотя полностью выписать ряд я затрудняюсь.

[venco]

Точное решение использует функцию Ламберта, которая в Wolfram Mathematica находится в категории элементарных функций.

[Rich]

А если в решении разложить функцию Ламберта и в качестве $h(x)$ взять старший член разложения?

[Sonic86]

Если Вы внимательно почитаете текст, Вы увидите старший член разложения в асимптотику. Старший член асимптотики единственный, он не зависит, откуда он берется. Достаточен он или нет, тоже уже отвечено.

Задача, как и следовало ожидать, некорректна. А как доказать несуществование - это вопрос интересный.

[Aritaborian]

venco в сообщении #1075007 писал(а):

которая в Wolfram Mathematica находится в категории элементарных функций.

С чего бы вдруг? ProductLog, она же LambertW находится среди специальных функций, как и должно быть.

[venco]

А также http://functions.wolfram.com/ElementaryFunctions/

-- Пт ноя 20, 2015 09:37:02 --

Rich в сообщении #1075079 писал(а):

А если в решении разложить функцию Ламберта и в качестве $h(x)$ взять старший член разложения?

Разность всё равно будет возрастать, сколько бы членов ни взяли.

[Aritaborian]

venco в сообщении #1075164 писал(а):

А также http://functions.wolfram.com/ElementaryFunctions/

Ненене, это не считается!