2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4, 5 ... 9  След.
 
 Две ракеты
Сообщение14.11.2015, 13:59 
Аватара пользователя


07/02/12
1079
Питер
Две одинаковые ракеты стартуют с вершины обрыва. Одна вверх, вторая вниз. Внизу обрыва вторая ракета разворачивается и летит вверх без потери скорости. Тяга у ракет одинаковая, и топливо закончится одновременно. Какая ракета достигнет более высокой точки и почему? Трением пренебречь

Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Две ракеты
Сообщение14.11.2015, 15:55 


26/05/14
465
Полная энергия второй ракеты больше в каждый момент после старта. Она и достигнет большей высоты.

 Профиль  
                  
 
 Re: Две ракеты
Сообщение14.11.2015, 16:07 
Аватара пользователя


28/01/12
467
Первая.
Скоро топливом ракеты заправлены одинаково, то и пролететь они могут одинаковое расстояние.
А вторая ракета должна пролететь дополнительно еще 2 высоты обрыва.

 Профиль  
                  
 
 Re: Две ракеты
Сообщение14.11.2015, 16:29 


26/05/14
465
Контрпример:
Пусть тяга ракет в точности компенсирует тяготение. Тогда первая так и останется висеть на стартовой высоте. А вторая пройдёт старт с ненулевой скоростью. Что бы доказать второй факт, добавлю что вторая ракета вернулась бы на старт даже если у неё вообще не было тяги.

 Профиль  
                  
 
 Re: Две ракеты
Сообщение14.11.2015, 18:18 
Аватара пользователя


28/01/12
467
Imho. Думаю корректней набранную высоту определять именно в момент выключения двигателей, поэтому первая будет выше от второй.
В противном возможен вариант, когда обе ракеты могут набрать первую космическую скорость.

 Профиль  
                  
 
 Re: Две ракеты
Сообщение14.11.2015, 18:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
12936
Тяга это же сила? Раз она постоянна, то топливо выгорает с постоянной скоростью, масса ракеты уменьшается линейно, а реактивное ускорение возрастает гиперболически, причём одинаково по времени у двух ракет. Время полёта у них тоже одинаково. У второй ракеты $g$ сначала прибавляется, потом вычитается. У второй всё время вычитается. Может быть два раза проинтегрировать ускорение? Получим пути. Потом учтём двойную высоту обрыва :?:

 Профиль  
                  
 
 Re: Две ракеты
Сообщение14.11.2015, 18:40 


26/05/14
465
К моему контрпримеру добавьте достаточное время работы двигателей. Первая ракета висит на месте, вторая разгоняется до дна обрыва, разворачивается и летит вверх с постоянной скоростью. Если время работы двигателя достаточное, то она пролетит мимо старта и поднимется на произвольную высоту до остановки двигателей.

Как я считал: считаем работу, которую совершат ракеты к моменту остановки двигателей.
В каждый момент времени вторая ракета двигается быстрее первой. Силы тяги ракет одинаковы. Следовательно вторая ракета развивает большую мощность в каждый момент времени. Интегрируем, вторая ракета совершит большую работу. В момент выключения двигателей полная энергия второй ракеты больше. Следовательно, когда её кинетическая энергия обнулится, она будет обладать большей потенциальной. Следовательно, апогей её траектории выше.

-- 14.11.2015, 18:44 --

gris в сообщении #1073426 писал(а):
Тяга это же сила? Раз она постоянна, то топливо выгорает с постоянной скоростью, масса ракеты уменьшается линейно, а реактивное ускорение возрастает гиперболически, причём одинаково по времени у двух ракет. Время полёта у них тоже одинаково. У второй ракеты $g$ сначала прибавляется, потом вычитается. У второй всё время вычитается. Может быть два раза проинтегрировать ускорение? Получим пути. Потом учтём двойную высоту обрыва :?:


Вы получите высоты в момент выключения двигателей. Какая ракета выше в этот момент зависит от ускорения ракет и времени работы. В типичном случае (большое ускорение, достаточное время работы двигателя) вторая ракета будет ниже. В моём контрпримере наоборот. Но вторая ракета всегда наберёт большую высоту в свободном полёте.

 Профиль  
                  
 
 Re: Две ракеты
Сообщение14.11.2015, 19:56 


26/05/14
465
Проверил прямым интегрированием. При любой ненулевой функции тяги вторая ракета взлетает выше.

 Профиль  
                  
 
 Re: Две ракеты
Сообщение14.11.2015, 20:50 


10/07/15
286
На разворот топливо не тратится, за счет какой силы?

 Профиль  
                  
 
 Re: Две ракеты
Сообщение14.11.2015, 22:09 
Аватара пользователя


07/02/12
1079
Питер
Begemot82 в сообщении #1073451 писал(а):
На разворот топливо не тратится, за счет какой силы?

можно там сообразить трамплинчик U-образный. к делу отношения не имеет

-- 14.11.2015, 22:14 --

slavav в сообщении #1073443 писал(а):
Проверил прямым интегрированием. При любой ненулевой функции тяги вторая ракета взлетает выше.

Можно подробнее расписать? - не очень понял, что Вы имеете в виду под 'проверил прямым интегрированием'.

-- 14.11.2015, 22:39 --

slavav в сообщении #1073427 писал(а):
Как я считал: считаем работу, которую совершат ракеты к моменту остановки двигателей.
В каждый момент времени вторая ракета двигается быстрее первой. Силы тяги ракет одинаковы. Следовательно вторая ракета развивает большую мощность в каждый момент времени. Интегрируем, вторая ракета совершит большую работу. В момент выключения двигателей полная энергия второй ракеты больше. Следовательно, когда её кинетическая энергия обнулится, она будет обладать большей потенциальной. Следовательно, апогей её траектории выше.

Я полностью согласен. Но тут довольно тонкий момент - использовать закон сохранения энергии в незамкнутых системах отчета..

 Профиль  
                  
 
 Re: Две ракеты
Сообщение14.11.2015, 23:13 


26/05/14
465
bondkim137 в сообщении #1073476 писал(а):
Можно подробнее расписать? - не очень понял, что Вы имеете в виду под 'проверил прямым интегрированием'.

$g$ - модуль ускорения свободного падения.
$a(t)$ - модуль реактивного ускорения ракет.
$v(t) = \int\limits_{0}^{t}a(t)dt$ - не имеет физического смысла в этой задаче.
$h(t) = \int\limits_{0}^{t}v(t)dt$ - не имеет физического смысла в этой задаче.
$t_1$ - момент когда вторая ракета на дне.
$t_2$ - момент когда двигатели выключились. Дальше предполагаю, что $t_2 \geqslant t_1$. Но можно доказать и для другого порядка событий.
Вычислим скорости ракет в момент выключения двигателей:
$v_1(t_2) = v(t_2) - gt_2$
$v_2(t_2) = v(t_2) - gt_2 + 2gt_1$
Высоты в тот-же момент:
$h_1(t_2) = h(t_2) - \frac{gt_2^2}{2}$
$h_2(t_2) = h(t_2) - \frac{gt_2^2}{2} - 2h(t_1) + 2gt_1t_2 - 2gt_1^2$
Апогеи:
$H_i = h_i(t_2) + \frac{v_i^2(t_2)}{2g}$
Вычитаем апогеи и доказываем неравенство.

 Профиль  
                  
 
 Re: Две ракеты
Сообщение14.11.2015, 23:32 
Заслуженный участник


07/07/09
4933
slavav в сообщении #1073443 писал(а):
Проверил прямым интегрированием. При любой ненулевой функции тяги вторая ракета взлетает выше.

Если не ракета, а реактивный снаряд, у которого горючее заканчивается на старте, то вроде бы досгигнут одинаковой высоты.
Можно представить двойной заряд топлива, первая половина сгорает на старте, а вторая после разворота. Все равно высоты одинаковы.
Можно и дальше дробить заряд

 Профиль  
                  
 
 Re: Две ракеты
Сообщение14.11.2015, 23:49 
Аватара пользователя


07/02/12
1079
Питер
Xey в сообщении #1073492 писал(а):
Можно представить двойной заряд топлива, первая половина сгорает на старте, а вторая после разворота. Все равно высоты одинаковы.
Можно и дальше дробить заряд

нет, второй взрыв добавит различную кинетическую энергию первой и второй ракете

-- 14.11.2015, 23:55 --

Ух! понятно, но довольно громоздко. Вот элегантное решение:
slavav в сообщении #1073427 писал(а):
В каждый момент времени вторая ракета двигается быстрее первой. Силы тяги ракет одинаковы. Следовательно вторая ракета развивает большую мощность в каждый момент времени. Интегрируем, вторая ракета совершит большую работу. В момент выключения двигателей полная энергия второй ракеты больше. Следовательно, когда её кинетическая энергия обнулится, она будет обладать большей потенциальной. Следовательно, апогей её траектории выше.

Единственное, что бы быть аккуратным, стоит говорить о ракетах без топлива. Тогда закон сохранения энергии начнет уверенно работать. Тяга правда не будет постоянной, но это и не важно - при любой (одинаковой) функции тяги вышеописанное останется верным.

 Профиль  
                  
 
 Re: Две ракеты
Сообщение15.11.2015, 00:30 
Аватара пользователя


28/01/12
467
slavav в сообщении #1073488 писал(а):
$h_1(t_2) = h(t_2) - \frac{gt_2^2}{2}$
$h_2(t_2) = h(t_2) - \frac{gt_2^2}{2} - 2h(t_1) + 2gt_1t_2 - 2gt_1^2$

Не знаю как у вас вышли эти выражения, но присмотримся к ним.
Для примера примем, что время $t_1 = t_2 $, тогда:
$h_2(t_2) = h(t_2) - \frac{gt_2^2}{2} - 2h(t_2) + \not{2gt_2^2} - \not{2gt_2^2}$
Отсюда: $h_1(t_2) > h_2(t_2)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Две ракеты
Сообщение15.11.2015, 00:48 


26/05/14
465
$t_1$ - это когда вторая ракета разворачивается у дна обрыва. В этот момент она ниже. В чём вопрос?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 125 ]  На страницу 1, 2, 3, 4, 5 ... 9  След.

Модераторы: Парджеттер, Pphantom, Aer, photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group