2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Туймаада-2015, К.Кохась
Сообщение11.11.2015, 16:15 


31/05/14
58
Даны целые числа $ 0\leq b \leq c \leq d \leq a$ . причем $ a>14$ Докажите, что не всякое натуральное число $ n$ можно записать в виде $ n= x(ax+b) + y(ay+c) + z(az+d) $ , где $ x,y,z $ — некоторые целые числа

 Профиль  
                  
 
 Re: Туймаада-2015, К.Кохась
Сообщение17.11.2015, 08:06 


24/12/13
351
Идея:

$$4na+b^2+c^2+d^2=(2ax+b)^2+(2ay+c)^2+(2az+d)^2$$
Пусть $b^2+c^2+d^2=m$
Если мы докажем, что сравнение $4ax+m \equiv 7 (mod 8) $ разрешимо (x=n), или же уравнение $4ax+m=4^y(8z+7) $ разрешимо в неотриц. целых числах , то задача будет решена.

 Профиль  
                  
 
 Re: Туймаада-2015, К.Кохась
Сообщение17.11.2015, 09:11 
Заслуженный участник


04/03/09
906
Будем использовать более слабое условие $a>8$. Заметим, что каждое слагаемое в правой части неотрицательно.
$f(x)=x(ax+b)$ - квадратичная функция с минимумом в т. $x_0=-\frac{b}{a} \in [-1;0]$
$f(0)=0,\,\,f(-1)=a-b$, во всех остальных точках $f(x) >=a$.
Рассмотрим, можно ли представить указанным в условие образом натуральное числа $n \le 8$. Если $x \neq 0 \wedge x \neq -1$, то правая часть больше 8. Значит, чтобы представить $n \le 8$, необходимо, чтобы $x=0 \vee x=-1$. Совершенно аналогично, необходимо, чтобы $(y=0 \vee y=-1) \wedge (z=0 \vee z=-1)$. Каждая переменная принимает всего 2 значения, значит всевозможные их комбинации дают не более 8 различных значений правой части, причем одно из значений - ноль. Значит, невозможно представить все числа $n \le 8$, отсюда верно утверждение задачи.

 Профиль  
                  
 
 Re: Туймаада-2015, К.Кохась
Сообщение17.11.2015, 21:28 


31/05/14
58
спасибо -12d3- ваши доказательства очень приятно!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group