2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Слишком простой вопрос
Сообщение07.11.2015, 06:04 
Аватара пользователя


07/01/15
1145
Задумался над одним простеньким вопросом: как доказать, что целые числа незамкнуты относительно деления? Ну, вот, например, берем 2. Как доказать, что одна вторая - не целое число?

Можно, конечно, сказать, что единица не имеет простых множителей, кроме -1 и самого себя, но это замкнутый круг.

 Профиль  
                  
 
 Re: Слишком простой вопрос
Сообщение07.11.2015, 06:50 
Аватара пользователя


27/02/12
3706

(Оффтоп)

SomePupil в сообщении #1070940 писал(а):
Как доказать, что одна вторая - не целое число?

Принять необходимость и простить оной в душе своей.
Совсем заучился, бедолага... Неужели это можно обсуждать всерьез?
Впрочем, можно разрезать яблоко на две равные части и переводить взгляд с одной половинки на другую...

Это моя реакция как неотягощенного знанием математики.

 Профиль  
                  
 
 Re: Слишком простой вопрос
Сообщение07.11.2015, 06:56 
Заслуженный участник


26/10/14
380
Новосибирск
Предположим, что $\frac{1}{2}$ - целое.
По определению, $\frac{1}{2}=1\cdot (2)^{-1}=2^{-1}$, то есть у двойки есть обратный элемент в кольце целых, обозначим его буковкой $a$.
Тогда $2\cdot a = 1$, что, из-за чётности, не выполняется ни для какого целого $a$, противоречие.

 Профиль  
                  
 
 Re: Слишком простой вопрос
Сообщение07.11.2015, 07:09 
Аватара пользователя


07/01/15
1145
Ну, хорошо, тогда рассмотрим одну третью. Четность исчезнет.
Я уже составил в уме пару таких же доказательств, но мне кажется, что они не строги.
Потому и спрашиваю.

-- 07.11.2015, 08:14 --

miflin
А ведь люди это обсуждали, причём очень серьезно. Правда, несколько сотен лет назад...
Вот доказательство Евклида/Евдокса/Тота про нерациональность корня из двух я всецело принимаю и считаю строгим. Хотелось бы так же строго обосновать сабж

 Профиль  
                  
 
 Re: Слишком простой вопрос
Сообщение07.11.2015, 07:39 
Заслуженный участник


16/02/13
4105
Владивосток
SomePupil в сообщении #1070948 писал(а):
рассмотрим одну третью. Четность исчезнет
Исчезнет чётность, появится делимость на три.
Собственно, для обсуждаемого вопроса это и не важно. Нецелости половины для него достаточно, даже если треть окажется целой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Слишком простой вопрос
Сообщение07.11.2015, 08:14 
Аватара пользователя


27/02/12
3706
Сразу приношу извинения за не слишком корректный стиль моего предыдущего поста.
Но что написано, то написано...
SomePupil в сообщении #1070948 писал(а):
Вот доказательство Евклида/Евдокса/Тота про нерациональность корня из двух я всецело принимаю и считаю строгим.

Здесь нет вопросов. Но то, что $\frac{1}{2}$ нецелое число, разве это не по определению,
а требуется доказывать?
Та крохотная доля математики, которую я изучал, лежит, в основном, в области приложений в физике,
поэтому на некоторые теоретические моменты, связанные с обоснованием, я смотрю как дикарь на зажигалку.

 Профиль  
                  
 
 Re: Слишком простой вопрос
Сообщение07.11.2015, 08:51 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
SomePupil в сообщении #1070948 писал(а):
Ну, хорошо, тогда рассмотрим одну третью.

Если $\frac13=n$, то $3\cdot n=1$, т.е. $n+n+n=1$. Как-то подозрительно...

 Профиль  
                  
 
 Re: Слишком простой вопрос
Сообщение07.11.2015, 09:11 
Заслуженный участник


16/02/13
4105
Владивосток
miflin в сообщении #1070955 писал(а):
не по определению
Мог, конечно, и забыть, но что-то я себе не представляю соответствующего определения. Определённо, это надо доказывать. При всей простоте доказательства.

 Профиль  
                  
 
 Re: Слишком простой вопрос
Сообщение07.11.2015, 10:37 
Аватара пользователя


27/02/12
3706
iifat в сообщении #1070967 писал(а):
Определённо, это надо доказывать.

Но тогда, наверное, нужно начинать с доказательства, что $1,\,2,\,3\,...\,n$ - целые числа...

 Профиль  
                  
 
 Re: Слишком простой вопрос
Сообщение07.11.2015, 10:45 
Аватара пользователя


07/01/15
1145
Значит, слева делится, справа - нет. QED.
Но все-таки остается чувство чего-то недопиленного...
Может быть, тут что-то связано с аксиомами Пеано или что-то в этом роде?

 Профиль  
                  
 
 Re: Слишком простой вопрос
Сообщение07.11.2015, 11:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
SomePupil в сообщении #1070979 писал(а):
Но все-таки остается чувство чего-то недопиленного...
Может быть, тут что-то связано с аксиомами Пеано или что-то в этом роде?

Вот вам напильник, допиливайте: см. определения натуральных и целых чисел.

 Профиль  
                  
 
 Re: Слишком простой вопрос
Сообщение07.11.2015, 11:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/09/14
4265
SomePupil,
для разбора подобных вопросов рекомендую вот эту книжку:

Ларин С.В. Числовые системы. http://mirknig.com/knigi/estesstv_nauki ... stemy.html

Что касается именно этого вопроса. На мой взгляд, схема доказательства может быть построена так:
1. Вводим понятие "меньше" на полукольце натуральных чисел ($a$ меньше $b$ если существует $c$, такое что $a+c=b$, подробнее см. у Ларина).
2. Доказываем, что произведение натуральных чисел не меньше каждого из сомножителей (это легко выводится из аксиом умножения).
3. Замечаем, что единица меньше всех остальных натуральных чисел (вытекает из определения "меньше" и из аксиом Пеано).
4. Видим, что равенство $2a=1$ ведёт к противоречию со сказанным выше.

 Профиль  
                  
 
 Re: Слишком простой вопрос
Сообщение07.11.2015, 11:17 
Аватара пользователя


07/01/15
1145
Я погуглил. Оказывается, люди постулируют, что между нулем и единицей нет целого. Значит, любое целое, по модулю превосходящее единицу, не является делителем её, ибо модуль частного в этом случае находился бы между нулем и единицей.

P. S. Интересно, что сабж оказался непосредственно связанным с упорядоченностю целых. А как обстоит дело в неупорядоченных кольцах? Обратимы ли их элементы? Но это уже другой вопрос.

-- 07.11.2015, 12:20 --

Mihr, спасибо. Ваш подход тоже катит

 Профиль  
                  
 
 Re: Слишком простой вопрос
Сообщение07.11.2015, 11:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
SomePupil в сообщении #1070988 писал(а):
А как обстоит дело в неупорядоченных кольцах? Обратимы ли их элементы?

А учебники по высшей алгебре читать не пробовали? :shock:

 Профиль  
                  
 
 Re: Слишком простой вопрос
Сообщение07.11.2015, 11:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/09/14
4265
SomePupil в сообщении #1070988 писал(а):
А как обстоит дело в неупорядоченных кольцах? Обратимы ли их элементы?

Совершенно не обязательно.

P.S. Более того, существуют кольца без единицы. В них понятие обратимости вообще теряет смысл.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 27 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group