2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.

Рассудите, чье решение правильное?
У Морозова правильно, у Перегудова правильно 17%  17%  [ 1 ]
У Морозова правильно, у Перегудова неправильно 33%  33%  [ 2 ]
У Морозова неправильно, у Перегудова правильно 33%  33%  [ 2 ]
У Морозова неправильно, у Перегудова неправильно 17%  17%  [ 1 ]
Всего голосов : 6
 
 Рассудите, кто прав: задача для волнового уравнения
Сообщение28.11.2007, 19:54 


10/03/07

473
Москва
Я прошу участников форума выступить арбитрами в следующем споре.

На форуме физфака в теме "Кажущиеся парадоксы СТО" я привел решение одной задачи для одномерного волнового уравнения
http://forum.dubinushka.ru/index.php?sh ... t&p=356294

Как можно видеть из дальнейшео развития темы, некто morozov (известный на этом форуме как МОРОЗОВ) не согласился с решением, в результате чего через некоторое время появилась тема "деформация стержня при внезапном ускорении концов", в которой Морозов привел свое решение
http://forum.dubinushka.ru/index.php?sh ... t&p=357806

Несмотря на то, что я представил конкретные возражения по решению Морозова
http://forum.dubinushka.ru/index.php?sh ... t&p=357856
http://forum.dubinushka.ru/index.php?sh ... t&p=357949

расписал все пункты претензий подробно
http://forum.dubinushka.ru/index.php?sh ... t&p=359060

а также дал Морозову конкретные ссылки для ознакомления с предметом
http://forum.dubinushka.ru/index.php?sh ... t&p=358012

содержательной дискуссии не получилось. В результате Морозов попросил меня выставить решения здесь, чтобы участники форума выступили в качестве экспертов и дали свою оценку одному и другому решениям. Что я и делаю.

Для удобства копирую исходные посты здесь. Мое решение:
Цитата:
На всякий случай написал нерелятивистскую задачу. Пусть закон движения точек троса описывается функцией x(t,s), s --- расстояние вдоль нерастянутого троса. Тогда классическая задача выглядит так
$$\begin{array}{l}x_{tt}=c^2x_{ss},\\ x(0,s)=s,\quad x_t(0,s)=0,\\ x(t,0)=at^2\!/2,\quad x(t,l)=l+at^2\!/2. \end{array} $$
Вводим новую функцию u(t,s)
$$x(t,s)=s+at^2\!/2-as(l-s)/2c^2+u(t,s).$$
(опечатка: поправлен знак в одном из членов)
Для нее получаем задачу
$$\begin{array}{l}u_{tt}=c^2u_{ss},\\ u(0,s)=as(l-s)/2c^2,\quad u_t(0,s)=0,\\ u(t,0)=0,\quad u(t,l)=0. \end{array} $$
(опечатка: поправлен знак в начальном условии)
Решение этой задачи мгновенно выписывается по формуле Даламбера
$$u(t,s)=\frac12[u(0,s-ct)+u(0,s+ct)],$$
нужно только продолжить начальное условие за границы интервала $[0,l]$ нечетным образом. Из формулы Даламбера видно, что величина u(t,s) и ее производные остаются ограниченными на всем временном интервале. Поэтому растяжение троса
$$\varepsilon=x_s=1-a(l-2s)/2c^2+u_s$$
(опечатка: поправлен знак в одном из членов)
также остается ограниченным.


Решение Морозова:
Цитата:
решение на самом деле не представляется чем-то особенным... мне даже кажется, что что-то похожее я где-то видел
извините за корявость, я не вижу смысла преподносить ЭТО как нечто...

Изображение
Изображение

Эти картинки будут периодически повторятся.
Похожа другая задача с простейшим решением. Ели мы заменим граничные условия на du/dx=0 (акустически мягкая граница). Волна при отражении будет инвертироваться и последняя картинка будет зеркальной относительно горизонтальной оси.
Картинкака также будет периодически повторятся.....
впрочем это нетрудно продолжить самостоятельно, как и решить другие подобные задачи



P. S. Прошли сутки, 61 просмотр и 0 ответов. Добавляю голосовалку. Может быть, так участникам будет легче высказаться?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.11.2007, 01:43 
Аватара пользователя


25/08/07

572
с Уралу
поглядите КАК выглядит решение в численном виде (конечные разности)... (разрыв естественно размазывается за счет сетки)

http://moro3ov.chat.ru/gif/impul.exe

эта задача эквивалентна внезапному появлению сил на концах...это намного проще и понятнее..
.
я выдал немного слишком замысловатое решение....

 Профиль  
                  
 
 Re: Рассудите, кто прав: задача для волнового уравнения
Сообщение30.11.2007, 08:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/04/07
1352
Москва
При переходе в неинерциальную систему координат уравнение будет иметь вид:
$u_{xx}-\frac 1 {c^2} u_{tt}=\frac a {c^2}
$u(x,0)=0
$u(0,t)=0
Решение до момента времени, когда начнется суперпозиция возмущений, для левого конца имеет вид:
$u(x,t)=\frac {a(t-x/c)^2} 2 - \frac {at^2} 2 для $x<ct
$u(x,t)= -\frac {at^2} 2 для $x>ct

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.11.2007, 11:31 


10/03/07

473
Москва
Процесс пошел...

За ночь удвоилось число просмотров, теперь их 133. Голосовалка, по-видимому, сработала.

Zai писал(а):
Решение до момента времени, когда начнется суперпозиция возмущений, для левого конца имеет вид:
Именно это решение приведено по ссылке
http://forum.dubinushka.ru/index.php?sh ... t&p=359060
в первом посте (пункт 5, вторая картинка и выключная формула перед ней).

 Профиль  
                  
 
 Re: Рассудите, кто прав: задача для волнового уравнения
Сообщение30.11.2007, 13:22 
Аватара пользователя


25/08/07

572
с Уралу
Zai писал(а):
При переходе в неинерциальную систему координат уравнение будет иметь вид:
$u_{xx}-\frac 1 {c^2} u_{tt}=\frac a {c^2}
$u(x,0)=0
$u(0,t)=0
Решение до момента времени, когда начнется суперпозиция возмущений, для левого конца имеет вид:
$u(x,t)=\frac {a(t-x/c)^2} 2 - \frac {at^2} 2 для $x<ct
$u(x,t)= -\frac {at^2} 2 для $x>ct


однако откуда это взялось?

у вас (нас) СКАЧКООБРАЗНАЯ сила в правой части $u_{xx}-\frac 1 {c^2} u_{tt}=\frac a {c^2}

если решать это уравнение то решение просто нулевое. при начальных условиях u=0

справа и слева фиксированные напряжения возникают и не растут надо добавить ступенчатую функцию (Хевисайда) в правой части.... $u_{xx}-\frac 1 {c^2} u_{tt}=H(t)\frac a {c^2}

сравните с численным решением
http://moro3ov.chat.ru/gif/impul.exe

Добавлено спустя 6 минут 24 секунды:

Цитата:
в первом посте (пункт 5, вторая картинка и выключная формула перед ней).


по теме, Сэр! если можно... решается именно то уравнение которое вы изволили оплевать .....

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.11.2007, 13:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Новые веяния в теории доказательств - правильным признается решение математической задачи, набравшее большинство голосов тайным голосованием! Вот она - демократия в действии. А администрация США во главе с Бушем - в восторге! :D

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.11.2007, 13:44 


10/03/07

473
Москва
2 Brukvalub
А Вы внимательно прочитайте первый пост. Там объясняется, почему вопрос о правильности приходится решать таким методом.

Кстати, почему не голосуем?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.11.2007, 13:54 
Аватара пользователя


25/08/07

572
с Уралу
Цитата:
Новые веяния в теории доказательств - правильным признается решение математической задачи, набравшее большинство голосов тайным голосованием! Вот она - демократия в действии. А администрация США во главе с Бушем - в восторге!


теперь задачи решаются тайным голосованием... А законы природы принимаются в ГД.
куда там Бушу...

Добавлено спустя 3 минуты 58 секунд:

Цитата:
некто morozov (известный на этом форуме как МОРОЗОВ) не согласился с решением


неточно, я его там просто не нашел. нет никакого решения, даже ошибочного.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.11.2007, 14:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
peregoudov писал(а):
2 Brukvalub
А Вы внимательно прочитайте первый пост. Там объясняется, почему вопрос о правильности приходится решать таким методом.
Так я не только первый пост прочитал, но и решение. И, как я понял, спор-то идет не о правильности математического решения, а о правильности той или иной записи какой-то физической задачи на языке уравнений мат. физики. Но тогда, на мой взгляд, лучше спросить об этом физиков, а не переносить свои разборки в мат. отдел, и потом удивляться, что там вяло голосуют. У нас и своих разборок с "ферматистами" хватает. А голосованием решать вопрос о правильности решения математической задачи мне кажется диким, вот я и высказался.
peregoudov писал(а):
Кстати, почему не голосуем?
Вот куплю костюм клоуна, и проголосую. Пошёл покупать...

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.11.2007, 15:38 


01/12/06
463
МИНСК
too peregudov
По-моему полученное Вами решение для u:$u(t,s)=\frac{a}{2 c^2}(sl-s^2)-\frac{1}{2}t^2$,- не удовлетворяет граничным условиям.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.11.2007, 15:47 


10/03/07

473
Москва
Brukvalub писал(а):
И, как я понял, спор-то идет не о правильности математического решения, а о правильности той или иной записи какой-то физической задачи на языке уравнений мат. физики.
Вы неправильно поняли. Спор (если это вообще можно назвать спором) идет именно о решении математической задачи. Постановка приведена в первом посте (цитата с моим решением). Что у Морозова постановка другая (и что я это прокомментировал, см. ссылки в первом посте) --- это другой вопрос. Обратите внимание на пункты голосования. Вам не предлагается сравнивать мое решение с Морозовским. Вам предлагается независимо оценить правильность одного и второго решения (пусть даже разных задач). Так что раздел форума, ИМХО, выбран правильно. Если Вы к тому же окажетесь в состоянии разобраться, какая из постановок соответствует физический ситуации (или обе не соответствуют), то будет совсем здорово.
Brukvalub писал(а):
А голосованием решать вопрос о правильности решения математической задачи мне кажется диким, вот я и высказался.
Тут Вы тоже неправильно поняли, почитайте внимательнее (возможно, стоит почитать тему на "Дубине").

Добавлено спустя 7 минут 3 секунды:

2 Андрей123
Откуда Вы взяли приведенную Вами формулу? У меня такой нет.

Граничные условия, разумеется, выполняются. Разберемся с $s=0$. Начальное условие $u(0,s)$ продолжается за границы интервала $[0,l]$ нечетным образом, то есть продолженная функция удовлетворяет соотношению
$u(0,s)=-u(0,-s)$.
Теперь возьмем решение при $s=0$
$u(t,0)=\frac12[u(0,-ct)+u(0,ct)]=0$
в силу предыдущего равенства. Случай $s=l$ рассматривается аналогично.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.11.2007, 16:03 
Аватара пользователя


25/08/07

572
с Уралу
немного уточню задачу....

$u_{xx}-\frac 1 {c^2} u_{tt}=H(t)\frac a {c^2}
H(t) - ступенчатая функция (Хевисайда)
$u(х,0)=0
$u(l,t)=0
$u(0,t)=0

и эквивалентная

$u_{xx}-\frac 1 {c^2} u_{tt}=0
H(t) - ступенчатая функция (Хевисайда)
$u(x,0)=0
$u(l,t)=H(t)\frac a {c}
$u(0,t)= - H(t)\frac a {c}

возможно с точностью до множителя

 Профиль  
                  
 
 Re: Рассудите, кто прав: задача для волнового уравнения
Сообщение30.11.2007, 16:09 


01/12/06
463
МИНСК
peregoudov писал(а):

Для нее получаем задачу
$$\begin{array}{l}u_{tt}=c^2u_{ss},\\ u(0,s)=as(l-s)/2c^2,\quad u_t(0,s)=0,\\ u(t,0)=0,\quad u(t,l)=0. \end{array} $$
(опечатка: поправлен знак в начальном условии)
Решение этой задачи мгновенно выписывается по формуле Даламбера
$$u(t,s)=\frac12[u(0,s-ct)+u(0,s+ct)],$$

$$u(t,s)=\frac12[u(0,s-ct)+u(0,s+ct)]=\frac12[a(s-ct)(l-s+ct)/2c^2+a(s+ct)(l-s-ct)/2c^2]=\frac{a}{2 c^2}(sl-s^2)-\frac{1}{2}t^2$$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.11.2007, 18:57 
Аватара пользователя


25/08/07

572
с Уралу
Цитата:
Изображение


ради бога ПОСМОТРИТЕ к какой задаче это формула
__________________________________________________________
а u у нас что будет?

смещение или коородината?
Изображение

это про координату конца, и про смещение сразу .....

откуда это начальное условие?
В начальный момент никаких напряжений (смещений) нет... девственная железка...

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.11.2007, 19:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/04/07
1352
Москва
MOPO3OB писал(а):

$u(l,t)=H(t)\frac a {c}
$u(0,t)= - H(t)\frac a {c}


Если концы стержня двигаются с постоянным ускорением, то вышеприведенные граничные условия должны это отражать.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 27 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group