2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Волновое уравнение в КР: условие устойчивости и визуализация
Сообщение04.11.2015, 16:54 


28/02/15
52
Пытаюсь составить решение уравнения колебания струны в конечных разностях и визуализировать его. Собственно, вопрос: как правильно выглядит условие устойчивости для данного уравнения, $\tau < \dfrac{h}{a}$ или $\tau\leqslant\dfrac{h}{a}$?
Если я беру $\tau = \dfrac{h}{2a}$, то график натяжения струны сползает в 0 и дальше не идёт.
Если я беру $\tau = \dfrac{h}{a}$, то график просто перемещается вдоль оси.
Значения на концах: $U^j_1=0, U^j_n=0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Волновое уравнение в КР: условие устойчивости и визуализация
Сообщение05.11.2015, 08:24 


20/03/14
12041
Просьба более полно сформулировать задачу и расшифровать все свои обозначения, - в противном случае Вы рискуете остаться без ответа.

 Профиль  
                  
 
 Re: Волновое уравнение в КР: условие устойчивости и визуализация
Сообщение05.11.2015, 12:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
byulent в сообщении #1070182 писал(а):
график просто перемещается вдоль оси.

Это правильное поведение, так и должно быть. При разных начальных условиях будут и другие варианты поведения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Волновое уравнение в КР: условие устойчивости и визуализация
Сообщение28.11.2015, 16:33 


28/02/15
52
Munin в сообщении #1070450 писал(а):
byulent в сообщении #1070182 писал(а):
график просто перемещается вдоль оси.

Это правильное поведение, так и должно быть. При разных начальных условиях будут и другие варианты поведения.

А при каком НУ график будет колебаться в привычном нам значении?

 Профиль  
                  
 
 Re: Волновое уравнение в КР: условие устойчивости и визуализация
Сообщение28.11.2015, 20:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Возьмите заранее известное решение "в привычном нам значении", и просто продифференцируйте его по времени. Это и будут начальные условия.

И всё-таки без пояснения ваши обозначения непонятны. Вы полагаете стандартным и общепонятным то, что стандартным и общепонятным не является.

При правильно работающей модели в конечных разностях, можно уменьшать шаг по времени, и ничего от этого портиться не должно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Волновое уравнение в КР: условие устойчивости и визуализация
Сообщение28.11.2015, 21:53 


28/02/15
52
Вот смотрите. У меня есть функция $u(x)=px^2+q$, где $p = -4\dfrac{u_{max}}{l^2}, q=4\dfrac{u_{max}}{l}$, $u_{max}$ - максимум функции $u(x)$, $l$ - длина струны. Тогда $U^0_i=u(x_i)$, где $x_i - hi$, $h$ - шаг по $x$, $i=1,2,3\ldots,N$, а, соответственно, $N=\dfrac{l}{h}$.
Считаем, что струна отпущена и $\dfrac{\partial{u}}{\partial{t}}=0$. Тогда $U^1_n=u(x_i)$.
Конечно-разностная схема стандартная:
$$\frac{U^{j-1}_i-2U^j_i+U^{j+1}_i}{\tau^2}=a^2\frac{U^j_{i-1}-2U^j_i+U^j_{i+1}}{h^2},$$
где $\tau$ = шаг по времени.
О граничных условиях и вопросе об условии устойчивости я уже сказал.
Собственно, вид графика с 1 условием устойчивости:
ИзображениеИзображение
Тут он движется даже, можно сказать, не по оси, а... эммм... сам по себе.
А вот со 2 (правда, тут я заменил 2 на 1.0049):
ИзображениеИзображение
Упал в 0 и дальше не идёт.
Вот я и спрашиваю, как сделать так, чтобы график не перемещался, а колебался нормально, то есть постепенно бы превращался в своё отражение в минусе, а затем опять уходил в плюс.

 Профиль  
                  
 
 Re: Волновое уравнение в КР: условие устойчивости и визуализация
Сообщение28.11.2015, 22:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Выглядит как что-то неправильно запрограммированное. Потому что картинка в любом случае должна быть симметричной по горизонтали.

 Профиль  
                  
 
 Re: Волновое уравнение в КР: условие устойчивости и визуализация
Сообщение29.11.2015, 07:23 


28/02/15
52
Munin в сообщении #1077763 писал(а):
Выглядит как что-то неправильно запрограммированное. Потому что картинка в любом случае должна быть симметричной по горизонтали.

Что насчёт программирования...
код: [ скачать ] [ спрятать ]
Используется синтаксис C++
class PhysObject
{
public:
    PhysObject(int len);
    ~PhysObject();
    double* getBeg();
    double* getNext(double *a, int n);
    int getN();
    int getU();
    double getDx();
    double getDt();
private:
    static const double dx = 0.01;
    static const double A = 1;
    static const int U = 1;
    double dt;
    int n;
    double *Ubeg;
    double *Uprev;
    double *Unext;
    double* UAllocate (int n);
};

PhysObject::PhysObject(int len)
{
    n = len/dx;
    dt = dx/(1.0049*A);
    Uprev = UAllocate(n);
    Ubeg = new double [n+1];
    for (int i=0;i<=n;i++) Ubeg[i] = Uprev[i];
    //std::cout<<std::endl;
    Unext = new double [n+1];
}

double* PhysObject::UAllocate(int n)
{
    double *a = new double[n+1];
    for (int i=0; i<=n; i++){
        double L= n*dx;
        double p=-4*U/(L*L);
        double q=4*U/L;
        double x=i*dx;
        a[i]=p*x*x+q*x;
        //a[i]=5*sin(x);
        //std::cout<<a[i] << " ";
    }
    //std::cout<<std::endl;
    return a;
}

double* PhysObject::getNext(double *a, int n)
{
    for (int i=1; i<n-1; i++){
        double k = pow(A,2)*pow(dt,2)/pow(dx,2);
        Unext[i]=k*(a[i+1]-2*a[i]+a[i-1])+2*a[i]-Uprev[i];
        Uprev[i]=a[i];
        //std::cout<<Unext[i] << " ";
    }
    Unext[0] = 0;
    Unext[n-1] = 0;
    //std::cout<<std::endl;
    return Unext;
}

int PhysObject::getN()
{
    return n;
}

int PhysObject::getU()
{
    return U;
}

double PhysObject::getDt()
{
    return dt;
}

double PhysObject::getDx()
{
    return dx;
}

PhysObject::~PhysObject()
{
    delete Ubeg;
    delete Uprev;
    delete Unext;
}

double *PhysObject::getBeg()
{
    return Uprev;
}

Что здесь неправильно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Волновое уравнение в КР: условие устойчивости и визуализация
Сообщение29.11.2015, 18:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Сдаюсь, копаться в программе мне точно лень.

 Профиль  
                  
 
 Re: Волновое уравнение в КР: условие устойчивости и визуализация
Сообщение29.11.2015, 19:05 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
byulent в сообщении #1077827 писал(а):
Что здесь неправильно?
А то его знает, копаться в таком коде тяжело. Но я могу подтвердить предположение Munin - проблема именно в реализации. Нормальная :mrgreen: программа, реализующая Ваше описание, выдает ожидаемые результаты в обоих случаях. Собственно в описании есть только одна ошибка:
byulent в сообщении #1077754 писал(а):
меня есть функция $u(x)=px^2+q$,
Должно быть $u(x) = p x^2+q x$ (в программе, кстати, это сделано правильно).

 Профиль  
                  
 
 Re: Волновое уравнение в КР: условие устойчивости и визуализация
Сообщение30.11.2015, 10:14 


28/02/15
52
Нагуглил разницу между бегущими и стоячими волнами. Похоже, моя проблемы скрывалась в этом: я хотел получить стоячую волну, а получилась бегущая. Сейчас буду думать, как смоделировать стоячую.

 Профиль  
                  
 
 Re: Волновое уравнение в КР: условие устойчивости и визуализация
Сообщение30.11.2015, 12:50 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
byulent в сообщении #1078241 писал(а):
Сейчас буду думать, как смоделировать стоячую.
Уже подумали. Еще раз повторяю - у Вас все верно в описании алгоритма, ищите ошибку непосредственно в программе.

 Профиль  
                  
 
 Re: Волновое уравнение в КР: условие устойчивости и визуализация
Сообщение30.11.2015, 14:10 


28/02/15
52
А что здесь может быть не так? Я делал всё по алгоритму. Если вы говорите, что вам якобы сложно разбирать код, то тут собственно вся модель находится в 3 методах: конструкторе, UAllocate и getNext.

 Профиль  
                  
 
 Re: Волновое уравнение в КР: условие устойчивости и визуализация
Сообщение30.11.2015, 14:44 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
byulent в сообщении #1078283 писал(а):
А что здесь может быть не так? Я делал всё по алгоритму./quote] Кто ж его знает... Делать-то Вы делали, но явно в процессе где-то ошиблись.
byulent в сообщении #1078283 писал(а):
Если вы говорите, что вам якобы сложно разбирать код, то тут собственно вся модель находится в 3 методах: конструкторе, UAllocate и getNext.
И что? Код малочитаем (об использовании ООП при численном моделировании я помолчу - цензурных слов нет), и лезть в него никому не хочется.

А так... к сообщению прицеплена анимация - результат счета по Вашему алгоритму для случая $\tau = \frac{h}{2a}$. У Вас должно получаться нечто аналогичное.


Вложения:
Комментарий к файлу: Стоячая волна - один период с небольшим хвостиком
wave.gif
wave.gif [ 1.07 Мб | Просмотров: 1590 ]
 Профиль  
                  
 
 Re: Волновое уравнение в КР: условие устойчивости и визуализация
Сообщение30.11.2015, 14:47 


28/02/15
52
Pphantom в сообщении #1078288 писал(а):
byulent в сообщении #1078283 писал(а):
А что здесь может быть не так? Я делал всё по алгоритму./quote] Кто ж его знает... Делать-то Вы делали, но явно в процессе где-то ошиблись.
byulent в сообщении #1078283 писал(а):
Если вы говорите, что вам якобы сложно разбирать код, то тут собственно вся модель находится в 3 методах: конструкторе, UAllocate и getNext.
И что? Код малочитаем (об использовании ООП при численном моделировании я помолчу - цензурных слов нет), и лезть в него никому не хочется.

А так... к сообщению прицеплена анимация - результат счета по Вашему алгоритму для случая $\tau = \frac{h}{2a}$. У Вас должно получаться нечто аналогичное.

У меня получается аналогичное, но график движется жутко медленно и доходит только до 0. Кроме того, иногда он может ВНЕЗАПНО подскочить в $+\infty$. При повторной прогонке с этими же значениями всё происходит нормально.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 37 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Karan, Toucan, PAV, maxal, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group