2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Иррациональность суммы ряда с НОКами
Сообщение02.11.2015, 17:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
Пусть $d_n=[1,2,\dotsc,n]$ — наименьшее общее кратное чисел $1,2,\dotsc,n$. Доказать, что число $\displaystyle\alpha=\sum_{n=1}^\infty\frac1{d_n}$ иррационально.

 Профиль  
                  
 
 Re: Иррациональность суммы ряда с НОКами
Сообщение02.11.2015, 18:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Ну это та же фигня, что с факториалом. Только... Ах чёрт, у нас же нет оценки хвоста.

 Профиль  
                  
 
 Re: Иррациональность суммы ряда с НОКами
Сообщение02.11.2015, 18:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
ИСН в сообщении #1069595 писал(а):
Ах чёрт, у нас же нет оценки хвоста.
Вот именно. Как раз в этом и заключается соль задачи.

 Профиль  
                  
 
 Re: Иррациональность суммы ряда с НОКами
Сообщение02.11.2015, 18:23 
Заслуженный участник


26/10/14
380
Новосибирск
Я тоже было хотел, как иррациональность $e$ доказывается: умножаем на знаменатель, сумму нецелых оцениваем сверху единичкой.
Вот только, например, $d_{35}=d_{34}=d_{33}=d_{32}=2d_{31}$, поэтому, если, например, умножать будем на $d_{31}$, там уже четыре $\frac{1}{2}$ подряд. :-(

 Профиль  
                  
 
 Re: Иррациональность суммы ряда с НОКами
Сообщение02.11.2015, 18:38 
Аватара пользователя


29/06/15
277
[0,\infty )
NSKuber в сообщении #1069601 писал(а):
Например, умножать будем на $d_{31}$, там уже четыре $\frac{1}{2}$ подряд.
5 подряд, до $d_{36}$
Какое прекрасное число, 16й знак под вопросом
Код:
1.7877804561724666

 Профиль  
                  
 
 Re: Иррациональность суммы ряда с НОКами
Сообщение02.11.2015, 18:56 
Заслуженный участник


26/10/14
380
Новосибирск
iancaple
Верно, спасибо.
Вольфрам суммирует без руганий до 1022 члена, который равен где-то $(7.58\cdot 10^{444})^{-1}$:
Код:
1.7877804561724665460649343260256627945939617472970

 Профиль  
                  
 
 Re: Иррациональность суммы ряда с НОКами
Сообщение02.11.2015, 19:44 
Заслуженный участник


04/03/09
906
Несколько сумбурная идея - сделать так, чтобы хвост начинался с номера, являющимся простым. Суммирование в хвосте разобьем по группам - от простого до следующего простого. Из постулата Бертрана у нас имеется ограничение на количество слагаемых в каждой группе. И вроде как выходит, что хвост меньше единицы.
Простите за сумбурность, под рукой ни бумажки, ни компа. Доберусь до всего этого - запишу аккуратнее.

 Профиль  
                  
 
 Re: Иррациональность суммы ряда с НОКами
Сообщение02.11.2015, 21:52 
Заслуженный участник


04/03/09
906
В общем, если аккуратно, то так.
Пусть $\displaystyle a=\alpha b = \sum\limits_{n=1}^\infty\frac{b}{d_n}$
Пусть $\displaystyle p_1$ - некоторое простое число, большее $\displaystyle b$.
Домножим равенство на $\displaystyle \frac{d_{p_1-1}}{b}$ (это число, очевидно, целое)
$\displaystyle a\frac{d_{p_1-1}}{b} = \sum\limits_{n=1}^\infty\frac{d_{p_1-1}}{d_n} = \sum\limits_{n=1}^{p_1-1}\frac{d_{p_1-1}}{d_n}+\sum\limits_{n=p_1}^\infty\frac{d_{p_1-1}}{d_n}$
Первая часть суммы целая, оценим вторую часть. Обозначим $\displaystyle \lbrace p_k\rbrace$ - последовательность простых, начиная с $\displaystyle p_1$. Из постулата Бертрана $\displaystyle p_{k+1} -p_k < p_k$.
$\displaystyle \sum\limits_{n=p_1}^\infty\frac{d_{p_1-1}}{d_n} = \sum\limits_{k=1}^\infty \sum\limits_{n=p_k}^{p_{k+1}-1} \frac{d_{p_1-1}}{d_n} \le \sum\limits_{k=1}^\infty \sum\limits_{n=p_k}^{p_{k+1}-1} \frac{d_{p_1-1}}{d_{p_k}} = \sum\limits_{k=1}^\infty  \frac{d_{p_1-1}\left(p_{k+1}-p_k \right)}{d_{p_k}}  \le  \sum\limits_{k=1}^\infty  \frac{d_{p_1-1}\left(p_k -1\right)}{d_{p_k}}$
Далее, т.к. $\displaystyle d_{p_{k+1}} \ge d_{p_{k}}p_{k+1}$, а $\displaystyle d_{p_1} = d_{p_{1}-1}p_1$, то $\displaystyle d_{p_{k}} \ge d_{p_1-1}\cdot \left(p_1 \cdot p_2 \cdot ... \cdot p_{k}\right)$
Тогда $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^\infty  \frac{d_{p_1-1}\left(p_k -1\right)}{d_{p_k}} \le \frac{p_1-1}{p_1}+\frac{p_2-1}{p_1p_2}+\frac{p_3-1}{p_1p_2p_3}+... = 1$
Почти готово, осталось только где-нибудь надыбать строгое неравенство, а то у меня в цепочке все нестрогие.

-- Пн ноя 02, 2015 22:08:20 --

Например, строгость можно получить таким образом. Пусть $\displaystyle p_{m-1} <2^l < p_m$, тогда $\displaystyle d_{m} \ge  2 p_m d_{m-1} $ и $\displaystyle \frac{d_{p_1-1}\left(p_{m} -1\right)}{d_{p_{m}}} \le \frac{p_m - 1}{2p_1p_2...p_m}=\frac{p_m - 1}{p_1p_2...p_m} - \frac{p_m - 1}{2p_1p_2...p_m}$
$\displaystyle \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{d_{p_1-1}\left(p_k -1\right)}{d_{p_k}} \le - \frac{p_m - 1}{2p_1p_2...p_m} + \frac{p_1-1}{p_1}+\frac{p_2-1}{p_1p_2}+\frac{p_3-1}{p_1p_2p_3}+... = 1 - \frac{p_m - 1}{2p_1p_2...p_m} < 1$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group