2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.
 
 Re: Вторая производная
Сообщение06.11.2015, 18:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
6591
Otta в сообщении #1070609 писал(а):
Вы знаете, таки $\Delta x$ и $dx$ - две большие разницы. Путать их не положено.

Otta в сообщении #1070602 писал(а):
Какая разница, с какими комментариями Вы к точке прибавляете дифференциальную 1-форму. :(

Простите, а что, вы считаете, что $dx$ в данном контексте - дифференциальная форма? Хорошо, а если мы напишем для второго дифференциала такое выражение $d^2f=dxdy$, то справа тоже будет дифференциальная форма? По-моему, дифференциальная форма - это что-то другое. Не могли бы прокомментировать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вторая производная
Сообщение08.11.2015, 09:37 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
мат-ламер в сообщении #1070805 писал(а):
Простите, а что, вы считаете, что $dx$ в данном контексте

В данном контексте $dx$ вообще быть не должно, и уж коли Вы его туда впихнули, то Вы и расскажите, что это такое. А так это 1-форма, да. Что-то не так?

-- 08.11.2015, 11:41 --

Munin
:) Забавная mind game. Надо будет как-нить добраться на досуге, спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вторая производная
Сообщение08.11.2015, 15:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
6591
Otta в сообщении #1070609 писал(а):
Вы знаете, таки $\Delta x$ и $dx$ - две большие разницы. Путать их не положено.

Этого я не знал. Более того, в некоторых учебниках говорится прямо противоположное (Фихтенгольц, п. 104). Дифференциал зависимой переменной есть форма возможно от дифференциалов независимой переменной, а возможно и от других символов. Форма от дифференциалов не есть дифференциальная форма. Например, второй дифференциал есть симметричная форма, и поэтому $dxdy = dydx$. Дифференциальная форма есть антисимметричная форма(относительно внешнего произведения) , и поэтому $dx\wedge dy = -dy\wedge dx$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вторая производная
Сообщение08.11.2015, 18:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407

(Оффтоп)

Otta в сообщении #1071249 писал(а):
:) Забавная mind game.

Почему mind game? Это же всё до Вейерштрасса писано, так что это вполне себе альтернативный способ построения именно того же самого - непривычный с нынешней колокольни, но не такой уж "игровой".

Просто, видимо, в этом месте математика выбрала себе одно из нескольких возможных русел.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вторая производная
Сообщение08.11.2015, 18:42 
Заслуженный участник


09/05/13
8904

(Munin)

Не, ну формализация-то явно современная.


мат-ламер в сообщении #1071332 писал(а):
Дифференциал зависимой переменной есть форма возможно от дифференциалов независимой переменной, а возможно и от других символов.

Дифференциал зависимой переменной вполне даже корректно определяется как результат внешнего дифференцирования соответствующей 0-формы.

Второй дифференциал в том смысле, в котором он чаще всего встречается в анализе - квадратичная форма на касательном пространстве, соответствующая билинейной форме второй производной. Да, это не дифференциальная форма, так никто и не обещал.

Что там у Фихтенгольца - не знаю, нет у меня его, а качать сегодня некогда и лениво. Может, позже доберусь посмотреть, - потому что такие определения надо в комплексе смотреть, цитата не поможет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вторая производная
Сообщение08.11.2015, 18:52 
Заслуженный участник


27/04/09
28128

(Дуальные числа.)

Otta
Ещё читал, что эти числа используют иногда при численном дифференцировании, хотя не помню как. (А без этого что-то не пойму: ну пускай у нас есть функция $\mathbb R\to\mathbb R$ — чёрный ящик, тогда чтобы считать её от дуального аргумента, как раз и нужно знать производную. А если я перепутал, и использование в символьном дифференцировании, то гораздо проще обойтись без дуальных чисел. Так что либо там софистикация, либо упустил какой-то ещё прикладной способ дифференцирования.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Вторая производная
Сообщение08.11.2015, 20:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Otta в сообщении #1071381 писал(а):
Не, ну формализация-то явно современная.

Это да. Но этой формализации "другое выбранное русло" не вредит.

    (Оффтоп)

    Хотя... возникла ли бы вообще современная аксиоматическая математика, если бы перед этим не была наведена строгость в анализе?..

 Профиль  
                  
 
 Re: Вторая производная
Сообщение08.11.2015, 21:08 
Аватара пользователя


11/06/12
10390
стихия.вздох.мюсли

(Munin)

Огюстен Луи Коши (ведь именно его вы считаете тем, кто навёл ту самую строгость? Не могу придумать, кого же ещё ;-), безусловно, сделал для современной математики чуть более, чем дофига. Но был ли именно он тем человеком? Давид Гильберт, например, им, конечно, не был. Он жил и работал позже и... кароч, не то, хоть и создал он свою аксиоматику в своей области...

 Профиль  
                  
 
 Re: Вторая производная
Сообщение08.11.2015, 21:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407

(Оффтоп)

На самом деле, я в Коши и Вейерштрассах, к стыду своему, путаюсь...

 Профиль  
                  
 
 Re: Вторая производная
Сообщение09.11.2015, 00:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422

(Дуальные числа.)

arseniiv в сообщении #1071384 писал(а):
Otta
Ещё читал, что эти числа используют иногда при численном дифференцировании, хотя не помню как. (А без этого что-то не пойму: ну пускай у нас есть функция $\mathbb R\to\mathbb R$ — чёрный ящик, тогда чтобы считать её от дуального аргумента, как раз и нужно знать производную. А если я перепутал, и использование в символьном дифференцировании, то гораздо проще обойтись без дуальных чисел. Так что либо там софистикация, либо упустил какой-то ещё прикладной способ дифференцирования.)
В автоматическом дифференцировании используется. Это такое символьное дифференцирование с помощью компилятора

 Профиль  
                  
 
 Re: Вторая производная
Сообщение09.11.2015, 11:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


19/12/10
1546
Otta в сообщении #1071381 писал(а):
Что там у Фихтенгольца - не знаю, нет у меня его, а качать сегодня некогда и лениво.

Видимо, имелось ввиду следующее место:
Г.М. Фихтенгольц писал(а):
Итак, дифференциал функции $y = f(x)$ всегда равен$$dy=y'_x\cdot\Delta x.\eqno(2)$$. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

В заключение остановимся на самой независимой переменной $x:$ ее дифференциалом называют именно приращение $\Delta x,$ т. е. условно полагают$$dx=\Delta x.\eqno(4)$$Если отождествить дифференциал независимой переменной $x$ с дифференциалом функции $y = x$ (в этом — тоже своего рода соглашение!), то формулу (4) можно и доказать, ссылаясь на (2): $dx=x'_x\cdot\Delta x=1\cdot\Delta x=\Delta x.$

Учитывая соглашение (4), можно теперь переписать формулу (2), дающую определение дифференциала, в виде $$dy=y'_x\cdot dx$$— так ее обычно и пишут.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вторая производная
Сообщение09.11.2015, 12:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Ну да, я, например, так и рассказываю. Первокурсникам, в первом семестре, только-только из школы. Неужели им в это время какие-то "формы" надо объяснять? Хоть внешние, хоть линейные...

 Профиль  
                  
 
 Re: Вторая производная
Сообщение09.11.2015, 12:26 
Заслуженный участник


27/04/09
28128

(Оффтоп)

Xaositect
А, теперь яснее стало! Даже вспомнил, что читал это в статье в A Neighboorhod of Infinity с кодом на хаскеле, там-то это легко сделать прозрачно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вторая производная
Сообщение10.11.2015, 00:48 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
provincialka в сообщении #1071634 писал(а):
Неужели им в это время какие-то "формы" надо объяснять? Хоть внешние, хоть линейные...

Даже и самым продвинутым первокурсникам (хоть внешним, хоть линейным) это было бы крайне неуместно. Однако и Фихтенгольц хорош. Он (видимо, для пущей внятности) постеснялся сказать, что дифференциал есть функция двух переменных. В результате внятность возросла до невозможности.

Хотя, возможно, 70 лет назад говорить так было просто не модно; не помню, меня тогда ещё не было.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вторая производная
Сообщение10.11.2015, 02:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Мегя тоже. Не было. Видимо поэтому я про две переменные говорю.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 46 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group