Задача на определение асимптотики суммы

[zcorvid]

Требуется найти асимптотику при $n \to \infty$ суммы $\sum_{k = 0}^{n}(C_{n}^{}k)^5$.

Как подступиться к этой задаче ? Для суммы квадратов легко сделать - она явно вычисляется. Находить асимптотику биномиального коэффициента $C_{n}^k$ я тоже знаю как (а значит с всех его степеней), с суммой дело обстоит хуже - очень сомнительно, что асимптотика такой суммы будет определяться самым большим биномиальным коэффициентом (например в случае суммы квадратов это попросту не так). Мне кажется, что нужно как-то разделить сумму на несколько кусков: середина (около наибольшего биномиального коэффициента) и хвосты, хвосты оценятся чем-то малым, а середина даст искомую асимптотика. Но вот по какому порогу разделить сумму (да и как, собственно, потом оцениваться) не очень понятно...

Ещё была идея заменить биномиальные коэффициенты чем-то эквивалентным, что можно проинтегрировать, и потом взять интеграл (я слышал, что поведение биномиальных коэффициентов "похоже" на функцию плотности нормального распределения с мат. ожиданием в $\frac{n}{2}$, дисперсию сейчас сходу не могу назвать, но, думаю, её не очень сложно подсчитать). Но тут возникает много вопросов из-за нестрогости: как именно заменить ? почему замена приведёт к эквивалентной функции ? (и тому подобные).

[NSKuber]

Несколькими темами ниже:
topic101918.html

(Оффтоп)

Похоже, каждый год ШАДовцы тут её спрашивают