2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Геометрическая задача
Сообщение17.10.2015, 04:36 


18/05/15
679
Условие: даны плоскость, называемая экраном, и, на некотором расстоянии от нее, точечный источник света $F$. На плоскости экрана задана ортогональная система координат $O_1\eta\zeta$. Между экраном и источником имеется другая ортогональная система координат $Oxyz$, про которую известно только то, что ее начало $O$ лежит между экраном и источником, и что точка $O_1$ является ортогональной проекцией точки $O$ на экран. Известно также, что источник $F$ лежит в плоскости $Oxy$. Пусть имеется вспомогательная точка $P$, тень от которой можно наблюдать в системе $O_1\eta\zeta$. Начальное положение точки $P$ неизвестно, но точку, с некоторым ограничением, можно переводить из одного положения в другое, последовательно смещая ее вдоль осей $x,y$ и $z$ на известные величины $\Delta x, \Delta y$ и $\Delta z$. Точку $P$ можно также вращать на любой заданный угол вокруг оси $Oz$. Ограничение выражено условием $z_P>0$, т.е. траектория точка $P$ не может пересекать плоскость $Oxy$.
Вопрос: можно ли по измерениям положения тени точки $P$ на экране определить угол $\alpha$ между осью $O_1\eta$ и линией пересечения плоскости $Oxy$ c экраном?

Мои попытки. Если бы точка $P$ лежала в плоскости $Oxy$, то для ответа на поставленный вопрос хватило бы двух измерений. Но точке $P$ запрещено быть в этой плоскости. Можно найти тень, отбрасываемую на экран осью $Oz$, но что это даст, непонятно, так как ничего неизвестно про положение оси по отношению к экрану. В общем, я пытался решить задачу аналитически, а именно выписывал выражения для проекции (тени) точки на экран и уравнения преобразования из одной системы координат в другую. Получил систему уравнений с несколькими неизвестными, которую можно было даже решить, при условии, однако, что хотя-бы что-нибудь известно. Я нашел, что если бы угол $\alpha$ был известен, то конфигурацию системы можно было бы восстановить точно по нескольким проекциям точки $P$, т.е. найти координаты источника в системе $Oxyz$, расстояние $OO_1$ и взаимное расположение систем $Oxyz$ и $O_1\eta\zeta$. Но как найти сам угол по проекциям точки и возможно ли это в принципе, так и не понял. Буду благодарен за любой совет с Вашей стороны.

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрическая задача
Сообщение17.10.2015, 11:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Смещая точку $P$ от начального положения в положения, сдвинутые по осям $x,y$ и $z,$ можно найти проекцию базиса $Oxyz$ на $O_1\eta\zeta.$ После этого, все углы находятся автоматически.

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрическая задача
Сообщение17.10.2015, 13:53 


06/12/14
510
Не думаю, что все так просто. Вот если бы были известны координаты точки в двух разных системах отсчета, тогда да. Но здесь ситуация все-таки другая - известны лишь проекции точки на плоскость. Грубо говоря, имеет место отображение из пространства большей размерности в пространство меньшей размерности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрическая задача
Сообщение18.10.2015, 15:31 


18/05/15
679
Munin в сообщении #1063641 писал(а):
Смещая точку $P$ от начального положения в положения, сдвинутые по осям $x,y$ и $z,$ можно найти проекцию базиса $Oxyz$ на $O_1\eta\zeta.$ После этого, все углы находятся автоматически.

Собственно, это именно то, что я делал. К сожалению, не получилось. В любом случае, большое спасибо за участие. Буду думать дальше:)

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрическая задача
Сообщение18.10.2015, 15:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
ihq.pl в сообщении #1063954 писал(а):
К сожалению, не получилось.

Приведите ваши выкладки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрическая задача
Сообщение19.10.2015, 19:11 


18/05/15
679
Munin в сообщении #1063969 писал(а):
ihq.pl в сообщении #1063954 писал(а):
К сожалению, не получилось.

Приведите ваши выкладки.


Писать придется однако много :D Обозначения: $O_1\eta_1 \zeta_1$ - система координат в плоскости экрана; $t,s$ и $h$ величины приращений $\Delta x, \Delta y$ и $\Delta z$ соответсвтенно; $\bold P(t,s,h)$ - радиус-вектор точки $P$ относительна начала координат $O$; $\bold F$ радиус-вектор источника света относительно того же центра; $O\xi\eta\zeta$ - новая система координат , которая получается из $Oxyz$ двумя поворотами, сначала на угол $\gamma$ вокруг оси $Oz$, а затем на угол $\beta$ вокруг оси $O\eta$. Углы $\beta$ и $\gamma$ такие, что ось $\xi$ перпендикулярна экрану. Так как ось $O\eta$ параллельна плоскости экрана и лежит в плоскости $Oxy$, то искомым углом $\alpha$ является угол между осями $O\eta$ и $O_1\eta_1$. Теперь напишу уравнения, которыми я пользовался.

В системе $O\xi\eta\zeta$ плоскость экрана задана уравнением $$\xi=d,$$ а координаты точки $P$ - функциями
$$\begin{array}{lr}\xi_P(t,s,h) = \xi_0+(t\cos\gamma+s\sin\gamma)\cos\beta - h\sin\beta, \\ 
\eta_P(t,s,h) = \eta_0 -t\sin\gamma+s\cos\gamma, \\
\zeta_P(t,s,h)= \zeta_0 + (t\cos\gamma+s\sin\gamma)\sin\beta + h\cos\beta, 
\end{array} \qquad (1)$$
где $\xi_0, \eta_0, \zeta_0$ - координаты точки $P$ в начальном положении. Проекция (тень) точки $P$ на экран задается радиус-вектором $\bold R$, $$\bold R(t,s,h)=\bold F +\left(\bold P(t,s,h)-\bold F\right) T(t,s,h), \qquad (2)$$
где $$T(t,s,h) = \frac{d-\xi_F}{\xi_P(t,s,h)-\xi_F}. \qquad (3)$$
Проекциями ортов системы $Oxyz$ на плоскость экрана будут векторы
$$\begin{array} {lr}
\mathcal P\bold e_x=\bold R(1,0,0)-\bold R(0,0,0), \\ 
\mathcal P\bold e_y= \bold R(0,1,0)-\bold R(0,0,0), \\
\mathcal P\bold e_z= \bold R(0,0,1)-\bold R(0,0,0).
\end{array}$$
Для компонент векторов $\mathcal P\bold e_x, \mathcal P\bold e_y, \mathcal P\bold e_z$ в системе координат $O\xi\eta\zeta$ имеем $$\left(\mathcal P\bold e_x\right)_\xi=\left(\mathcal P\bold e_y\right)_\xi=\left(\mathcal P\bold e_z\right)_\xi = 0,$$ $$\begin{array}{lr}
\left(\mathcal P\bold e_x\right)_\eta=\Delta_{x\eta}=-a_x\left[(\xi_0-\xi_F)\sin\gamma+(\eta_0-\eta_F)\cos\gamma\cos\beta\right], \\ 
\left(\mathcal P\bold e_y\right)_\eta=\Delta_{y\eta}=a_y\left[(\xi_0-\xi_F)\cos\gamma-(\eta_0-\eta_F)\sin\gamma\cos\beta\right], \\
\left(\mathcal P\bold e_z\right)_\eta=\Delta_{z\eta}=a_z(\eta_0-\eta_F)\sin\beta, \\
\left(\mathcal P\bold e_x\right)_\zeta=\Delta_{x\zeta}=a_x\left[(\xi_0-\xi_F)\sin\beta-(\zeta_0-\zeta_F)\cos\beta\right]\cos\gamma, \\ 
\left(\mathcal P\bold e_y\right)_\zeta=\Delta_{y\zeta}=a_y\left[((\xi_0-\xi_F)\sin\beta-(\zeta_0-\zeta_F)\cos\beta\right]\sin\gamma, \\
\left(\mathcal P\bold e_z\right)_\zeta=\Delta_{z\zeta}=a_z\left[(\xi_0-\xi_F)\cos\beta+(\zeta_0-\zeta_F) \sin\beta\right],
\end{array} \qquad (4) $$где $$a_x = \frac{(d-\xi_F)^2}{(\xi_0-\xi_F)(\cos\gamma\cos\beta+\xi_0-\xi_F)},$$ $$a_y =\frac{(d-\xi_F)^2}{(\xi_0-\xi_F)(\sin\gamma\cos\beta+\xi_0 -\xi_F)},$$ $$a_z = \frac{(d-\xi_F)^2}{(\xi_0-\xi_F)(-\sin\beta+\xi_0-\xi_F)}$$

Левые части в (4) неизвестны, потому что мы делаем измерения не в $O_1\eta\zeta$, а в системе $O_1\eta_1\zeta_1$, оси которой повернуты относительно осей системы $O_1\eta\zeta$ на неизвестный угол $\alpha$. Переходя к системе $O_1\eta_1\zeta_1$, получаем
$$\begin{array}{lr}
\Delta_{x\eta_1}\cos\alpha + \Delta_{x\zeta_1}\sin\alpha=-a_x\left[(\xi_0-\xi_F)\sin\gamma+(\eta_0-\eta_F)\cos\gamma\cos\beta\right], \\ 
\Delta_{y\eta_1}\cos\alpha + \Delta_{y\zeta_1}\sin\alpha=a_y\left[(\xi_0-\xi_F)\cos\gamma-(\eta_0-\eta_F)\sin\gamma\cos\beta\right], \\
\Delta_{z\eta_1}\cos\alpha + \Delta_{z\zeta_1}\sin\alpha=a_z(\eta_0-\eta_F)\sin\beta, \\
-\Delta_{x\eta_1}\sin\alpha + \Delta_{x\zeta_1}\cos\alpha=a_x\left[(\xi_0-\xi_F)\sin\beta-(\zeta_0-\zeta_F)\cos\beta\right]\cos\gamma, \\ 
-\Delta_{y\eta_1}\sin\alpha + \Delta_{y\zeta_1}\cos\alpha=a_y\left[((\xi_0-\xi_F)\sin\beta-(\zeta_0-\zeta_F)\cos\beta\right]\sin\gamma, \\
-\Delta_{z\eta_1}\sin\alpha + \Delta_{z\zeta_1}\cos\alpha=a_z\left[(\xi_0-\xi_F)\cos\beta+(\zeta_0-\zeta_F) \sin\beta\right].
\end{array} \qquad (5)$$
Здесь $\Delta_{x\eta_1}, \Delta_{x\zeta_1}, ...,\Delta_{z\zeta_1}$ известные значения, больше ничего неизвестно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрическая задача
Сообщение20.10.2015, 01:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Я понял, что я неправильно прочитал условия. Мой первый совет был неправильный.

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрическая задача
Сообщение20.10.2015, 02:35 
Заслуженный участник


16/02/13
4105
Владивосток
Если повернуть точку вокруг $OZ$, она опишет окружность. Тень — некий овал. Ось симметрии овала перпендикулярна искомой прямой пересечения, а проведя перпендикулярный диаметр, из соотношения «радиусов» можно, подозреваю, вычислить расстояние — но расстояние до пересечения плоскости, параллельной $OXY$, проходящей через $P$, с плоскостью экрана. Если не заданы координаты $P$, то это всё, по-моему. Кстати, если координаты не заданы, как вы сможете убедиться, что ваше движение не проведёт $P$ через $OXY$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрическая задача
Сообщение20.10.2015, 15:12 


18/05/15
679
iifat в сообщении #1064591 писал(а):
Если повернуть точку вокруг $OZ$, она опишет окружность. Тень — некий овал. Ось симметрии овала перпендикулярна искомой прямой пересечения
В этом месте у меня сомнения. Ведь можно поворачивать плоскость экрана так, чтобы линия пересечения на нем не изменялась. Например вращать экран вокруг линии пересечения, или вокруг оси, перпендикурной плоскости $Oxy$. Овал при этом будет меняться. И разве одна из его осей симметрии обязана при этом всегда оставаться перпендикулярной линии пересечения?

iifat в сообщении #1064591 писал(а):
если координаты не заданы, как вы сможете убедиться, что ваше движение не проведёт $P$ через $OXY$?
Я немного неправильно описал ограничение. Надо было так: $z_P \ge z_0 > 0$

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрическая задача
Сообщение20.10.2015, 16:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Я думаю вот в каком направлении. Надо заставить точку $P$ сходить по вершинам куба. Тогда в проекции получится не куб, а "искажённый куб", со сходящимися сторонами. Потом точки схождения его сторон (возможно, лежащие очень далеко) покажут, где плоскость экрана пересекается с линиями, выходящими из точки $F,$ и параллельными рёбрам исходного куба. Поскольку мы знаем ещё и углы между этими линиями, то точка $F$ после этого строится в пространстве однозначно, и плоскость $Oxy$ тоже.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group