2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Дополнение к основным правилам форума:
Любые попытки доказательства сначала должны быть явно выписаны для случая n=3



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.
 
 Re: Нечетные числа в ВТФ
Сообщение18.11.2015, 04:34 


18/10/15

94
Уважаемый lasta!

Начинайте доказательство.
Но, - в данном случае, - вы лишены выбора. Потому как ваше неравенство $(10)$ составлено только для случая $d=1$.
Рассудите сами.
У вас удвоен последний куб. И так как вы собираетесь определить сумму двух кубов $a^3+x^3$ и предполагаете, что сумма этих двух кубов рана только одному кубу, то это может быть только куб, следующий за $x^3$ , - это отсутствущее последнее слагаемое в ряду $1^3+2^3+…+2a^3+(a+1)^3+…+2x^3+(?)$.
Вы составили так неравенство и задали такие условия, что если у вас $d=2$, то вы уже рассматриваете равенство следующего вида $a^3+x^3=(x+1)^3+(x+2)^3$. - И так далее, так как с ростом $d$ вы увеличиваете количество невведённых в равенство последних слагаемых - последующих кубов. Но в этом случае уже не работает равенство (9). - Оно определено и работает для конечного количества суммы первых кубов. А новое выражение, - то что следует за знаком неравенства в построении $(10)$, оно составлено только для одного случая $d=1$ .
Теперь предположим, что вы смещаете $x^3$ с места последнего слагаемого, тем самым увеличивая значение $d$. Что происходит в этом случае? В этом случае вы должны поправить неравенство $(10)$. В части ряда слагаемых кубов оно должно выглядеть следующим образом $1^3+2^3+…+2a^3+(a+1)^3+…+2x^3+(x+1)^3+...+(x+d-1)^3$. И теперь ваш квадрат работает.
Ну и верхний индекс над суммой поправить соответственно.
Но для удобства я бы выразил основания кубов через одну переменную. Хотя... кому как удобно.
Вот как-то так...
И, если позволите, замечание по формулировке
lasta в сообщении #1074234 писал(а):
Суммой последовательного ряда кубов, начиная с 1, является сумма непрерывного ряда нечетных чисел, поэтому эта сумма равна квадрату.

Позволю себе не согласиться с вами, потому как мне знакомо следующее:
Поскольку сумма первых кубов равна квадрату суммы их оснований, то эту сумму первых кубов можно представить в виде суммы первых нечётных чисел, количество которых равно основанию квадрата.
Что, собственно, оказывается с точностью до наоборот. Это непосредственно касается того, что вы собираетесь сделать, - из яйца вырастить курицу или от курицы получить яйцо. :D - Без всяких споров о том, что первично...

 Профиль  
                  
 
 Re: Нечетные числа в ВТФ
Сообщение18.11.2015, 09:20 


10/08/11
671
krestovski в сообщении #1074476 писал(а):
Позволю себе не согласиться с вами, потому как мне знакомо следующее:
Поскольку сумма первых кубов равна квадрату суммы их оснований, то эту сумму первых кубов можно представить в виде суммы первых нечётных чисел, количество которых равно основанию квадрата.
Что, собственно, оказывается с точностью до наоборот. Это непосредственно касается того, что вы собираетесь сделать, - из яйца вырастить курицу или от курицы получить яйцо. :D - Без всяких споров о том, что первично...

Уважаемый krestovski!
Согласно (1) ограниченное сверху количество кубов полностью заполняет соответствующий ограниченный нечетный ряд. Любой ограниченный сверху нечетный ряд равен квадрату. Это известно и имеет простое доказательство. Основание квадрата в данном случае не $x$, а его определяет правая часть (9). $$(\frac{x(x+1)}{2})^2=(\frac{x(x+1)}{2})(\frac{x(x+1)}{2})$$ Первое число нечетного ряда, образующего квадрат, равно $(\frac{x(x+1)}{2})-((\frac{x(x+1)}{2})-1)=1$ Последнее число нечетного ряда, образующего квадрат, равно $(\frac{x(x+1)}{2})+((\frac{x(x+1)}{2})-1)= x^2+(x-1)$, что соответствует последнему нечетному числу последовательности, сумма которой определяет $x^3$ (последний куб суммы (9)).
Как видите, начинать доказательство рано. Необходимо полное понимание постановки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нечетные числа в ВТФ
Сообщение18.11.2015, 15:56 


18/10/15

94
Уважаемый lasta!

Ничего не рано. Самое время. Просто не торопитесь и исправляйте ошибки по ходу. Вот вы написали
lasta в сообщении #1074511 писал(а):
Последнее число нечетного ряда, образующего квадрат, равно $(\frac{x(x+1)}{2})+((\frac{x(x+1)}{2})-1)= x^2+(x-1)$, что соответствует последнему нечетному числу последовательности, сумма которой определяет $x^3$ (последний куб суммы (9)).
.
Теперь исправьте ошибку в (2). - В выражении общего члена ряда. Если вы прибавляете единицу для перевода числа из разряда чётных в разряд нечётных, то постоянный числовой коэффициент при переменной не может быть больше первого члена ряда. Если вычитаете единицу, - тогда да, - может.
Просто повнимательнее. Вы ведь постоянно ссылаетесь на предыдущие построения.
А по поводу квадратов... - так определителей первого и последнего члена ограниченной последовательности нечётных чисел множество. Вы выбрали такой - ваше право. Как по мне, так немного тяжеловесный. Но вы плясали от куба. Вот и всё.
И по поводу полного понимания постановки вопроса. - Поверьте, мне понятно, что, почему и как вы собираетесь делать. - Из всех ваших рассуждений. Будет не понятно, - спрошу. Тем более, что вы выбрали этот один вариант. А он ведь не один. :D

С уважением, krestovski.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нечетные числа в ВТФ
Сообщение19.11.2015, 15:42 


10/08/11
671
krestovski в сообщении #1074605 писал(а):
Теперь исправьте ошибку в (2).

Уважаемый krestovski!
(2) в порядке, так как $k=0,1,2,....$
krestovski в сообщении #1074476 писал(а):
Начинайте доказательство.

krestovski в сообщении #1074605 писал(а):
Ничего не рано. Самое время.

На форуме каждый имеет право на ошибочное доказательство Великой Теоремы. Потом бьют сильно. Я не спешу. Да и заголовок не обязывает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нечетные числа в ВТФ
Сообщение15.12.2015, 17:58 


10/08/11
671
lasta в сообщении #1074880 писал(а):
На форуме каждый имеет право на ошибочное доказательство Великой Теоремы.

Итак, $x^2=1+3+5+…..+(2x-1)$, и кубы, (степени) представимы арифметической прогрессией $x^3=xx^2=x(1+3+5+…..+(2x-1))$. При этом могут быть разные варианты по первому числу и шагу между числами, а также из каких чисел составлена прогрессия (четные, нечетные или комбинированные). Для того, чтобы сузить область, мы рассматриваем в основном нечетные числа. И в дополнении к рассматриваемому (1) добавим вариант, с первым числом 1, и с шагом между соседними числами $t>2$. Пусть
$$x^3=1+(1+t)+(1+2t)+…+(1+(x-1)t) \qquad \e(11)$$ количество единиц в правой части (11) равно $x$. Тогда $$x^3=x+\frac {(x-1)x}{2} t \qquad \e(12)$$ Оттуда $$t=\frac {(x^3-x)2}{(x-1)x}=2(x+1) \qquad \e(13) $$ Полезно показать другое доказательство этого. Шаг между числами последовательности определяется $$t=\frac {(x^2+ D)-(x^2-D)}{x-1}=\frac{2D}{x-1},\qquad \e(14)$$ где в скобках числителя соответственно последнее и первое числа последовательности, а $x-1$ - количество шагов последовательности из $x$ чисел. Пусть первое число равно 1. Тогда $D=x^2-1$ и шаг $$t=\frac {2(x^2- 1)}{x-1}=2(x+1),\qquad \e(15)$$
Таким образом, каждый куб имеет свой шаг в сумме последовательности нечетных, начинающейся с 1.
$2^3=1+7,$
$3^3=1+9+17,$
$4^3=1+11+21+31,$
$5^3=1+13+25+37+49,$
$6^3=1+15+29+43+57+71,\qquad \e(16)$
..................................................................
А разность соседних кубов образуется суммой арифметической прогрессии, к которой добавлена единица. $$(x+1)^3-x^3=1+3[ x(x+1)] \qquad \e(16)$$ Выражение в квадратных скобках разности соседних кубов можно рассматривать как удвоенное значение суммы арифметической прогрессии натурального ряда чисел. Следовательно, разности соседних кубов можно представить в виде следующих сумм
$2^3-1^3=1+6$
$3^3-2^3=1+[6+12]$
$4^3-3^3=1+[6+12+18]$
$5^3-4^3=1+[6+12+18+24]$
$6^3-5^3=1+[6+12+18+24+3] \qquad\e(17)$
……………………………
или
$2^3-1^3=1+6 $
$3^3-2^3=1+[8+10]$
$4^3-3^3=1+[10+12+14]$
$5^3-4^3=1+[12+14+16+18] $
$6^3-5^3=1+[14+16+18+20+22] \qquad\e (18)$
.......................................................
В обоих случаях добавление 1 к выражению $3[ x(x+1)]$ разрушает прогрессию. Шаг между первым и вторым числами (17), (18)отличается от шага в квадратных скобках (другая четность чисел в квадратных скобках не главное). Это позволяет сделать утверждение, что разность соседних кубов не может быть представлена прогрессией аналогичной
прогрессиям, сумма чисел которых образует куб.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нечетные числа в ВТФ
Сообщение07.01.2016, 17:57 


10/08/11
671
Всегда нечетное число - разность соседних кубов $$(y+1)^3-y^3=1+3y(y+1)=1+6\frac{y(y+1)}{2}=1+6\sum_{i=1}^y{i}=1+[6\sum_{i=1}^{x-1}{i}]+[6\sum_{i=x}^y{i}]\qquad \e (19)$$ С использованием формулы для разности соседних кубов определяется и третий куб УФ. $$x^3=1+[6\sum_{i=1}^{x-1}{i}]+(x-1)^3.\qquad \e (20)$$Тогда, согласно УФ и(19), (20) $$(x-1)^3=[6\sum_{i=x}^y{i}]=3(x+y)(y+1-x)\qquad \e (21)$$
Хотя этот вывод можно сделать короче. Согласно УФ, известная формула $$(x+y-z)^3=3(x+y)(z-x)(z-y) ,\qquad \e (22)$$ при ($z=y+1$) имеет вид $$(x-1)^3=3(x+y)(y+1-x) , \qquad \e (23)$$ Необходимо доказать, что правая часть (23) не является кубом для целых $x,y$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нечетные числа в ВТФ
Сообщение07.01.2016, 18:51 


27/03/12
449
г. новосибирск
Уважаемый Lasta! Если $[(z =y +1), 3] = 3$, то благодаря формулам Абеля

$3(x + y) = z_1^3$, а $(y +1)-x =z-x = y_1^3$, где $z = z_2z_1$, а $y =y_2y_1$

Правая часть (23) является кубом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нечетные числа в ВТФ
Сообщение07.01.2016, 20:18 


15/12/05
754
Вольфрам говорит, что решений в целых положительных числах нет.
Можно ли это решение Вольфрама считать доказательством частного случая?

http://www.wolframalpha.com/input/?i=%2 ... E3%3Dx%5E3

 Профиль  
                  
 
 Re: Нечетные числа в ВТФ
Сообщение07.01.2016, 21:01 


10/08/11
671
vasili в сообщении #1088769 писал(а):
Правая часть (23) является кубом.

Уважаемый vasili! Правая часть (23) выведена на основании УФ без всякой оговорки о существовании предполагаемого целого решения, на котором основаны формулы Абеля. Признание правой части кубом опровергало бы утверждение Ферма.

-- 07.01.2016, 22:48 --

ananova в сообщении #1088785 писал(а):
Вольфрам говорит, что решений в целых положительных числах нет.

Уважаемый ananova!
Доказательство по Вашей ссылке основывается на существовании иррациональных решений, но я не увидел в этом какой то связи с отсутствием решений в целых числах.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нечетные числа в ВТФ
Сообщение07.01.2016, 22:31 


15/12/05
754
lasta в сообщении #1088801 писал(а):
Доказательство по Вашей ссылке основывается на существовании иррациональных решений, но я не увидел в этом какой то связи с отсутствием решений в целых числах.


Почему же, он указывает, что есть решения в целых числах : -1,1 и 1,0.
Делаем вывод - больше решений нет в целых числах.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нечетные числа в ВТФ
Сообщение07.01.2016, 23:47 


27/03/12
449
г. новосибирск
Уважаемый Lasta! Каким образом опровергает утверждение Ферма? Вы ведь доказательство ведете от противного,
и ищете противоречие, чтобы доказать истинность утверждение Ферма. Если такого противоречия не находите в выбранном Вами алгебраическом выражении $(x+y-z)^3 =3(x +y)(z-y)(z-x)$ , это не значит, что Ферма не прав. Выражение $(x+y-z)^3 =3(x +y)(z-y)(z-x)$ найдено из допущения существования решения ВТФ для $n =3$.
Для частного случая ВТФ $(z = y +1)$ решение в целых не равных нулю числах $y=-1$ и $x = 1$, как нашел ananova
очевидно. В натуральных числах такого решения нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нечетные числа в ВТФ
Сообщение08.01.2016, 04:46 


27/03/12
449
г. новосибирск
Ошибся.Прошу прощения. Если $y = -1$, а $x = 1$, то $z = y + 1 =-1 + 1 = 0$.

Имеем решение $(-1,1,0)$ которое не соответствует утверждению, что не существует отличных от нуля целых рациональных чисел $x,y,z$, для которых
$x^n + y^n-z^n =0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нечетные числа в ВТФ
Сообщение08.01.2016, 10:50 


10/08/11
671
ananova в сообщении #1088819 писал(а):
Почему же, он указывает, что есть решения в целых числах : -1,1 и 1,0.
Делаем вывод - больше решений нет в целых числах.

Уважаемые ananova, vasili !!
Если учитывать тривиальные решения (когда в уравнении Ферма одна из степеней равна нулю), то решений бесконечное множество $(0,a,a)$, где $a$ - произвольное целое число. Существование двух тривиальных решений в случае соседних кубов доказывает только то, что для соседних не существует других тривиальных решений. Кроме того, в ссылке, указанной уважаемым ananova, для соседних кубов показано одно иррациональное решение, а решений бесконечно много. Достаточно указать, что все известные разности соседних кубов ни что иное как куб с иррациональным основанием.
Спасибо за указание на неточность в моей формулировке. Правильно будет, что правая часть (23) не является кубом для натуральных (1,2,3,,,,) $x,y$.

-- 08.01.2016, 12:00 --

vasili в сообщении #1088836 писал(а):
Вы ведь доказательство ведете от противного,

Я не ищу доказательство от противного. Использую Уравнение Ферма как оно есть. Сумма двух кубов равна третьему. При этом не важно есть ли решение в натуральных или иррациональных числах.

-- 08.01.2016, 12:23 --

vasili в сообщении #1088836 писал(а):
Выражение $(x+y-z)^3 =3(x +y)(z-y)(z-x)$ найдено из допущения существования решения ВТФ для $n =3$.

Это не верно. Заблуждение многих. Указанное выражение верно и при отсутствии натуральных решений (уравнение Ферма существует же).

 Профиль  
                  
 
 Re: Нечетные числа в ВТФ
Сообщение08.01.2016, 13:51 


27/03/12
449
г. новосибирск
Уважаемый Lasta! Чтобы разобраться в Вашей логике, добавим к (23) то что Вы называете уравнение Ферма

$(x-1)^3 =3(x+y)(y +1-x) + [x^3 +y^3 -(y + 1)^3]$. Как только Вы захотели решить данное выражение в целых числах, Вы должны решить: добавка в квадратных скобках равна нулю или нет. Если Вы принимаете, что она равна нулю для целых чисел, то Вы явно делаете допущение из которого вытекают формулы Абеля и куб левой части (23) становиться равным кубу правой части (23). Доказывать нечего.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нечетные числа в ВТФ
Сообщение08.01.2016, 15:52 


10/08/11
671
vasili в сообщении #1088960 писал(а):
добавим к (23) то что Вы называете уравнение Ферма $(x-1)^3 =3(x+y)(y +1-x) + [x^3 +y^3 -(y + 1)^3]$. Как только Вы захотели решить данное выражение в целых числах, Вы должны решить: добавка в квадратных скобках равна нулю или нет.

Уважаемый vasili !
На основании УФ эта добавка равна нулю всегда. Не зависимо от того существует ли решение в натуральных числах. Доказательство должно основываться не в поисках нарушения равенств по УФ (чего никогда не достичь), а в поисках нарушения свойств чисел. То есть надо доказать, что правая часть не куб для натуральных (x,y). А что это? Куб? Квадрат? Произведение простых или еще что-то? Мы не знаем. Кстати, чем хуже предположение, что правая часть есть произведение степеней простых чисел с показателями не кратными трем. Вы же предлагаете известный прием, который сразу же отметает другие предположения.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 46 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group