Две абелевы группы

[worm2]

Дано конечное множество $M$, $|M|\geqslant 2$, на котором определены две абелевы группы $(M, \circ)$ и $(M, *)$.
Всегда ли найдутся такие две различные неупорядоченные пары $(m_1, m_2)$, $(m_3, m_4)$ с элементами из $M$, что $m_1 \circ m_2 = m_3 \circ m_4$ и $m_1 * m_2 = m_3 * m_4$ ?

Переформулировка: можно ли на каком-нибудь конечном множестве (из более чем одного элемента) задать две такие абелевы группы, что пара элементов однозначно определяется по двум групповым произведениям?

На всякий случай уточню: один и тот же элемент $M$ может быть в одной группе единичным элементом, а в другой — не быть; группам не запрещается быть изоморфными друг другу (т.е. отличаться только перестановкой элементов).

[iifat]

(Оффтоп)

Берём произвольные шесть элементов множества. Имеем: $(m_1\circ m_2)\circ m_3=m_1\circ (m_2\circ m_3)$. Аналогично с другой тройкой и другой, соответственно, операцией. Для контрпримера достаточно, чтоб хоть одна из пар $m_1\circ m_2, m_3$ не совпала с $m_1, m_2\circ m_3$. Отсюда необходимое условие на обе операции: $\forall x_1\forall x_2\forall x_3 \left(x_1+x_2=x_1\wedge x_2+x_3=x_3\right)\vee\left(x_1+x_2=x_2+x_3\wedge x_1=x_3\right)$. Как-то так.

[iifat]

Ерунду написал, да. Пошёл думать дальше.

[Evgenjy]

worm2 в сообщении #1051522 писал(а):

Всегда ли найдутся такие две различные неупорядоченные пары $(m_1, m_2), (m_3, m_4) \in M^2$, что $m_1 \circ m_2 = m_3 \circ m_4$ и $m_1 * m_2 = m_3 * m_4$ ?

Если действует общий дистрибутивный закон $p\circ (q*r)=(p \circ q)*r$, то да. Есть и более слабое условие. В общем случае пока не знаю.

Замечание. Неупорядоченные пары не являются элементами $M^2$, т. е. множества упорядоченных пар. Неупорядоченные пары являются элементами фактора $M^2/\sim$, где $\sim$ есть эквивалентность $(m_1, m_2)\sim(m_2, m_1)$.

[Evgenjy]

Evgenjy в сообщении #1052001 писал(а):

Если действует общий дистрибутивный закон $p\circ (q*r)=(p \circ q)*r$

Извините, должно быть так. Если действует общий ассоциативный закон: $p\circ (q*r)=(p \circ q)*r$

[worm2]

Evgenjy, спасибо, поправил.

[worm2]

Напишу, докуда я дошёл.
Если такая пара групп и существует, то их порядок не меньше 8.

Можно показать, что для группы порядка 3, состоящей из трёх различных элементов $a$, $b$, $c$, всегда выполняется $ab=c^2$, поэтому, сколько бы групп мы ни брали, мы никогда не сможем определить операнды по результату.

Для любой группы порядка 4 из различных элементов $a$, $b$, $c$, $d$ из трёх равенств $ab=cd$, $ac=bd$, $ad=bc$ верно как минимум два. Поэтому у любой пары групп как минимум одно из этих равенств совпадёт, т.е. всегда будет коллизия, не позволяющая определить операнды. Тут уже можно привести пример трёх групп, в которых по результатам трёх групповых операций операнды восстанавливаются однозначно.

Для порядков 5, 6 и 7 был применён компьютерный перебор, достаточно простой из-за того, что все абелевы группы таких порядков — циклические. Выяснилось, что у любой пары групп порядка 5 как минимум две коллизии (т.е. найдутся две такие четвёрки элементов $a_i, b_i, c_i, d_i$, что $a_i\circ b_i=c_i\circ d_i$, $a_i*b_i=c_i*d_i$, $i=1,2$). То же самое верно для групп порядка 6. Для любых двух групп порядка 7 как минимум 6 коллизий.

[arseniiv]

(Оффтоп)

Evgenjy в сообщении #1052001 писал(а):

Неупорядоченные пары являются элементами фактора $M^2/\sim$, где $\sim$ есть эквивалентность $(m_1, m_2)\sim(m_2, m_1)$.

Если допускать неупорядоченные пары из одинаковых элементов. Иначе $\left(M^2\setminus {=}_M\right)/\sim$, конечно, где ${=}_M$ — диагональ $M^2$.

[iifat]

worm2 в сообщении #1058068 писал(а):

все абелевы группы таких порядков — циклические

всё вот пытаюсь осознать, группа из 6 элементов должна бы, вроде, распадаться в прямое произведение 2 и 3, не? Например, если в качестве элемента взять пару, где первый элемент 0 либо 1, второй 0, 1 либо 2. Ах да, всё равно циклическая.
Что-то вот крутится в голове — конечная группа обязана распадаться в прямое произведение групп по количеству (и кратности) простых сомножителей, но что из того вытекает — непонятно

[worm2]

iifat писал(а):

конечная группа обязана распадаться в прямое произведение групп по количеству (и кратности) простых сомножителей

Да, любая конечная абелева группа может быть разложена в прямую сумму своих циклических подгрупп, порядки которых являются степенями простых чисел. Но эта прямая сумма вполне может оказаться циклической. Например, в случае, если её порядок является произведением двух различных простых чисел.