Решил найти в Интернете все поверхности постоянной средней кривизны
в трехмерном Евклидовом пространстве. Получил список, в который, помимо сферы, вошли различные цилиндры и торы, ундулоиды и твиззлеры (поверхности Ш.Делоне), триноиды (и вообще, k-ноиды), нодоиды, бублетоны, поверхности Смита, а так же их различные комбинации. Наиболее полно они представлены, например, в
http://www.gang.umass.edu и
http://www.math.uni-tuebingen.de/ab/Geo ... t/gallery/.
Насколько я понял, все они получены аналитическим конструированием, поэтому их список, по-видимому, будет еще пополняться.
Однако, здесь ни разу не встретилось упоминания о поверхностях, которые меня давно интересуют, а именно - свободная поверхность капли жидкости, не обладающей смачиванием, деформированной жесткими стенками в невесомости и без инерционных сил. Известно, что в таких условиях поверхность имеет постоянную среднюю кривизну и вполне имеет право быть в вышеуказанном списке.
Если классифицировать такую поверхность, то она единственная является выпуклой гладкой ограниченной поверхностью с краем (условие выпуклости выполняется, если каплю деформировать плоскими стенками). Вот изображение некоторых из них:
http://4put.ru/pictures/max/1115/3425945.gifhttp://4put.ru/pictures/max/1115/3425946.gifhttp://4put.ru/pictures/max/1115/3425947.gifhttp://4put.ru/pictures/max/1115/3425948.gifМатематическое исследование таких поверхностей облегчается тем, что они имеют наглядную физическую интерпретацию и подчиняются физическим законам. Например, возьмем каплю, сжатую двумя параллельными стенками, и рассечем ее посередине плоскостью, параллельной сжимающим поверхностям. Составив уравнение равновесия одной из частей, придем к дифференциальному уравнению, решением которого будет образующая поверхности вращения.
Известно, что капля жидкости в свободном состоянии имеет форму шара. Расчеты некоторых частных случаев показывают, что работа, затраченная на деформацию капли, переходит в увеличение ее поверхности (рассматривается только идеальная жидкость). Зная это, мы легко приходим к решению изопериметрической задачи - из всех равновеликих форм шар имеет наименьшую поверхность, ведь любая его деформация требует затраты работы и приводит к увеличению поверхности.
Здесь же наглядно иллюстрируется, что если поверхность постоянной средней кривизны замкнута - это шар, поскольку любое отклонение формы от сферической требует приложения внешних сил, а это лишает свободную поверхность капли замкнутости.
Рассматриваемая жидкостная аналогия позволяет выявить некоторые общие свойства выпуклых ограниченных поверхностей постоянной средней кривизны с краем, ограничивающих определенный объем:
- площадь поверхности находится в обратной зависимости от средней кривизны;
- поверхность должна иметь не менее 2-х краев;
- если контур края - плоская кривая, то его плоскость касательна к поверхностиво всех точках края;
и др.
В заключение напомню, что подобную поверхность рассматривал А.В.Погорелов в своей работе
http://www.mathnet.ru/links/0a881288a0b ... zm2242.pdf.
Таким образом, как мне кажется, эти поверхности незаслуженно обойдены вниманием геометров.
Ваше мнение?
