Несколько вопросов по сложной математической модели

[Atom001]

Цитата:

Математическая модель генерации искусственной ЭКГ. На основании аналитического решения одного из дифференциальных уравнений, рассмотренного в работе [10] с использованием приема, описанного в [6], разработана генеративная модель порождения искусственной ЭКГ в виде

$$Z_m(t)=\sum\limits_{i\in\{P,Q,R,S,ST,T\}}^{}\tilde A_i[m]\cdot \exp \left[-\frac{(t-\tilde\mu_i[m])^2}{2(\tilde b_i[m])^2}\right]+h(t), m=1,2,...,N$$

Где,

$$\tilde A_i[m]=A_i(1+\alpha_i[m])$$

$$\tilde \mu_i[m]=\mu_i(1+\delta_i[m])$$

$$\tilde b_i[m]=\left\{ \begin{array}{lcl} b_i^{(1)}(1+\varepsilon_i^{(1)}[m]), t\leqslant\mu_i[m]\\ b_i^{(2)}(1+\varepsilon_i^{(2)}[m]), t>\mu_i[m]\\ \end{array} \right.$$

Параметры $A_i$ и $\mu_i$ определяют амплитуды и моменты времени, когда $i $-й информативный фрагмент эталона принимает экстремальное значение, а параметры $b_i^{(1)}$ и $b_i^{(2)}$ при $b_i^{(1)} $\ne$ b_i^{(2)}$ позволяют генерировать несимметричные информативные фрагменты, в том числе, моделировать симметризацию зубца $T$ под действием нагрузок, что, как показано в работе [1], несет дополнительную диагностическую ценность при выявлении начальных признаков ишемической болезни сердца.
Внутренние возмущения моделируются случайными искажениями параметров $\tilde A_i $, $\tilde\mu_i$ и $\tilde b_i [m]$, для определения которых используются последовательности реализаций независимых одинаково распределенных случайных величин $\alpha_i[m]$, $\delta_i[m]$, $\varepsilon_i^{(1)}[m]$ , $\varepsilon_i^{(2)}[m]$ с нулевыми математическими ожиданиями и ограниченными дисперсиями, а внешние возмущения моделирует аддитивная функция $h(t)$ .

Это выдержка из одной статьи про математическое моделирование сигналов ЭКГ. Лично для меня это пока всё очень сложно. Поэтому главный вопрос темы: а можно ли как нибудь упростить эту функцию, чтобы там не было неких "случайных величин", или на этом базируется модель, и проще здесь уже ничего не сделаешь? Потому что я не знаю, что такое "одинаково распределённые случайные величины с нулевыми математическими ожиданиями и ограниченными дисперсиями"? И подозреваю, что узнать это в ближайшее время точно не получится, так как очень уж страшная формулировка.
Ну и плюс несколько технических вопросов:
1) $h(t)$ - это аддитивная функция, которая моделирует внешние возмущения. Что это значит? Это какая-то общеизвестная функция? Если аддитивных функций много, то можно подставить любую? Или важна какая-то конкретная? Авторы, увы, ничего об этом не пишут.
2) Каков смысл у параметра $m$? Как вообще происходит суммирование. Ну вот мы взяли $i=P$, значит вместо всех индексов $i$ мы ставим индекс зубца $P$. Но теперь $m$ пробегает ряд значений, а значит и зависящие от него (от $m$) величины тоже пробегают некий ряд значений. И так для каждого $i$. Выходит, что каждое слагаемое суммы пробегает определённый ряд значений. Чему же в таком случае равна сумма?
3) Что такое $N$? В статье об этом нет ни слова. Но может быть вы догадаетесь?

[Denis Russkih]

Atom001 в сообщении #1045328 писал(а):

Что такое $N$? В статье об этом нет ни слова. Но может быть вы догадаетесь?

Рискну предположить, что $m=1,2,...,N$ означает последовательность натуральных чисел, только и всего. :)

[arseniiv]

Да, кто рискует, тот иногда тоже не пьёт шампанского.

Atom001
Если $Z_m$ — это интересующий сигнал, то $m$ — номер датчика, может быть? Когда снимают ЭКГ, ставят несколько, и сигнал, соответственно, не один.

[iifat]

arseniiv в сообщении #1045365 писал(а):

Да, кто рискует, тот иногда тоже не пьёт шампанского

Эээ... В смысле?

Denis Russkih в сообщении #1045336 писал(а):

Рискну предположить

Да никакого, имхо, риска. Написано ж. Это автор статьи рискует, а мы-то, читатели, можем хлебнуть шампанского безо всякого риска.

arseniiv в сообщении #1045365 писал(а):

$m$ — номер датчика, может быть?

Разумеется, может, но при чём тут интерпретация $m$? Мне показалось, ТС о ней не спрашивал, не?

Atom001 в сообщении #1045328 писал(а):

Как вообще происходит суммирование

Это вопрос? Сумирование происходит по $i$. Значения $i$ перечислены под суммой. Результат суммирования — $N$ функций $Z_m(t)$. Вы ж читайте, всё это написано.

Atom001 в сообщении #1045328 писал(а):

Что такое $N$?

Судя по формуле, натуральное число. Возможно, означающее количество датчиков. Либо вы таки пропустили его описание в статье, либо формула берётся из другой статьи, а в этой на неё ссылка.

Atom001 в сообщении #1045328 писал(а):

чтобы там не было неких "случайных величин"

Вы странно представляете себе ЭКГ.

Atom001 в сообщении #1045328 писал(а):

Потому что я не знаю, что такое "одинаково распределённые случайные величины с нулевыми математическими ожиданиями и ограниченными дисперсиями"? И подозреваю, что узнать это в ближайшее время точно не получится, так как очень уж страшная формулировка

Хм. А придётся. Если, конечно, вариант стереть статью с диска, а место тщательно затереть до невозможности восстановления вам не подходит.

[Atom001]

Denis Russkih в сообщении #1045336 писал(а):

Рискну предположить, что $m=1,2,...,N$ означает последовательность натуральных чисел, только и всего. :)

arseniiv в сообщении #1045365 писал(а):

Если $Z_m$ — это интересующий сигнал, то $m$ — номер датчика, может быть?

Спасибо! Я о датчиках вообще и не думал.

iifat в сообщении #1045370 писал(а):

Мне показалось, ТС о ней не спрашивал, не?

Нет, как раз именно это мне и нужно было.

iifat в сообщении #1045370 писал(а):

Это вопрос?

Уже нет, потому что был выяснен смысл $m$.

iifat в сообщении #1045370 писал(а):

Либо вы таки пропустили его описание в статье, либо формула берётся из другой статьи, а в этой на неё ссылка.

Скорее всего описание в другой статье.

iifat в сообщении #1045370 писал(а):

Вы странно представляете себе ЭКГ.

Почему? Нет, ну я, конечно, не кардиолог и представляю себе работу сердца на базово-поверхностном уровне, да и читать ЭКГ умею только самые распространённые. Но всё-таки какую роль там играют "случайные величины".
В сердце (если в норме - в синусе, в правом предсердии) генерируется электрический сигнал, который по всяким проводящим каналам движется к желудочкам. Ещё в АВ-узле сигнал тормозится на время. Это схема работы сердца в первом приближении, вроде бы. Что здесь случайного? Импульс в СА-узле генерируется (в норме) вполне определённый, время прохождения разных участков сердца (опять же в норме) тоже заранее можно определить.

iifat в сообщении #1045370 писал(а):

Хм. А придётся. Если, конечно, вариант стереть статью с диска, а место тщательно затереть до невозможности восстановления вам не подходит.

Ну значит, буду разбираться. Я давно хотел теорию вероятностей изучить. А вариант со стиранием мне не подходит.


А что же всё-таки такое аддитивная функция? Опять это в другой статье могло мыть описано?

[ex-math]

Аддитивная -- это та, которая прибавляется.
На самом деле тут больше умных слов, чем сложности. Обычная эмпирическая подгонка.

[Atom001]

ex-math в сообщении #1045378 писал(а):

Аддитивная -- это та, которая прибавляется.

Спасибо! Понял.

ex-math в сообщении #1045378 писал(а):

Обычная эмпирическая подгонка.

А как это? То есть мы просто берём одну функцию, подставляем и смотрим, похож ли сигнал на ЭКГ. Если, да то $h(t)$ найдена. Если нет, то подставляем другую функцию. Так?


И ещё спрошу про случайные величины. Как их реализовать на компьютере? Можно ли их задать рандомом? И если можно, то в каких пределах задавать функцию рандома?

[Nemiroff]

Atom001 в сообщении #1045379 писал(а):

И ещё спрошу про случайные величины. Как их реализовать на компьютере? Можно ли их задать рандомом?

Вопрос неясен. Если вопрос об аппаратной части "как на машине получить хорошие случайные числа" — то это само по себе проблема. Разные реализации аппаратуры и ПО действуют по-разному.
Если вы о каком-то языке программирования, то там наверняка есть функция генерации случайного числа.

[Atom001]

Nemiroff в сообщении #1045380 писал(а):

Если вы о каком-то языке программирования, то там наверняка есть функция генерации случайного числа.

Да. Пусть в некотором языке программирования функция генерации случайного числа выглядит так - random(a;b). Где параметры a и b задают отрезок $[a;b]$. И именно из этого отрезка и выбираются случайные числа.
Чтобы назначить переменную случайной величиной, используется следующая команда - x=random(a;b)
Какие нужно выбрать a и b для указанной модели ЭКГ? Чем больше отрезок, тем лучше? Можно ли взять ноль? Можно ли включить в отрезок отрицательные числа?

[Nemiroff]

Вы что-то страшное говорите.
Значит так, случайные величины бывают разные. Как функции.
Так вот, когда вы говорите про числа из отрезка, вы скорее всего говорите про целые числа.
Если мы берём конечный набор целых чисел и вынимаем из набора какое-то число, причём любое число будет выбрано с одной и той же вероятностью, то это дискретное (потому что числа целые) равномерное (потому что одна и та же вероятность) распределение.
Соответственно, правильная монетка, падая, даёт нам реализацию дискретной равномерно распределенной случайной величины.

Можно делать иначе. Бросаем игральный кубик — если выпала единица, то пишем на бумажке 1, если выпала не единица, то пишем на бумажке 2. Это тоже случайная величина. Она тоже дискретная. Но при этом не равномерно распределённая.

Так вот, когда говорят о рандоме в компьютере, то чаще всего (вот надеюсь, не вру) "кирпичиком", из которого мы будем получать случайные величины является непрерывное равномерное распределение. Даже, возможно, с отрезка $[0,1]$. Что это значит — мы бросаем "монетку" — каждая реализация "броска" даёт нам действительное число с отрезка $[0,1]$, при этом для отрезка любой длины $a$ верно, что если он целиком лежит в $[0,1]$, то вероятность того, что реализация будет принадлежать этому отрезку такая же, какова она для любого другого отрезка длины $a$, принадлежащего целиком $[0,1]$.
Я сложно написал, но тут тяжело говорить про "равновероятность выпадения любого числа с отрезка" (точнее, говорить легко, но бесполезно), поэтому приходится говорить про каждый отрезок.

Так вот в языках программирования реализован именно такой "рандом". А другие случайные величины могут быть получены из непрерывного равномерного путём различных вычислений.

[Atom001]

Nemiroff в сообщении #1045382 писал(а):

Так вот в языках программирования реализован именно такой "рандом". А другие случайные величины могут быть получены из непрерывного равномерного путём различных вычислений.

А! Вот как. Всё оказалось несколько сложнее, чем я думал.
Спасибо за объяснения!

[ex-math]

Atom001
Хоть там и пишут про какое-то дифференциальное уравнение, но все это выглядит как взятые с потолка функции с множеством параметров, которые варьируются до получения желаемого результата.

[Nemiroff]

Atom001 в сообщении #1045328 писал(а):

одинаково распределённые случайные величины с нулевыми математическими ожиданиями и ограниченными дисперсиями

Ну и соответственно.
Прочитать определения можно в Википедии.

Величин много — как если бы бросали много монеток.
Величины одинаково распределены — как если бы все монетки были неотличимы (все монетки правильные).
Математическое ожидание — это "среднее". Если "решке" присваивать число $-1$, а "орлу" $1$, то, интуитивно, "среднее" при большом числе бросаний будет $0$. Если "решке" присваивать число $0$, а "орлу" $1$, то средним будет $0.5$. Собственно, это две разные (хоть и обе являются дискретными равномерно распределёнными) случайные величины. Среднее при этом не обязано само выпадать или даже в принципе мочь выпадать.
Нулевое математическое ожидание — равно нулю. То есть, среднее при большом количестве испытаний равно нулю.
Дисперсия — это мера отклонения от среднего. Маленькая дисперсия — все реализации случайной величины близки к среднему, большая дисперсия — далеки от среднего.
У нас много случайных величин, ограниченность их дисперсий (у них у всех одно распределение, а потому одна и та же дисперсия) требуется для некоторых математических теорем, позволяющих "суммировать" и "усреднять" большое количество случайных величин.

[Atom001]

ex-math в сообщении #1045384 писал(а):

Хоть там и пишут про какое-то дифференциальное уравнение, но все это выглядит как взятые с потолка функции с множеством параметров, которые варьируются до получения желаемого результата.

Одним словом, ерунда какая-то. Надо искать что-то более серьёзное.

Nemiroff в сообщении #1045385 писал(а):

Величин много — как если бы бросали много монеток.
Величины одинаково распределены — как если бы все монетки были неотличимы (все монетки правильные).
Математическое ожидание — это "среднее". Если "решке" присваивать число $-1$, а "орлу" $1$, то, интуитивно, "среднее" при большом числе бросаний будет $0$. Если "решке" присваивать число $0$, а "орлу" $1$, то средним будет $0.5$. Собственно, это две разные (хоть и обе являются дискретными равномерно распределёнными) случайные величины. Среднее при этом не обязано само выпадать или даже в принципе мочь выпадать.
Нулевое математическое ожидание — равно нулю. То есть, среднее при большом количестве испытаний равно нулю.
Дисперсия — это мера отклонения от среднего. Маленькая дисперсия — все реализации случайной величины близки к среднему, большая дисперсия — далеки от среднего.
У нас много случайных величин, ограниченность их дисперсий (у них у всех одно распределение, а потому одна и та же дисперсия) требуется для некоторых математических теорем, позволяющих "суммировать" и "усреднять" большое количество случайных величин.

Спасибо!

[grizzly]

Atom001 в сообщении #1045376 писал(а):

А что же всё-таки такое аддитивная функция?

Посмотрите статью "Аддитивность" в Вики. Имеется в виду, что $h(t_1+t_2)=h(t_1)+h(t_2)$. Это может иметь значение при рассмотрении $Z_m(t_1+t_2)$.