2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Обратные расстояния в треугольнике
Сообщение25.09.2012, 07:17 
Аватара пользователя


22/09/08
174
Рассмотрим точку внутри треугольника и будем интересоваться суммой
$$S = \frac 1 d_1 +\frac 1 d_2 + \frac 1 d_3,$$ где $d_i$ - расстояния от точки до сторон треугольника.
Эта сумма связана с некоторыми физическими приложениями.
Например, если линии, на которых лежат стороны, это автодороги, то $S$ пропорционально уровню шума в точке.
Численные опыты показывают, что $S$ всегда имеет единственный минимум внутри треугольника.
(Если треугольник - это лес в окружении дорог, то актуален вопрос, где тише всего).
Для правильного треугольника точка минимума, конечно, совпадает с центром.
Для неправильного координаты минимума можно найти аналитически, но довольно громоздко.
Очень интересно, существуют ли чисто геометрические рассмотрения этой суммы, а особенно положения точки минимума?

 Профиль  
                  
 
 Re: Обратные расстояния в треугольнике
Сообщение25.09.2012, 09:28 
Заморожен


20/12/10
5623
Пусть $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ --- углы треугольника. Проведём через данную точку чевианы; пусть они делят стороны в отношениях $\lambda$, $\mu$, $\nu$. Тогда минимум будет при
$$
\lambda=\sqrt{\frac{\sin{\alpha}}{\sin{\beta}}}, \quad
\mu=\sqrt{\frac{\sin{\beta}}{\sin{\gamma}}}, \quad
\nu=\sqrt{\frac{\sin{\gamma}}{\sin{\alpha}}}.
$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Обратные расстояния в треугольнике
Сообщение25.09.2012, 10:11 
Заслуженный участник


14/01/11
1028
Кстати, воспользовавшись неравенством Коши-Буняковского, можно увидеть, что расстояния от искомой точки до сторон треугольника удовлетворяют равенствам: $\sqrt{a}d_1=\sqrt{b}d_2=\sqrt{c}d_3$, где $a, b, c$ - стороны треугольника. Т.е. трилинейные координаты $\frac{1}{\sqrt{a}}:\frac{1}{\sqrt{b}}:\frac{1}{\sqrt{c}}$. Странно, но мне не удалось найти ничего подобного в энциклопедии центров треугольника Кларка Кимберлинга, содержащей свыше 5000 различных центров.

 Профиль  
                  
 
 Re: Обратные расстояния в треугольнике
Сообщение25.09.2012, 13:57 
Аватара пользователя


22/09/08
174
Огромное спасибо, очень содержательные ответы!
Действительно, я тоже был удивлён, что нигде не рассматриваются суммы степеней расстояний до сторон и их экстремумы.
Где-то попадалось нечто про сумму первых степеней $d_1 +d_2+d_3$. Сам доказал, что она одинакова для всех внутренних точек правильного треугольника.
Численно вроде видно, что все суммы отрицательных степеней имеют строгие минимумы. Остальное как-то непонятно...

 Профиль  
                  
 
 Re: Обратные расстояния в треугольнике
Сообщение25.09.2012, 14:07 
Заслуженный участник


11/05/08
30617
Lesobrod в сообщении #623313 писал(а):
Численно вроде видно, что все суммы отрицательных степеней имеют строгие минимумы. Остальное как-то непонятно...

Не только численно. Обратное расстояние до каждой из сторон есть выпуклая функция. Правда, выпуклая лишь нестрого, но строгость нарушается только на прямых, параллельных данной стороне, а на любых других прямых остаётся строгой. Поэтому сумма любых двух таких расстояний (тем более всех трёх) есть уже функция строго выпуклая. А поскольку на границе треугольника эта функция обращается в бесконечность -- внутри треугольника у неё есть ровно один строгий минимум.

 Профиль  
                  
 
 Re: Обратные расстояния в треугольнике
Сообщение26.09.2012, 08:23 
Заслуженный участник


14/01/11
1028
Пусть нам надо найти расстояния $x, y, z$ от точки, лежащей внутри треугольника, до его сторон $a, b, c$ соответственно, такой, что $x^n+y^n+z^n \rightarrow \min$. Пусть $S$ - площадь треугольника. Тогда $ax+by+cz=2S$. Находим условный экстремум и видим, что $x:y:z=a^\frac{1}{n-1}:b^\frac{1}{n-1}:c^\frac{1}{n-1}$ при $n \neq 1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Обратные расстояния в треугольнике
Сообщение26.09.2012, 08:48 


23/01/07
3065
Новосибирск
Lesobrod в сообщении #623225 писал(а):
Например, если линии, на которых лежат стороны, это автодороги, то $S$ пропорционально уровню шума в точке.

Для уровней шумов, наверное, лучше учитывать квадраты расстояний до дорог.

 Профиль  
                  
 
 Re: Обратные расстояния в треугольнике
Сообщение26.09.2012, 08:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
12558
Это для точечного источника шума. А для прямой дороги, может быть, и нет. Если поинтегрировать, то как раз останется расстояние в минус первой и угол, под которым видно дорогу :?: Если участок дороги достаточно длинный по сравнению с расстоянием до неё, то как раз и получается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Обратные расстояния в треугольнике
Сообщение26.09.2012, 14:02 
Заслуженный участник


14/01/11
1028
gris в сообщении #623542 писал(а):
Если поинтегрировать, то как раз останется расстояние в минус первой и угол, под которым видно дорогу


Если считать дорогу бесконечно длинной прямой линией, излучающей постоянную мощность звука на единицу длины, звуковая интенсивность будет в точности обратно пропорциональна расстоянию до дороги; вывод полностью аналогичен нахождению поля бесконечной равномерно заряженной нити.

 Профиль  
                  
 
 Re: Обратные расстояния в треугольнике
Сообщение26.09.2012, 15:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
12558
Sender А я о том же. Если дорога бесконечная, то угол всегда будет равен пи, и останется только расстояние в минус первой степени с постоянным коэффициентом, что и есть обратная пропорциональность. Угол получается от суммы арктангенсов.
Просто если действительно минимизировать уровень шума в равномерно шумящем треугольнике (без учёта интерференции и прочих факторов :-) ), то будет ли это другая точка?

 Профиль  
                  
 
 Re: Обратные расстояния в треугольнике
Сообщение18.05.2013, 01:40 


15/04/10
776
г.Москва
Все то у вас хорошо, только в жизни дороги треугольником - редкость
типовой случай прямоугольник дорог со сторонами a, b
интенсивности источников каждой дороги $I_1,I_2,I_3,I_4$
тогда если $x,y$- координаты оптимальной точки внутри прямоугольника то условие $\min(\frac{I_1}{x}+\frac{I_2}{a-x}+\frac{I_3}{y}+\frac{I_4}{b-y})$
выполнено при $x=\frac{I_1a}{I_1+I_2}$ $y=\frac{I_3b}{I_3+I_4}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Обратные расстояния в треугольнике
Сообщение30.03.2015, 20:06 


25/08/11
955
Интересные вопросы. А приложения про шум где-то описаны в литературе, или другие приложения подобных задач со степенями расстояний? (про задачу Штейнера я знаю).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group