2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3
 
 Re: Формулы и теоремы - запоминать или выводить?
Сообщение27.05.2013, 12:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
kda_ximik в сообщении #728870 писал(а):
Munin! Извините, но Вы меня обижаете! Мы сейчас говорили о школьной программе, а не об "аффинных преобразованиях".

Вот я как раз про школьную программу и говорю. Мне, помнится, приходилось решать задачи, включающие в себя построение описанной или вписанной окружности, или следствие из её существования и единственности. А для этого на самом деле нужна эта теорема. Хотя, школьников не учат произносить чётко и аккуратно "построим описанную окружность (по теореме 12.4.5 такая существует и единственна)..."

А при аффинных преобразованиях окружности, кстати, преобразуются в эллипсы :-) Вокруг каждого треугольника можно описать уже бесконечно много эллипсов, (кстати, сколькипараметрическое семейство?). И высоты превращаются в не высоты. Так что, я явно не об них :-)

kda_ximik в сообщении #728870 писал(а):
А что касается применения той или иной теоремы, так могу сказать, что ученик при виде цитаты "в треугольник вписана окружность" не копается в голове в поисках теоремы "в правильный многоугольник можно вписан можно вписать окр-ть, при том только одну", а сразу строит из центра окр-ти радиус в точку касания и тут же рисует на бумаге $S=rp$.

$S=r\pi,$ вы хотели сказать? $S=r\pi$ Update: пардон, я неправ!!!
Да, ученик не копается. Но на каком-то этапе объяснить ему, что это он на самом деле "срезает углы", а на самом деле тут подразумеваются вполне конкретные строгие рассуждения, - нужно.

Кстати, центр этой вписанной окружности ещё надо найти, как и точку касания. Как ваши ученики чертят биссектрисы на заданном чертеже: циркулем и линейкой, или складыванием бумаги пополам? :-)

-- 27.05.2013 13:37:23 --

kda_ximik в сообщении #728870 писал(а):
Но в тоже время очень важно акцентировать внимание не только на то, что выделено в учебнике, но и на то, что ученик будет применять при решении задач как на уроке, так и при сдаче экзаменов. А ведь ЕГЭ имеет широкую шкалу баллов, в соответствии с которыми его возьмут в тот или иной ВУЗ.

Тут ещё такой момент. Хорошо бы, с одной стороны, получить много баллов на ЕГЭ, но с другой стороны - не превратить при этом знания в такой винегрет, который потом придётся переучивать с нуля в этом ВУЗе. То есть, в погоне за высокими баллами ЕГЭ, не надо превращать ученика в мартышку, решающую задачи на автоматизме. Это в ВУЗе ему только повредит, причём сильно-сильно. Вплоть до вылета с первых курсов, или хронического отставания, потери интереса и мотивации, паршивого диплома на троечку, и т. п.

 Профиль  
                  
 
 Re: Формулы и теоремы - запоминать или выводить?
Сообщение27.05.2013, 12:43 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Munin в сообщении #728955 писал(а):
$S=r\pi,$ вы хотели сказать?

Нет, именно $rp$ (в стандартных обозначениях).

Munin в сообщении #728955 писал(а):
Хотя, школьников не учат произносить чётко и аккуратно "построим описанную окружность (по теореме 12.4.5 такая существует и единственна)..."

А Вам часто приходится приговаривать что-нибудь типа "согласно теореме Барроу..."?

При решении задач ссылки на теоремы обычно вообще малоуместны.

 Профиль  
                  
 
 Re: Формулы и теоремы - запоминать или выводить?
Сообщение27.05.2013, 12:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
ewert в сообщении #728964 писал(а):
Munin в сообщении #728955 писал(а):
$S=r\pi,$ вы хотели сказать?

Нет, именно $rp$ (в стандартных обозначениях).

Тысяча пардонов! Отключил мозги!!!

-- 27.05.2013 13:56:11 --

ewert в сообщении #728964 писал(а):
А Вам часто приходится приговаривать что-нибудь типа "согласно теореме Барроу..."?

Мне - нет. Ну так я вообще математикой не занимаюсь.

ewert в сообщении #728964 писал(а):
При решении задач ссылки на теоремы обычно вообще малоуместны.

Смотря каких задач, и на насколько мощные теоремы. Мне постоянно встречаются случаи, когда уместны. Например, на теоремы о существовании и единственности решения дифференциального уравнения - без них шагу не ступишь в решении этих самых уравнений. Без них постоянно законен вопрос: "а что ты насчитал-то?"

-- 27.05.2013 14:03:54 --

ewert в сообщении #728964 писал(а):
А Вам часто приходится приговаривать что-нибудь типа "согласно теореме Барроу..."?

Кстати, теорема Барроу действительно просто редко встречается (настолько редко, что пришлось гуглить, а что это за теорема), а теорема Стокса - часто. И когда что-то делается согласно ей - приходится приговаривать. Ну, это лично мне.

 Профиль  
                  
 
 Re: Формулы и теоремы - запоминать или выводить?
Сообщение27.05.2013, 13:17 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Munin в сообщении #728969 писал(а):
Например, на теоремы о существовании и единственности решения дифференциального уравнения - без них шагу не ступишь в решении этих самых уравнений.

Очень хороший пример. Как раз при решении дифуров на теорему существования и единственности не приходится ссылаться практически никогда -- именно потому, что пришлось бы ссылаться на каждом шагу.

Более того, даже при чтении теоретического курса явные ссылки на эту теорему довольно редки. Скажем, в теории линейных уравнений такая ссылка требуется, пожалуй, только один раз -- в самом начале, при доказательстве размерности пространства решений. Там теорема существования и единственности действительно принципиальна, а дальше она уже просто принимается по умолчанию.

-- Пн май 27, 2013 14:32:11 --

Munin в сообщении #728969 писал(а):
Кстати, теорема Барроу действительно просто редко встречается (настолько редко, что пришлось гуглить, а что это за теорема),

Мне тоже. И тем не менее встречается она на каждом шагу. Вспомните: разве Вам никогда в жизни не приходилось дифференцировать интегралы с переменными пределами?... Так вот: каждый раз, когда Вы это делаете -- Вы говорите прозой ссылаетесь на теорему Барроу, только стесняетесь в этом признаться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Формулы и теоремы - запоминать или выводить?
Сообщение27.05.2013, 13:33 


10/02/11
6786
теорема о выпрямлении векторного поля, которая эквивалентна теореме существования и единственности ОДУ, применяется весьма часто и именно в явном виде. Да и сама теорема существования и единственности тоже регулярно применяется в приличных курсах.

 Профиль  
                  
 
 Re: Формулы и теоремы - запоминать или выводить?
Сообщение27.05.2013, 13:51 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Oleg Zubelevich в сообщении #728987 писал(а):
теорема о выпрямлении векторного поля, которая эквивалентна теореме существования и единственности ОДУ, применяется весьма часто и именно в явном виде.

Применяется; но обычно не называется, а лишь подразумевается. В точности как и теоремы типа Барроу. Или теорема о том, что в треугольник можно вписать/описать окружность.

 Профиль  
                  
 
 Re: Формулы и теоремы - запоминать или выводить?
Сообщение27.05.2013, 18:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
ewert в сообщении #728978 писал(а):
Очень хороший пример. Как раз при решении дифуров на теорему существования и единственности не приходится ссылаться практически никогда -- именно потому, что пришлось бы ссылаться на каждом шагу.

Вообще-то ссылаться приходится всегда - именно потому, что если не проверять, то постоянно будешь утыкаться либо в переопределённую, либо в недоопределённую задачу. Простите, вы дифуры-то решали? Сколько десятилетий назад?

(Я про ДУЧП, если что, а не про ОДУ.)

ewert в сообщении #728978 писал(а):
Мне тоже. И тем не менее встречается она на каждом шагу. Вспомните: разве Вам никогда в жизни не приходилось дифференцировать интегралы с переменными пределами?...

Да нет, знаете, как-то не приходилось. Может быть, очень давно, но я не помню. В последнее время - точно нет.

ewert в сообщении #728993 писал(а):
Применяется; но обычно не называется, а лишь подразумевается.

Знаете, я прошу вас привести текст, в котором именно это и происходит. Уровня не-местечкового учебника, или лучше, публикации (тоже не в Вестнике Крыжопольского Техническо-Педагогического...). А лучше два-три текста.

ewert в сообщении #728993 писал(а):
Или теорема о том, что в треугольник можно вписать/описать окружность.

Это да, но я уже сказал, что хорошего в этом мало - нужно по крайней мере чётко объяснить ученику, что именно она в конкретном месте подразумевается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Формулы и теоремы - запоминать или выводить?
Сообщение09.06.2013, 21:19 
Аватара пользователя


22/06/07
146
_Ivana в сообщении #725701 писал(а):
Как мне дать ему все тригонометрические формулы? Спустить с неба минимум их, а остальные вывести из них? Или спустить с неба формулу Эйлера и вывести все что получится? Или рисовать планиметрические чертежи, выводить там, а потом сказать - а теперь просто поверь, что в случае отрицательных синусов и больших углов все будет то же самое?...

Я считаю, что нужно сначала давать комплексные числа, а уж из них вся тригонометрия выводится за 5 минут. Например, формулы косинуса и синуса суммы углов есть всего-навсего произведение двух комплексных чисел, а (ко)синусов кратных углов - формула Муавра. Причем все это имеет простой и наглядный физический смысл, если объяснить, что умножение на комплексное число с геом. точки зрения - это просто поворот плоскости (+растяжение, если модуль не единица). Кстати, такое пояснение также снимает первоначальное недоумение, мол, как это, квадрат числа отрицателен. Ведь, действительно, если, например, $i$ имеет угол $\pi/2$, то, умножая его на себя, мы поворачиваемся на $\pi/2$ и приходим в $-1$ и никаких парадоксов не возникает. :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Формулы и теоремы - запоминать или выводить?
Сообщение09.06.2013, 22:29 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Евгеша в сообщении #734780 писал(а):
Я считаю, что нужно сначала давать комплексные числа, а уж из них вся тригонометрия выводится за 5 минут.

Не надо -- комплексные числа абсолютно ненаглядны (в смысле прекрасны, разумеется, но совершенно не в этом смысле).

 Профиль  
                  
 
 Re: Формулы и теоремы - запоминать или выводить?
Сообщение10.06.2013, 21:05 
Злостный тролль-клон Дмитрий Муродьянц. Студент 1 курса МГТУ им. Баумана. Кафедра физики


05/06/13

25
Цитата:
Не надо -- комплексные числа абсолютно ненаглядны (в смысле прекрасны, разумеется, но совершенно не в этом смысле).
комплексные числа абсолютно наглядны :twisted:

 Профиль  
                  
 
 Re: Формулы и теоремы - запоминать или выводить?
Сообщение10.06.2013, 21:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
6591
Тригонометрия и комплексные числа друг друга гармонично дополняют.

 Профиль  
                  
 
 Re: Формулы и теоремы - запоминать или выводить?
Сообщение10.06.2013, 22:05 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Они уже потом гармонично дополнят. Лишь после того, как тригонометрия (и просто геометрия как её житейская база) будет благополучно пройдена. До того же -- ни-ни.

 Профиль  
                  
 
 Re: Формулы и теоремы - запоминать или выводить?
Сообщение28.03.2015, 13:53 


27/03/15
11
Евгеша в сообщении #734780 писал(а):
_Ivana в сообщении #725701 писал(а):
Как мне дать ему все тригонометрические формулы? Спустить с неба минимум их, а остальные вывести из них? Или спустить с неба формулу Эйлера и вывести все что получится? Или рисовать планиметрические чертежи, выводить там, а потом сказать - а теперь просто поверь, что в случае отрицательных синусов и больших углов все будет то же самое?...

Я считаю, что нужно сначала давать комплексные числа, а уж из них вся тригонометрия выводится за 5 минут.

Почему бы не пойти по пути школьной программы? Сейчас комплексные числа в неё не входят. Поэтому если говорить об обычной (не математической) школе, можно поступить так, как здесь уже предлагалось.

Munin в сообщении #725756 писал(а):
Можно, конечно, запоминать не всё, а только минимальный достаточный набор, чтобы вывести всё остальное.
Например, в тригонометрии достаточно формул суммы углов для синуса и косинуса, и основного тригонометрического тождества. Из них быстро выводятся двойные и половинные углы, суммы синусов и косинусов, квадраты синуса и косинуса (с кубами уже надо повозиться), всё для тангенса и котангенса.

Целесообразный принцип здесь (на что ориентировать учеников обычной школы) такой:
то, что легко и быстро выводится, лучше не запоминать напрямую, а тренироваться в выводе;
то, что сложно выводится, лучше (посмотрев разок вывод) запомнить - выучить напрямую.

Теперь о "спуске с неба формулы Эйлера" для семиклассника. Вряд ли "спуск с неба" поспособствует цели обеспечить "логическую стройность, связность и красоту". Надо бы еще учесть, что основные тригонометрические формулы были установлены задолго до Эйлера - аж в средние века, и как-то никто не жаловался. Говорят ведь, что "нельзя объять необъятное". Представим себе, что появилась еще более общая и абстрактная теория, из которой и формула Эйлера вытекает как частный случай. Мы что, будем обучать семиклассника этой абстрактной теории раньше "простой" тригонометрии? На мой взгляд, это было бы совершенно нецелесообразно и даже антипедагогично.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 43 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3

Модераторы: Модераторы, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group