2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 системы переменного состава
Сообщение25.03.2015, 14:14 


10/02/11
6786
Предположим, что в некоторой области $U\subseteq\mathbb{R}^3$ движется сплошная среда. В $U$ введены стандартые декартовы координаты $x$ и лагранжевы координаты $\xi$. Так, что скорость индивидуальной точки среды равна $\overline v(t,\xi)$, а плотность среды задается фунцией $\rho(\xi)$. Закон движения среды описывается диффеоморфизмом $\xi\mapsto x(t,\xi)$.


Выделим в $U$ некоторый постоянный объем $D$ -- ограниченная область с гладкой границей. Импульс вещества, содержащегося в объеме $D$ вычисляется по формуле
$$\overline P=\int_D\overline v(t,\xi(t,x))\rho(\xi(t,x))|\xi_x(t,x)| d^3x.$$

Посчитаем
$$\dot{\overline P}=\int_D(\overline v_t+\overline v_\xi\xi_t)\nu d^3x+\int_D\overline v\nu_t d^3x,\quad \nu(t,x)=\rho(\xi(t,x))|\xi_x(t,x)|.$$
В этой формуле $\overline v_t=\overline f(t,\xi(t,x))$, где
$\overline f$ -- плотность сил, действующих на точки среды. В эту обобщенную вообще говоря функцию входят и массовые и поверхностные силы

Поскольку $x(t,\xi(t,x))=x$ будет $\overline v+x_\xi\xi_t=0$ отсюда
$$\int_D\overline v_\xi\xi_t\nu d^3x=-\int_D\overline v_x \overline v\nu d^3x=-\int_{\partial D}\overline v (\overline v,\overline n)\nu ds+\int_D\mathrm{div}\,(\nu\overline v) \overline vd^3 x,$$
где $\overline n$ -- вектор внешней единичной нормали $\partial D,\quad ds$ -- элемент площади.
C учетом уравнения неразрывности $\nu_t+\mathrm{div}\,(\nu\overline v)=0$ получаем окончательно
$$\dot{\overline P}=\overline F-\int_{\partial D}\overline v (\overline v,\overline n)\nu ds,\qquad (*)$$
где $\overline F=\int_D\overline f\nu d^3x,$ -- равнодействующая внешних сил действующих на объем $D$.

Формула (*) есть не что иное, как уравнение Мещерского; ср. с post969914.html#p969914

 Профиль  
                  
 
 Re: системы переменного состава
Сообщение25.03.2015, 14:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Oleg Zubelevich
Я вас о другом хотел спросить. Я тут одному товарищу сказал, что в курсах теоремеха рассматривают абсолютно твёрдое тело, потому что переход от него к неабсолютно твёрдому скучен и техничен.

Рассмотрим тело - множество точек с фиксированными координатами. Допустим, оно линейно деформируемо: деформация есть линейное преобразование координат точек. При этом, силы упругости тоже линейны. И деформации малы (про силы этого сказать нельзя).

Интересует механика такого тела по сравнению с механикой абсолютно твёрдого тела. Будут ли они отличаться только скучными поправками, или возникнут какие-то новые эффекты и теоретические концепции?

 Профиль  
                  
 
 Re: системы переменного состава
Сообщение25.03.2015, 18:34 


10/02/11
6786
Munin в сообщении #995421 писал(а):
Допустим, оно линейно деформируемо: деформация есть линейное преобразование координат точек


т.е. это система с конечным числом ($\le 12$) степеней свободы?

 Профиль  
                  
 
 Re: системы переменного состава
Сообщение25.03.2015, 18:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Oleg Zubelevich в сообщении #995543 писал(а):
т.е. это система с конечным числом ($\le 12$) степеней свободы?

Ага (число не считал).

Ну так и абсолютно твёрдое тело - с конечным числом ($\leqslant 6$) степеней свободы.

 Профиль  
                  
 
 Re: системы переменного состава
Сообщение25.03.2015, 19:04 


10/02/11
6786
я пытаюсь понять вопрос.
Munin в сообщении #995421 писал(а):
И деформации малы (про силы этого сказать нельзя).

т.е. каакой-то малый параметр, если этот параметр равен нулю то тело твердое.
Munin в сообщении #995421 писал(а):
Будут ли они отличаться только скучными поправками, или возникнут какие-то новые эффекты и теоретические концепции?

возникнут, разумеется. например, рассмотрим такое движение этого тела, такое, что при значении малого параметра=0 у нас получается случай Лагранжа. наверняка, если добавить деформируемость, задача станет неинтегрируемой. новых эффектов по сравнению с интегрируемым случчаем будет масса

-- Ср мар 25, 2015 19:10:40 --

неинтегрируемой в содержательном смысле, это если возмущенная система осталась гамильтоновой, а так тоже будут новые эффекты, аттракторы могут появиться, что угодно может быть

 Профиль  
                  
 
 Re: системы переменного состава
Сообщение25.03.2015, 20:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Oleg Zubelevich в сообщении #995558 писал(а):
т.е. каакой-то малый параметр, если этот параметр равен нулю то тело твердое.

Да.

Oleg Zubelevich в сообщении #995558 писал(а):
наверняка, если добавить деформируемость, задача станет неинтегрируемой. новых эффектов по сравнению с интегрируемым случчаем будет масса

неинтегрируемой в содержательном смысле, это если возмущенная система осталась гамильтоновой, а так тоже будут новые эффекты, аттракторы могут появиться, что угодно может быть

Спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: системы переменного состава
Сообщение25.03.2015, 20:28 


16/10/09
160
Как я понимаю (это я к диспуту в последних сообщениях) речь частично идет о таком разделе теоретической механики как "аналитическая динамика" ("аналитическая механика"). Или я ошибаюсь ? Впрочем там кажется гамильтонов формализм (а он выше упоминался) не рассматривается. Только лагранжев по-моему

 Профиль  
                  
 
 Re: системы переменного состава
Сообщение25.03.2015, 20:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Аналитическая механика - это как раз лагранжева + гамильтонова.

В одних учебниках она рассказывается как часть "теоретической механики", в других - изложение практически полностью из неё и состоит.

-- 25.03.2015 20:45:37 --

P. S. Теорфизики свысока смотрят на любой учебник, не уделяющий лагранжевой и гамильтоновой механике места вообще. Пусть он трижды называется "теоретическая механика" - это не то.

 Профиль  
                  
 
 Re: системы переменного состава
Сообщение25.03.2015, 21:21 


16/10/09
160
Munin в сообщении #995616 писал(а):
P. S. Теорфизики свысока смотрят на любой учебник, не уделяющий лагранжевой и гамильтоновой механике места вообще. Пусть он трижды называется "теоретическая механика" - это не то.


Ув. Munin, я перед тем как закончить университет закончил технический ВУЗ. Причём - учился ещё во времена СССР. В технических ВУЗах не преподавали тогда механику по ЛЛ. Все инженеры готовившиеся во времена СССР учили теоретическую механику по учебникам типа автора Тарг. Кроме того они учили механику в рамках общего курса физики по учебнику Савельева (иногда Детлаф, Трофимова). Никаких признаков гамильтонова формализма там нет и в помине. Поэтому когда инженер закончивший ВУЗ во времена СССР иногда заводил беседу с выпускником физфака на тему механики, физик не понимал значения словосочетания "теоретическая механика" (ему милее "классическая механика" которую в свою очередь путал с термехом инженер), а инженер, в свою очередь, делал круглые глаза когда ему сообщали что существует такая вещь как неньютоновская механика

 Профиль  
                  
 
 Re: системы переменного состава
Сообщение25.03.2015, 22:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
limarodessa в сообщении #995636 писал(а):
Все инженеры готовившиеся во времена СССР учили теоретическую механику по учебникам типа автора Тарг.

Ну да. Я знаю. Это трагично.

Но инженеры бывают разные. Не все из них - инженеры-механики. Есть инженеры-электронщики. И вот им давали теормех вполне по ЛЛ-1. Потому что иначе нельзя дать квантмех. Ну сами понимаете, гамильтонов формализм мы квантовать умеем, лагранжев с грехом пополам, ньютонов - никак вообще.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group