2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Синус Якоби: физическая интерпретация математического факта
Сообщение13.03.2015, 23:11 
Аватара пользователя


11/04/14
561
Изображение
При решении нелинейных ДУ, описывающих поведение математического и сферического маятников, мы получаем зависимость координат от времени виде синуса Якоби. Это весьма непростая функция, которая, тем не менее, представима в виде ряда Фурье:
$sn(x,k)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}a(n,k)\sin(\omega(n,k)x)$, где
$a(n,k)=\frac{2\pi}{K(k) k}\frac{q(k)^{n-\frac{1}{2}}}{1-q(k)^{2n-1}}$
$\omega(n,k)=\frac{(2n-1)\pi}{2K(k)}$
$K(k)=\int\limits_{0}^{\pi/2}\frac{dx}{\sqrt{1-k^2 \sin^2(x)}}$
$K'(k)=\int\limits_{0}^{\pi/2}\frac{dx}{\sqrt{1-(1-k^2) \sin^2(x)}}$
$q(k)=\exp\left(-\pi\frac{K'(k)}{K(k)}\right)$
В некотором смысле $k$ обозначает степень нелинейности процесса. Попутно спрошу: при каких $k$ процесс можно еще считать линейным?
Рассмотрим сильно нелинейный процесс $k=0.9$:
Синус Якоби раскладывается по нечетным гармоникам, кратным основной с периодом 4K(k).
коэффициенты ряда Фурье :
$a(1,0.9)=1.091$, $a(2,0.9)=0.1$, $a(3,0.9)=0.01$, $a(4,0.9)=0.001$
Мы видим, что первая гармоника имеет амплитуду больше 1.
Вопросы. Если мы будем детектировать сигнал типа синуса Якоби, обнаружим ли мы колебание с амплитудой больше, чем амплитуда самого сигнала, а также будут ли "слышны" кратные гармоники 3 и 5?
И можно ли для качественного описания движений системы заменять синус Якоби на синус? Так, скажем, восходящие и нисходящие узлы траектории совпадают, а как тело движется между ними не столь важно, особенно в задачах с осреднением...Правильно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Синус Якоби: физическая интерпретация математического факта
Сообщение14.03.2015, 00:15 


10/02/11
6786
Ingus в сообщении #989990 писал(а):
И можно ли для качественного описания движений системы заменять синус Якоби на синус?


я Вам секрет открою: для качественного описания движения системы не нужно ничего из того, чтто Вы тут понаписали

 Профиль  
                  
 
 Re: Синус Якоби: физическая интерпретация математического факта
Сообщение14.03.2015, 12:01 
Аватара пользователя


11/04/14
561
Oleg Zubelevich в сообщении #990015 писал(а):
я Вам секрет открою: для качественного описания движения системы не нужно ничего из того, чтто Вы тут понаписали

Спасибо. Для такого как я весь теормех состоит из секретов. Один Вы открыли. Для качественного описания движения маятника ни синус Якоби, ни просто синус не нужен. А что нужно?

-- 14.03.2015, 13:06 --

Да и вопрос то основной не про качество, а про количество... Какова физическая интерпретация разложения синуса Якоби в ряд Фурье? Можно ли детектировать "усиление" первой гармоники? Будут ли фиксироваться кратные гармоники?

-- 14.03.2015, 13:07 --

И еще. Есть теорема о единственности разложения функции в гармонический ряд?

 Профиль  
                  
 
 Re: Синус Якоби: физическая интерпретация математического факта
Сообщение14.03.2015, 13:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Ingus в сообщении #990158 писал(а):
Для качественного описания движения маятника ни синус Якоби, ни просто синус не нужен. А что нужно?

Фазовый портрет?

 Профиль  
                  
 
 Re: Синус Якоби: физическая интерпретация математического факта
Сообщение14.03.2015, 16:04 
Аватара пользователя


11/04/14
561
Munin в сообщении #990189 писал(а):
Фазовый портрет?

Спасибо огромное. Открыл для себя Магнус К. Колебания: Введение в исследование колебательных систем. Пер. с нем.— М.: Мир, 1982.— 304 с. "может оказаться, что единственным методом исследования таких колебаний (описываемых нелинейными ДУ) является метод фазовой плоскости"

 Профиль  
                  
 
 Re: Синус Якоби: физическая интерпретация математического факта
Сообщение14.03.2015, 17:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
А вы можете открыть что-нибудь простое и неэкзотическое? Я не знаю, где вы разыскиваете те книги, которые открываете, но меня вгоняет в ступор - почему? почему вы не читаете нормальной литературы? Почему вы не учитесь как все? Что за дикость?

 Профиль  
                  
 
 Re: Синус Якоби: физическая интерпретация математического факта
Сообщение15.03.2015, 09:35 
Аватара пользователя


11/04/14
561
Munin в сообщении #990272 писал(а):
Я не знаю, где вы разыскиваете те книги, которые открываете

видимо их ротирует яндекс в первые строчки. я ввел "фазовый портрет" - и вывалилось это. я не учусь как все, потому что мне кажется, что у меня мало времени... (не подумайте, что свободного). я пока испытываю радость, открывая "секреты"
Oleg Zubelevich в сообщении #990015 писал(а):
я Вам секрет открою:
.
А каково Вам, там на глубине, где уже и рыб нет?
Я бы очень хотел оказаться там на глубине, и вытащить со дна на свет какую-нибудь диковину. Может даже защититься. Но важно понять где нырять.

 Профиль  
                  
 
 Re: Синус Якоби: физическая интерпретация математического факта
Сообщение15.03.2015, 09:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Ingus в сообщении #990531 писал(а):
видимо их ротирует яндекс в первые строчки. я ввел "фазовый портрет" - и вывалилось это.

Ничего не могу посоветовать, кроме "не пользуйтесь яндексом".

Ingus в сообщении #990531 писал(а):
я не учусь как все, потому что мне кажется, что у меня мало времени...

Вообще-то именно путь "как все" рассчитан на тех, у кого мало времени. Тот, кто с него сходит - тот заведомо потратит времени больше (а откроет меньше).

Ingus в сообщении #990531 писал(а):
Я бы очень хотел оказаться там на глубине, и вытащить со дна на свет какую-нибудь диковину. Может даже защититься. Но важно понять где нырять.

Для начала, надо понять, что сразу на глубину нырнуть невозможно. Надо начинать с мелкой глубины, и постепенно увеличивать. Вопрос "где нырять" вторичный.

 Профиль  
                  
 
 Re: Синус Якоби: физическая интерпретация математического факта
Сообщение15.03.2015, 14:14 
Аватара пользователя


11/04/14
561
Munin в сообщении #990537 писал(а):
Надо начинать с мелкой глубины, и постепенно увеличивать

Мой план таков?:
"Если хотите доказать что-то - докажите делом. Возьмите, например, Матвеев "Механика и теория относительности", прочитайте, решите все задачи. Времени на это вам потребуется не меньше, чем 2 месяца. Можно потратить и больше, главное - не бросать. По мере возникновения вопросов, можете обращаться на форум за консультациями.

Можно пропустить: §§ 13, 14, 15-18 (всю главу 4), §§ 41, 45, 47. Это всё, что связано со СТО (вам это здесь не нужно). Соответствующие задачи тоже пропускаете.

Потом можно будет почитать Ландау-Лифшица "Механика" и кое-что ещё (Белецкого того же)."

 Профиль  
                  
 
 Re: Синус Якоби: физическая интерпретация математического факта
Сообщение15.03.2015, 16:59 


27/02/09
253
Уточнение: если рассматривать большие плоские колебания математического маятника (точечный груз на невесомом жёстком подвесе, потерь нет), то зависимость от времени $t$ угла отклонения маятника от положения равновесия $\varphi$ описывается формулой $$\varphi=2\arcsin( k\cdot\text{sn} (\tau, k)),$$ где $\tau=\sqrt{\frac{g}{l}}t$, $l$ - длина подвеса, $g$ - ускорение свободного падения; $k=\frac{v_0}{2\sqrt{lg}}$, $v_0$ - скорость груза в положении равновесия. Это всё - для колебательного процесса $(|k|<1)$ и экзотического случая, когда маятник перевернулся и встал вверх тормашками $(|k|=1)$.

Эта функция несколько отличается от $\text{sn}$ и дополнительные гармоники будут меньше, чем у него (у $\text{sn}$ экстремумы "пошире", чем у синуса, но $\arcsin$ их "заостряет").

 Профиль  
                  
 
 Re: Синус Якоби: физическая интерпретация математического факта
Сообщение15.03.2015, 23:49 
Аватара пользователя


11/04/14
561
guryev в сообщении #990694 писал(а):
Эта функция несколько отличается от $\text{sn}$ и дополнительные гармоники будут меньше

Зато у сферического маятника по координате $z$ "чистый" $sn$. точнее $sn^2$.
guryev в сообщении #990694 писал(а):
$k=\frac{v_0}{2\sqrt{lg}}$, $v_0$ - скорость груза в положении равновесия

А еще $k=\sin(\frac{\phi_0}{2})$, если отпускаем маятник без начальной скорости с угла $\phi_0$
Спасибо за комментарий. Но основной вопрос темы остается без ответа.

 Профиль  
                  
 
 Re: Синус Якоби: физическая интерпретация математического факта
Сообщение16.03.2015, 00:32 


10/02/11
6786
Освойте два баазовых интсрумента исследования лагранжевых систем:
1) в системах с одной степенью свободы научитесь строить фазовый портрет по заданному потенциалу
2) в системах с двумя и более степенями свободы освойте понижение порядка по Раусу и приеденный потенциал
Сферический маятник исследуется комбинацией этих двух приемов. Потом исследуйте таким же образом волчок Лагранжа.
Учебники: ЮФ Голубев Основы теор мех; Болотин Карапетян Кугушев Трещев Теор мех

 Профиль  
                  
 
 Re: Синус Якоби: физическая интерпретация математического факта
Сообщение16.03.2015, 01:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Ingus в сообщении #990632 писал(а):
Мой план таков?

Неплохой план. После него, можете читать учебники, предложенные Oleg Zubelevich. А вот до него - я бы не советовал.

 Профиль  
                  
 
 Re: Синус Якоби: физическая интерпретация математического факта
Сообщение16.03.2015, 12:38 
Аватара пользователя


11/04/14
561
Спасибо Oleg Zubelevich. Спасибо Munin. Начну с Матвеева. 2 месяца не срок)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group