2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Индукция магнитного поля в центре спирали
Сообщение15.03.2015, 09:42 


18/05/12
335
\sqrt{ !}
Цитата:
Тонкий провод (с изоляцией) образует плоскую спираль из $N$ плотно расположенных витков, по которым течет ток $I$. Радиусы внутреннего и внешнего витков равны $a, b$. Найти индукцию магнитного поля в центре спирали


$N$ концентрических окружностей можно считать спиралью из $N$ витков. Поле в центре $n$-й окружности радиуса $r$ направлено перпендикулярно плоскости этой окружности

$$B_n = \frac{\mu I}{2} \frac{1}{r}$$

Таких окружностей N штук. Расстояние между соседними окружностями считаю постоянным и равным $L = (b-a)/(N-1)$ и тогда радиус $n$-й окружности вычисляется по формуле $r_n = a + (n-1)L$. То есть нужно посчитать сумму
$$B=\sum_1^N B_n = \sum_1^N \frac{\mu I}{2} \frac{1}{r_n}$$

Но в решении не сумма, а интеграл:
$$B=\int B_n dN$$
где $dN=\frac{N}{b-a}dr$

В принципе я ожидал, что суммирование можно приближенно заменить интегрированием, но не понимаю смысл указанного выше интеграла и выражения для $dN$.
Объясните, пожалуйста

 Профиль  
                  
 
 Re: Индукция магнитного поля в центре спирали
Сообщение15.03.2015, 09:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Здесь неформальный приём такой: номер витка считают не целочисленной переменной, набирающей величину от 1 до $N,$ а действительной переменной, непрерывно изменяющейся в тех же пределах.

Это, конечно, математически не очень законно. Но ошибка возникает порядка $\tfrac{1}{N}$ - такого же порядка малости, что и когда вы заменяете витки спирали концентрическими окружностями. Так что, для физических прикидок сойдёт - к тому же, ведь $N$ считается достаточно большим числом.

-- 15.03.2015 09:59:05 --

Как получили выражение для $dN$? Для начала, взяли выражение $n(r),$ а потом продифференцировали. Точнее, что за $n(r)$? У нас есть выражение $r(n)$ - вот его можно взять и выписать (а, вы уже выписали). А потом обратить, выразить из него $n.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Индукция магнитного поля в центре спирали
Сообщение15.03.2015, 10:00 


18/05/12
335
\sqrt{ !}
Тогда выражение для $dN$ - это число витков на единицу длины, т.е. плотность?

p.s. точнее плотность - это не $dN$, а $N/(b-a)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Индукция магнитного поля в центре спирали
Сообщение15.03.2015, 10:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Ну да, на единицу радиуса.

-- 15.03.2015 10:03:39 --

Более того, у этого приёма может быть и физическое оправдание: если провод сам по себе тонкий, но по сравнению с расстоянием между витками - не тонкий. Если провод, наоборот, заполняет межвитковое пространство почти полностью, то выражение с интегралом точнее, чем с суммой :-) Впрочем, это крохоборство.

 Профиль  
                  
 
 Re: Индукция магнитного поля в центре спирали
Сообщение15.03.2015, 10:29 


18/05/12
335
\sqrt{ !}
Спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Индукция магнитного поля в центре спирали
Сообщение15.03.2015, 13:37 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
 i  Я поправил мелкие огрехи в формулах, но впредь проверяйте все сами.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group