2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Лапласиан в криволинейных координатах
Сообщение20.01.2015, 11:57 
Аватара пользователя


02/07/07
163
Харьков
Здравствуйте, уважаемые форумчане!

Имеется $m-1$-мерная гиперповерхность $\Gamma$ в $m$-мерном Евклидовом пространстве $\mathbb{R}^m$. Параметризация $r(s)\in\Gamma,$ $s=(s^1,...s^{m-1}).$

В окрестности поверхности вводится ортогональная система координат $x=r(s)-u n(s),$ где $r(s)$- радиус-вектор поверхности, $n(s)$- нормаль к поверхности, $u$-число, $x\in\mathbb{R}^m$-элемент Евклидова пространства.

Требуется записать Лапласиан в этих новых координатах. Последовательно вычисляем:
\begin{equation}\nonumber f_{x_i}=\displaystyle\frac{\partial f}{\partial s^{\nu}} \frac{\partial s^{\nu}}{\partial x_i},\end{equation}

\begin{equation}\label{Laplace}f_{x_ix_i}=\displaystyle\frac{\partial f}{\partial s^{\nu}} \frac{\partial^2s^{\nu}}{\partial x_i^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial s^{\nu} \partial s^{\mu}} \frac{\partial s^{\mu}}{\partial x_i} \frac{\partial s^{\nu}}{\partial x_i}.\end{equation}

Здесь суммирование ведется по $\mu, \nu$ от $1$ до $m$, причем обозначим $u\equiv s^{m}.$

Нас интересуют коэффициенты при $\displaystyle\frac{\partial f}{\partial u}$, $\displaystyle\frac{\partial^2 f}{\partial u^2}$, $\displaystyle\frac{\partial^2 f}{\partial u \partial s^j}, j=1,...m-1.$

Для того, чтобы вычислть коэффициенты при частных производных второго порядка, заметим, что элементы $G^{\nu,\mu}=\displaystyle\frac{\partial s^{\mu}}{\partial x_i} \frac{\partial s^{\nu}}{\partial x_i}$ образуют матрицу $G^{-1}$, обратную к матрице $G$ с элементами $G_{\nu,\mu}=\displaystyle\frac{\partial x_k}{\partial s^{\mu}} \frac{\partial x_k}{\partial s^{\nu}}.$

Матрица же матрица $G$ имеет структуру $G=\begin{pmatrix}G_{m-1}&0\\0&1\end{pmatrix},$ где $G_{m-1}-$ квадратная матрица размерности $(m-1)\times (m-1).$
Поэтому в формуле $(1)$ коэффициенты при частных производных второго порядка с участием частной производной по $u$ упрощаются: коэффициенты при $\displaystyle\frac{\partial^2 f}{\partial u \partial s^j}, j=1,...m-1,$ равны $0$, а при $\displaystyle\frac{\partial^2 f}{\partial u^2}, -$ равен 1.

Вопрос: как упростить выражение при частной производной $\displaystyle\frac{\partial f}{\partial u}$ первого порядка по $u$, то есть как упростить $\displaystyle\frac{\partial^2 u}{\partial x_i^2},$ где суммирование ведется по $i$ от $1$ до $m$?

Зараннее большое спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Лапласиан в криволинейных координатах
Сообщение22.01.2015, 19:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11531
Пусть латинские индексы бегают от $1$ до $d$, греческие - от $0$ до $d$, индекс $\mu$ после запятой означает дифференцирование по соответствующему $x^{\mu}$ и принято правило суммирования по повторяющимся индексам.

Итак, в $\mathbb{R}^d $ задана поверхность $\mathbf{r}  = {\mathbf{r}}\left( {x^i } \right)$, для которой можно выписать следующие деривационные формулы
$$\[
\left\{ {\begin{array}{rcl}
   {{\mathbf{r}}_{,ik}  &= &\Gamma _{ik}^s {\mathbf{r}}_{,s}  + b_{ik} {\mathbf{n}}}  \\
   {{\mathbf{n}}_{,i}  &=  &- b_i^s {\mathbf{r}}_{,s} }  \\

 \end{array} } \right.
\]
$$Причём, ${\mathbf{n}} \cdot {\mathbf{n}} = 1$, ${\mathbf{n}} \cdot {\mathbf{r}}_{,i}  = 0$ и, разумеется, ${\mathbf{r}}_{,i}  \cdot {\mathbf{r}}_{,k}  \equiv g_{ik} $, $2\Gamma _{ik}^s  = g^{sl} \left( {g_{li,k}  - g_{ik,l}  + g_{kl,i} } \right)$ и т.д.

Далее в условии предлагается добавить ещё одну координату $x^0$, отложив её против нормали $\mathbf{n}$ так, чтобы получилась поверхность с размерностью на единицу выше исходной
$${\mathbf{y}}\left( {x^0 ,x^i } \right) = {\mathbf{r}}\left( {x^i } \right) - x^0 {\mathbf{n}}\left( {x^i } \right)$$По техническим причинам последняя поверхность (для достаточно малых $x^0$) совпадает с частью $\mathbb{R}^d $, если только невырождена следующая матрица
$$\tilde g_{\mu \nu }  \equiv {\mathbf{y}}_{,\mu }  \cdot {\mathbf{y}}_{,\nu } $$А поскольку $\tilde g_{00}  = 1, \quad \tilde g_{0i}  = 0$, то предыдущее требование сводится к невырожденности
$$\tilde g_{ik}  = g_{ik}  + 2x^0 b_{ik}  + \left( {x^0 } \right)^2 b_i^s b_{sk} $$Контравариантными же компонентами тильда-метрики будут $\tilde g^{00}  = 1,\quad \tilde g^{0i}  = 0$ и $\tilde g^{ik} $, чья матрица обратна к $\tilde g_{ik} $.

Самое время вспомнить о лапласиане. В произвольных координатах он имеет такой вид
$$\Delta  \equiv \tilde g^{\mu \nu } \left( {\partial _{\mu \nu }^2  - \tilde \Gamma _{\mu \nu }^\sigma  \partial _\sigma  } \right)$$где тильда-связность строится по тильда-метрике обычным образом. После несложных махинаций над всем вышеприведенным, приходим к решающей поставленную задачу формуле
$$\Delta  = \partial _{00}^2  + \tilde g^{ik} \left[ {\partial _{ik}^2  + \left( {b_{ik}  + x^0 b_i^s b_{sk} } \right)\partial _0  - \tilde g^{sl} \tilde \Gamma _{lik} \partial _s \right]$$где
$$\tilde \Gamma _{lik}  = \Gamma _{lik}  + x^0 \left( {b_{li;k}  + 2\Gamma _{ik}^m b_{ml} } \right) + \left( {x^0 } \right)^2 \left( {b_{i;k}^m  + \Gamma _{ik}^s b_s^m } \right)b_{ml} $$

P.S. Я проверил её на окружности в $\mathbb{R}^2 $ и получил обычное выражение для лапласиана в полярных координатах.

 Профиль  
                  
 
 Re: Лапласиан в криволинейных координатах
Сообщение22.01.2015, 20:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11017
Hogtown
Всегда проще расписывать Лапласиан через форму Дирихле:
$$
\iiint \nabla u \cdot \nabla v dV= -\iiint u \Delta v dV.
$$
Тогда если метрический тензор $g_{jk}$ (который в наших условиях будет $\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial y^j}\cdot \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial y^k}$, где $y$ криволинейные координаты, то $\nabla u \cdot \nabla v= g^{jk} \frac{\partial u}{\partial y^j}\frac{\partial v}{\partial y^k}$, где $(g^{jk})$ обратный к $(g_{jk})$, и $dV= \sqrt{g} dy^1\cdots dy^n$, где $g=\det (g_{jk})$, и тогда немедленно
$$
\Delta v= \frac{1}{\sqrt{g}} \frac{\partial \ }{\partial y^j}\bigl(\sqrt{g}g^{jk}\frac{\partial v }{\partial y^k}\bigr)
$$

Используется эйнштейновское суммирование

 Профиль  
                  
 
 Re: Лапласиан в криволинейных координатах
Сообщение22.01.2015, 20:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11531
Раскрывать сие будет гораздо менее удобно, если только не выписывать обратный тензор явно.

-- Чт янв 22, 2015 22:40:06 --

Гм, а почему это оно по $x^0$ линейно? Похоже, я какую-то скобку потерял. Завтра перепроверю. На свежую голову.

 Профиль  
                  
 
 Re: Лапласиан в криволинейных координатах
Сообщение22.01.2015, 22:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11017
Hogtown
Утундрий в сообщении #966936 писал(а):
Гм, а почему это оно по $x^0$ линейно?

Не забывайте, что $\tilde{g}_{jk}$ и $\tilde{g}^{jk}$ зависят от $х^0$ (в Ваших обозначениях)

 Профиль  
                  
 
 Re: Лапласиан в криволинейных координатах
Сообщение23.01.2015, 00:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11531
Да нет, там квадратично должно быть. Уже нашёл ошибку, таки потерял скобку. А в примере с кругом это не сыграло потому что удержанный множитель обнуляется.

Переписал член с $\partial _s $ и заодно убрал опечатку в определении $\Delta $. Теперь должно быть правильно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Лапласиан в криволинейных координатах
Сообщение23.01.2015, 17:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11531
Кстати, любопытно, что на самой поверхности
$$\left. {\Delta f} \right|_\Gamma   = f_{,00}  + b_s^s f_{,0}  + \Delta _\Gamma  f$$и минимальная поверхность ($b_s^s  = 0$) выделяется на фоне других.

 Профиль  
                  
 
 Re: Лапласиан в криволинейных координатах
Сообщение27.01.2015, 04:41 
Аватара пользователя


02/07/07
163
Харьков
Уважаемый Утундрий, Спасибо большое за Ваш ответ!
Могли бы Вы пояснить некоторые моменты?
Утундрий в сообщении #966899 писал(а):
Самое время вспомнить о лапласиане. В произвольных координатах он имеет такой вид
$$\Delta  \equiv \tilde g^{\mu \nu } \left( {\partial _{\mu \nu }^2  - \tilde \Gamma _{\mu \nu }^\sigma  \partial _\sigma  } \right)$$где тильда-связность строится по тильда-метрике обычным образом.

А как получается эта формула? Непосредственные вычисления ведут меня к следующему:
$y=r(x),$ $$\displaystyle\frac{\partial^2 f}{\partial y_{\mu} \partial y_{\mu}}=\frac{\partial}{\partial y_{\mu}}\left(\frac{\partial x^{\nu} }{\partial y_{\mu} } \frac{\partial f }{\partial x^{\nu} }\right)
=
\frac{\partial^2 x^{\nu} }{\partial y^2_{\mu} }\frac{\partial f }{\partial x^{\nu} }+
\frac{\partial x^{\nu} }{\partial y_{\mu} } \frac{\partial x^{\sigma} }{\partial y_{\mu} } \frac{\partial^2 f}{\partial x^{\nu}\partial x^{\sigma}}
=
\frac{\partial^2 x^{\sigma}}{\partial y^2_{\mu}} \frac{\partial f}{\partial x^{\sigma}}+\widetilde{g}^{\mu\nu} \frac{\partial^2 f}{\partial x^{\mu}\partial x^{\nu}}.$$
Второе слагаемое в этой формуле совпадает с первым слагаем в Вашей формуле (после раскрытия скобок). Сравнивая оставшиеся слагаемые, получаем, что должно быть $$\widetilde{g}^{\mu\nu}\widetilde{\Gamma}_{\mu\nu}^{\sigma}=-\frac{\partial^2 x^{\sigma}}{\partial y^2_{\mu}}.$$
А почему это так?

 Профиль  
                  
 
 Re: Лапласиан в криволинейных координатах
Сообщение27.01.2015, 08:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11531
Asalex в сообщении #969020 писал(а):
как получается эта формула?
Простым расширением по ковариантности. Другими словами, это единственное инвариантное относительно произвольных замен переменных выражение, переходящее в искомый оператор при использовании декартовых координат. Ввёл я его декларативно, но вон же, выше, Red_Herring написал ещё один вариант, почему это так. Если раскрыть производные в приведенной им формуле и заменить кое-чего с использованием известных тождеств, то получится ровно то, что я написал.

 Профиль  
                  
 
 Re: Лапласиан в криволинейных координатах
Сообщение27.01.2015, 12:58 
Аватара пользователя


02/07/07
163
Харьков
Уважаемые Red_Herring, Утундрий, спасибо еще раз за Ваши ответы!
Но еще остаются непонятные моменты.
Утундрий в сообщении #969047 писал(а):
Простым расширением по ковариантности. Другими словами, это единственное инвариантное относительно произвольных замен переменных выражение, переходящее в искомый оператор при использовании декартовых координат.

Гм, я этого не понял. Как можно получить одно выражение из другого, более простыми словами?
Утундрий в сообщении #969047 писал(а):
Ввёл я его декларативно, но вон же, выше, Red_Herring написал ещё один вариант, почему это так. Если раскрыть производные в приведенной им формуле и заменить кое-чего с использованием известных тождеств, то получится ровно то, что я написал.

По методу Red_Herring, получаем
$$\Delta v = g^{jk}\frac{\partial^2 v}{\partial y^j\partial j^k}+\frac{1}{\sqrt{g}}\frac{\partial}{\partial y^j}\left(\sqrt{g}g^{jk}\right)\frac{\partial v}{\partial y^k},$$
и сравнивая коэффициенты при производной первой степени, получим
$$\frac{\partial g^{jk}}{\partial y^j}+\frac{g^{jk}}{2g}\frac{\partial g}{\partial y^j}=\sum\limits_{i}\frac{\partial^2 y^k}{\partial x_i^2}=-g^{ij}\Gamma_{ij}^k.$$
Правильно ли я понимаю, что для того чтобы получить равенство первого и третьего выражений, нужно свернуть с $g_{ij}$ два раза, чтобы убрать ковариантный тензор $g^{ij}$ перед символами Кристофеллля, постараться прийти к одинакоым выражениям, и вернуться обратными преобразованиями?
Но я совершенно не понимаю как получить второе выражение из первого либо третьего.

 Профиль  
                  
 
 Re: Лапласиан в криволинейных координатах
Сообщение27.01.2015, 13:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11017
Hogtown
Asalex
Используйте что $\partial_s g^{jk} = - g^{jl}(\partial_s g_{lm}) g^{mk}$ и $\partial_s g = g^{jl}(\partial_s g_{lj}) $. Ну и определения символов Кристоффеля

 Профиль  
                  
 
 Re: Лапласиан в криволинейных координатах
Сообщение22.02.2015, 13:06 
Аватара пользователя


02/07/07
163
Харьков
Здравствуйте, уважаемые форумчане!

Пусть в $n$-мерном пространстве задана система координат $(x^i)$ с соответствующим метрическим тензором $(g_{ij}),$ и мы рассматриваем поверхность, заданную в координатах $(s_{\nu})$ ($\nu=1,...,n-1$), соответствующий метрический тензор $\tilde g_{\mu,\nu}=g_{ij}\displaystyle\frac{\partial x^i}{\partial s^{\mu}} \frac{\partial x^j}{\partial s^{\nu}}.$ Принято правило суммирования по повторяюшимся верхним и нижним индексам, и договоримся что латинские индексы ($i,j,k,l,m$) бегают от 1 до $n$, а греческие ($\mu,\nu,\rho$) -- от 1 до $n-1.$
Правильно ли я понимаю, что в формулах
$$\[
\left\{ {\begin{array}{rcl}
   \displaystyle\frac{\partial \mathbf{r} }{\partial s^{\nu}\partial s^{\mu}}&=&\tilde\Gamma_{\nu,\mu}^{\rho} \displaystyle\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial s^{\rho}} + \tilde b_{\mu,\nu} \mathbf{n}, \qquad\qquad(1)\\\\
\displaystyle\frac{\partial \mathbf{n}}{\partial s^{\nu}}&=&-\tilde c_{\nu}^{\mu}\displaystyle\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial s^{\mu}},\qquad\qquad\qquad\quad(2)
 \end{array} } \right.
\]
$$
тензоры $\tilde b_{\mu,\nu}$ и $\tilde c_{\nu}^{\mu}$ соответствуют друг другу поднятием по метрическому тензору $\tilde g$, только в случае что изначальный метрический тензор $(g_{ij})$ постояннен?
Ведь из первого равенства мы имеем, домножая справа скалярно на $\mathbf{n}:$ $$\tilde b_{\mu,\nu}=g_{ij}\displaystyle\frac{\partial^2 x^j }{\partial s^{\mu}\partial s^{\nu}} n^i,\qquad\qquad(3)$$
а из второго равенства, домножая его скалярно на $\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial s^{\nu}},$ получаем
$$\tilde c_{\mu,\nu}=\tilde c_{\mu}^{\rho}\tilde g_{\rho,\nu}=-g_{ij}\frac{\partial n^i}{\partial s^{\mu}} \frac{\partial x^j}{\partial s^{\nu}}.\qquad\qquad(4)$$
Равенство (3) и (4) можно получить, дифференцируя по $ s^{\mu}$ тождество
$$0=(\mathbf{n},\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial s^{\nu}})=g_{ij}n^i\frac{\partial x^j}{\partial s^{\nu}},$$
где круглые скобки означают скалярное произвеждение.
Но это только в предположении что $g_{ij}$ постоянно.

Зараннее большое спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Лапласиан в криволинейных координатах
Сообщение22.02.2015, 16:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11531
Asalex в сообщении #981159 писал(а):
тензоры $\tilde b_{\mu,\nu}$ и $\tilde c_{\nu}^{\mu}$ соответствуют друг другу поднятием по метрическому тензору $\tilde g$, только в случае что изначальный метрический тензор $(g_{ij})$ постояннен?

Нет, это в любой ситауции так.

И не впрягайте телегу в лошадь. Уравнение (2) получается из дифференцирования скалярного произведения, а не наоборот.

 Профиль  
                  
 
 Re: Лапласиан в криволинейных координатах
Сообщение22.02.2015, 22:17 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Asalex
Я получу ещё деривационные формулы своим способом, добавлю взаимосвязей.
Латинские индексы меняются от $0$ до $N-1$, греческие от $1$ до $N-1$. Тем самым выделяется координата $x^0$.
Координаты обозначаю $x$, смысл $x^\mu$ тот же, что у Ваших $s^\mu$, а $x^0$, наверное, аналогична Вашей $u$.
Индекс после запятой — производная по соответствующей координате.

Начинаю с формул $\mathbf r_{,m}=\mathbf e_m$ и $\mathbf e_{m,n}=\Gamma^r_{mn}\mathbf e_r$. Их обоснование — отдельный разговор. Векторы $\mathbf e_m$ — это просто векторы координатного базиса в соответствующей точке.

Фиксируя $x^0$, получаем поверхность, скажем, $x^0=0$. Требуем, чтобы на этой поверхности было $g_{00}=1$ и $g_{\mu 0}=0$. Это значит, что $\mathbf e_0=\mathbf n$ — единичная нормаль к поверхности.

Имеем
$\mathbf r_{,m\nu}=\mathbf e_{m,\nu}=\Gamma^r_{m\nu}\mathbf e_r=\Gamma^\rho_{m\nu}\mathbf r_{,\rho}+\Gamma^0_{m\nu}\mathbf n$
Полагая отдельно $m=\mu$ и $m=0$, получим
$\mathbf r_{,\mu\nu}=\Gamma^\rho_{\mu\nu}\mathbf r_{,\rho}+\Gamma^0_{\mu\nu}\mathbf n$
$\mathbf n_{,\nu}=\Gamma^\rho_{0\nu}\mathbf r_{,\rho}+\Gamma^0_{0\nu}\mathbf n$

Это и есть деривационные формулы. Но не все связи установлены. Учтем, что $g_{m0}$ константа при любом $m$:
$0=g_{m0,\nu}=(\mathbf e_m, \mathbf e_0)_{,\nu}=(\mathbf e_{m,\nu}, \mathbf e_0)+(\mathbf e_m, \mathbf e_{0,\nu})=$
$=g_{r0}\Gamma^r_{m\nu}+g_{rm}\Gamma^r_{0\nu}=\Gamma^0_{m\nu}+g_{\rho m}\Gamma^\rho_{0\nu}$

Полагая $m=\mu$, получим $\Gamma^0_{\mu\nu}+g_{\rho \mu}\Gamma^\rho_{0\nu}=0$. Это ответ на Ваш вопрос о взаимосвязи тензоров $b$ и $c$.
Полагая $m=0$, получим $\Gamma^0_{0\nu}=0$, и второе слагаемое из формулы для $\mathbf n_{,\nu}$ вычеркивается.

Но сказать, что система $\bar x$ (Ваша $x$) здесь совсем никак не маячит, нельзя. Именно она задаёт смысл понятию параллельного переноса вектора из одной точки в другую, необходимому для дифференцирования векторов $\mathbf e_m$ по координате.

 Профиль  
                  
 
 Re: Лапласиан в криволинейных координатах
Сообщение28.02.2015, 12:17 
Аватара пользователя


02/07/07
163
Харьков
Спасибо!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 15 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group