2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Какие решения могут быть у функционального уравнения?
Сообщение18.02.2015, 14:40 
Аватара пользователя


12/03/11
688
Рассмотрим уравнение:
$t = a(u) s + b(u)$
Будем считать функции $a(u) и b(u)$ произвольными.
А искать будем функцию $u(s,t)$.

Например, при соответствующем выборе $a, b$ можно добиться чтобы $u(s,t)$ была произвольной линейной функцией переменных $s, t$.
В то же время $u(s,t) = s + t^2$ не может получится ни при каких $a, b$. Доказательство элементарное:
$a'(s+t^2) 2 t s + b'(s+t^2) 2 t = 1,$
$a'(s+t^2) s + b'(s+t^2) = 0,$
то есть система несовместна!

Можно ли как-нибудь определить какие $u(s,t)$ возможны, а какие нет? :roll:

 Профиль  
                  
 
 Re: Какие решения могут быть у функционального уравнения?
Сообщение18.02.2015, 16:16 
Заслуженный участник


03/01/09
1677
москва
DLL в сообщении #979825 писал(а):
$a'(s+t^2) 2 t s + b'(s+t^2) 2 t = 1,$
$a'(s+t^2) s + b'(s+t^2) = 0,$
то есть система несовместна!

Второе уравнение системы должно быть: $a'(s+t^2)s+a(s+t^2)+b'(s+t^2)=0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Какие решения могут быть у функционального уравнения?
Сообщение18.02.2015, 16:57 
Аватара пользователя


12/03/11
688
Да :facepalm:
P.S: но она все равно несовместна, потому что $a(s+t^2) = - \frac{1}{2t}$ 8-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Какие решения могут быть у функционального уравнения?
Сообщение18.02.2015, 18:13 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Необходимое условие Вы практически получили. Дифференцируя $as+b=t$ по $s$ и по $t$, получим
$(a's+b')u'_s=-a$
$(a's+b')u'_t=1$
Отсюда $\frac{u'_s}{u'_t}=-a$. Но справа может быть не произвольная функция $s$ и $t$, а только функция от $u(s,t)$. То есть отношение $u'_s$ и $u'_t$ (или наоборот) должно быть функцией $u$.
Ещё одна формулировка: направление градиента $u$ зависит только от $u$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Какие решения могут быть у функционального уравнения?
Сообщение18.02.2015, 21:23 
Аватара пользователя


12/03/11
688
Так оно наверное и достаточное? :roll:

 Профиль  
                  
 
 Re: Какие решения могут быть у функционального уравнения?
Сообщение18.02.2015, 22:52 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Боюсь, нет. Пусть мы выбрали $u(s, t)$, удовлетворяющую этому условию. Тогда уже известна функция
$a(u)=-\frac{u'_s}{u'_t}$
Казалось бы, теперь можно найти и
$b'(u)=\frac{1}{u'_t}-a's$
Но нет никаких гарантий, что правая часть будет функцией $u$, как того требует левая часть.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group