2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Найти норму линейного оператора в L2[-1,1]
Сообщение15.02.2015, 21:31 


12/04/11
15
Доброго времени суток, коллеги.
Обращаюсь с таким вопросом. Необходимо найти норму линейного оператора $A: L_2[-1,1]\to L_2[-1,1]$
$$(Ax)(t)=\int_{-1}^1 (1+ts)x(s)ds.$$
Есть верхняя оценка. Обозначим $y(t)=(Ax)(t)=\int_{-1}^1 (1+ts)x(s)ds.$
$$|y(t)|^2=(\int_{-1}^1 (1+ts)x(s)ds)^2\leqslant ||x||^2\int_{-1}^1(1+ts)^2ds=(2+\frac{2}{3}t^2)||x||^2,$$
$$||y||^2=\int_{-1}^1 |y(t)|^2 dt=||x||^2\int_{-1}^1 (2+\frac{2}{3}t^2) dt=\frac{40}{9}||x||^2,$$
$$||y||\leqslant \frac{\sqrt{40}}{3}||x||,  \Rightarrow   ||A||\leqslant \frac{\sqrt{40}}{3}.$$
Это грубая оценка. Известно, что норма оператора равна 2. Как улучшить оценку и довести ее до 2? Буду признательна за любые комментарии.
С уважением.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти норму линейного оператора в L2[-1,1]
Сообщение15.02.2015, 22:00 
Заслуженный участник


25/02/11
1786
Можно посчитать степени $A^n$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти норму линейного оператора в L2[-1,1]
Сообщение15.02.2015, 22:06 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Это -- оператор конечного ранга (собственно, ранга 2): $Ax=1(1,x)+t(t,x)$. А поскольку обе функции ещё и ортогональны друг дружке, всё совсем уж облегчается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти норму линейного оператора в L2[-1,1]
Сообщение15.02.2015, 22:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/14
968
спб
Применяйте неравенство Коши-Буняковского к $\int\limits_{-1}^{1}f(s)g(s)ds$, где $f(s)=\sqrt{(1+ts)}$ и $g(s)=\sqrt{(1+ts)}x(s).$

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти норму линейного оператора в L2[-1,1]
Сообщение16.02.2015, 01:24 


12/04/11
15
demolishka в сообщении #978900 писал(а):
Применяйте неравенство Коши-Буняковского к $\int\limits_{-1}^{1}f(s)g(s)ds$, где $f(s)=\sqrt{(1+ts)}$ и $g(s)=\sqrt{(1+ts)}x(s).$

По-моему, ничего хорошего из этого не получится
$$|y(t)|^2=(\int_{-1}^1 \sqrt{1+ts}[\sqrt{1+ts}x(s)ds])^2=\int_{-1}^1 (1+ts)ds\cdot \int_{-1}^1 (1+ts)x^2(s)ds$$
Первый интеграл равен 2, а что делать со вторым интегралом?
ewert в сообщении #978891 писал(а):
Это -- оператор конечного ранга (собственно, ранга 2): $Ax=1(1,x)+t(t,x)$. А поскольку обе функции ещё и ортогональны друг дружке, всё совсем уж облегчается.

Да, согласна с Вами. И как использовать данный факт для нахождения нормы?

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти норму линейного оператора в L2[-1,1]
Сообщение16.02.2015, 02:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11017
Hogtown
Разумеется, совет ewert даёт самый простой и точный метод. Норма достигается на функциях вида $u(t)=\alpha +\beta t$. При этом оператор переводит $1$ во что? А $t$ во что? Какова же матрица оператора в этом базисе?

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти норму линейного оператора в L2[-1,1]
Сообщение16.02.2015, 08:02 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
mev12 в сообщении #978966 писал(а):
И как использовать данный факт для нахождения нормы?

Как вообще использовать? -- Вычислить оператор $A^*A$ (он будет того же ранга), найти его матрицу в ортонормированном базисе образа и затем её собственные числа. Это если в лоб, а здесь и этого не нужно: оператор уже симметричен и уже диагонализован, так что достаточно выписать оба ненулевых собственных числа.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти норму линейного оператора в L2[-1,1]
Сообщение16.02.2015, 12:32 


12/04/11
15
Максимальное собственное число 2. Вот и норма)) Спасибо за помощь!

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти норму линейного оператора в L2[-1,1]
Сообщение16.02.2015, 17:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/14
968
спб
Цитата:
что делать со вторым интегралом?

Применить теорему Фубини. После интегрирования разумеется.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти норму линейного оператора в L2[-1,1]
Сообщение16.02.2015, 18:11 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
demolishka в сообщении #979165 писал(а):
Применить теорему Фубини. После интегрирования разумеется.

После интегрирования теорему Фубини применять уже поздно (это не считая того, что она ничего и не даст).

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти норму линейного оператора в L2[-1,1]
Сообщение16.02.2015, 22:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/14
968
спб
После интегрирования по $t$ неравенства
mev12 в сообщении #978966 писал(а):
$$|y(t)|^2=(\int_{-1}^1 \sqrt{1+ts}\sqrt{1+ts}x(s)ds)^2 \leq \int_{-1}^1 (1+ts)ds\cdot \int_{-1}^1 (1+ts)x^2(s)ds$$

Применяем теорему Фубини и получается оценка $\|Ax\|^2 \leq 4 \|x\|$, то что и хотел mev12.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти норму линейного оператора в L2[-1,1]
Сообщение16.02.2015, 23:13 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Да, не исключено, что это пройдёт (не проверял, ибо это факирство).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group