Пример по комплексным числам

[Nurzery[Rhymes]]

Делаю задание 1.0.4 из сборника Евграфова по ТФКП. Условие - найти действительную и мнимую части $(\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2})^3$.

Начал с нахождения абсолютной величины числа в скобках, она равна 1. Далее нахожу аргумент:

$\left\{ \begin{array}{rcl} &\cos\varphi =\frac{1}{2}& \\ &\sin\varphi=-\frac{\sqrt{3}}{2}& \\ \end{array} \right.$

$\varphi = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$

$\varphi = (-1)^n (-\frac{\pi}{3})+\pi n$

Как теперь корректно найти отсюда аргумент? На лекции мы рассматривали аргумент в пределах $(-\pi; \pi]$, а находили его каким-то странным образом. У преподавателя своя манера вести лекции его не волнует, как мы конспектируем, он считает, что его рассказов достаточно, но тем не менее я ничего не понял. Похоже, смысл в нахождении $k$:

Цитата:

$\varphi = \frac{\pi}{3}+2\pi k$
$\varphi = ???$
$-\frac{5}{6} < k \leqslant \frac{1}{6}$

Объясните, что за способ нахождения $k$ он нам показал? Как его найти из системы?

[provincialka]

На тригонометрическом круге проще всего.

[nnosipov]

Nurzery[Rhymes] в сообщении #978822 писал(а):

Условие - найти действительную и мнимую части $(\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2})^3$.

Ну-у, здесь же можно тупо возвести в 3-ю степень, это же не безумно большая степень. Другое дело, если начальник приказал через тригонометрическую форму, тогда да. Я своим студентам советую картинки рисовать с прямоугольными треугольниками. В школьном курсе это называется "решение прямоугольных треугольников" (типа: даны катет и гипотенуза, найти угол, противолежащий катету).

[Nurzery[Rhymes]]

У нас преподаватель суровый и очень любит ТФКП, поэтому хочу разобраться в том, как он находит $k$, потому что он может дать любое задание и потребовать решить его так, как ему нравится.
Интервал $(-\pi;\pi]$ ведь охватывает весь тригонометрический круг, правильно понимаю? Не верхний или нижний полукруг?
Почему первое неравенство строгое?

[nnosipov]

Nurzery[Rhymes] в сообщении #978844 писал(а):

Почему первое неравенство строгое?

А чтобы дважды об одном и том же не говорить. Поскольку повернуть на $180^\circ$ против часовой стрелки --- это то же самое, что повернуть на $180^\circ$ по часовой стрелке (т.е., по другому говоря, на $-180^\circ$ против часовой стрелки). Поэтому один из концов отрезка включают, а другой нет. Почему именно левый не включён --- дело вкуса и традиций.

[provincialka]

А почему перед $\frac\pi3$ плюс, а не минус? Синус же отрицательный.

[Nurzery[Rhymes]]

provincialka в сообщении #978860 писал(а):

А почему перед $\frac\pi3$ плюс, а не минус? Синус же отрицательный.

Где? Если вы про цитату, то там другой пример решался. Я привел его как очень неполный и непонятный образец нахождения $k$.

[provincialka]

Теперь поняли? Зачем же вы другой пример приводите!
Давайте-ка, выпишите

1) общий вид аргумента $\varphi$ числа $\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i$
2) Неравенства, выделяющие главное значение
3) Решение этих неравенств

[arseniiv]

Nurzery[Rhymes] в сообщении #978822 писал(а):

Объясните, что за способ нахождения $k$ он нам показал? Как его найти из системы?

Вообще, делать особо нечего. Т. к. главное значение аргумента ограничивается полуинтервалом длины $2\pi$, помещается туда не больше двух корней каждого из уравнений. У косинусного это означает единственное $k_1 = 0$, но неизвестный знак; у синусного $k_2$ может иметь только два значения (для любого случая одинаковые). Их и проверяйте. А неравенство из цитаты какое-то странное.

-- Вс фев 15, 2015 23:30:30 --

Nurzery[Rhymes] в сообщении #978822 писал(а):

$\varphi = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$
$\varphi = (-1)^n (-\frac{\pi}{3})+\pi n$

Грубая ошибка. Почему, угадаете с контекстом.

[Nurzery[Rhymes]]

Цитата:

Грубая ошибка. Почему, угадаете с контекстом.

Нет, не угадаю. Я решил тригонометрические уравнения из системы, это их общие решения. Что здесь не так?
В интернете нигде это не объясняется. В школьном курсе такие сложности не нужны. А там, где они возникают, объяснений уже нет.

[provincialka]

Nurzery[Rhymes] в сообщении #978874 писал(а):

Я решил тригонометрические уравнения из системы, это их общие решения.

Каждого уравнения, а не системы.

(Оффтоп)

Искать $k$ из неравенств, конечно, маразм: на единичном круге же все видно!

[Nurzery[Rhymes]]

А почему не работают эти формулы в этом примере?

(Оффтоп)

Видно, что число $(\frac{1}{2};-\frac{\sqrt{3}}{2})$ находится в правом нижнем квадранте. Значит, его аргумент надо искать по формуле $\varphi = \arctg \frac{-\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}}$

$\varphi = \arctg (-\sqrt{3})$

По таблице это $\frac{2\pi}{3}$

Но этот угол не удовлетворяет первой системе.

[provincialka]

Nurzery[Rhymes] в сообщении #978887 писал(а):

Значит, его аргумент надо искать по формуле $\varphi = \arctg \frac{-\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}}$

Формулы, формулы... Видно же, что в четвертой четверти лежит угол $-60^\circ$. Что соответствует $-\frac\pi3$

[Nurzery[Rhymes]]

Да мне просто непривычно это. На первом курсе я так делал: записал систему и просто вспоминаю таблицу значений триг. функций или подглядываю в нее. Легко выбирается нужный угол из двух вариантов. А тут нас заставляют искать какие-то $k$...

[provincialka]

М-да... у каждого препода свои заморочки. Ну, сделайте так. Нашли $\varphi$ из первого уравнения? Подставьте во второе, для этого достаточно проверить, когда синус отрицателен. Получите решение системы $\varphi =-\frac\pi3+2\pi n$. Дальше пишите двойное неравенство... Только зачем это, когда на картинке все ясно.